Annales de l'institut Fourier
Jean-Pierre Demailly
Champs magnétiques et inégalités de Morse pour la d''-cohomologie
Annales de l'Institut Fourier, tome 35, n° 4 (1985), p. 189-229.
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Ànn. Inst. Fourier, Grenoble 35, 4 (1985), 189 à 229.
CHAMPS MAGNÉTIQUES
ET INÉGALITÉS DE MORSE
POUR LA d '-COHOMOLOGIE
par Jean-Pierre DEMAILLY
0. Introduction.
Soit X une variété C-analytique compacte de dimension n, F un fibre vectoriel holomorphe de rang r et E un fibre holomorphe en droites hermitien de classe #°° au-dessus de X. SoitD = D' + D" la connexion canonique de E et c(E) = D2 = D'D" + D"D' la forme de courbure de cette connexion. Désignons par X(q), 0 < q < n, l'ouvert des points de X d'indice q, i.e. l'ouvert des points xeX en lesquels la forme de courbure ic(E)(x) a exactement q valeurs propres < 0 et (n - q) valeurs propres   > 0.   On pose également
X(< q) = X(0) u X(l) u .. .u Xfa).
 Nous démontrons alors les inégalités de Morse suivantes, qui bornent la dimension des espaces de cohomologie H*(X,E*®F) en fonction d'invariants intégraux de la courbure de E.
Théorème 0.1. - Lorsque k tend vers + oo on a pour tout q = 0,1, - -., n   les inégalités asymptotiques suivantes.
(a) Inégalités de Morse :
dim H*(X,Ek®F)  <r^\     (- l?U- c(E)Y -h o{kn).
Mots-clés : Inégalités de Morse - </"-cohomologie - Fibre linéaire hermitien - Forme de courbure - Champ magnétique - Opérateur de Schrôdinger - Identité de Bochner-Kodaira-Nakano - Espace de Moisezon.
190
JEAN-PIERRE DEMAILLY
 (b)	Inégalités de Morse fortes :
t (-!)«-' dim H'(X,Efc(g)F) ^ r - [      (-l)q(^- c(E)Y + o(kn).
 (c)	Formule de Riemann-Roch asymptotique :
£ (-1)* dim H«(X,Ek®F) = r £ [ (^ c(E)Y + *(*").
 Les estimations 0.1 (a), (b) sont nouvelles à notre connaissance, même  dans le cas des variétés projectives. L'égalité asymptotique 0.1 (c), quand à elle, est une version affaiblie du théorème de Hirzebruch-Riemann-Roch, qui est lui-même un cas particulier du théorème de l'indice d'Atiyah-Singer [1]. Ce dernier théorème permet en effet d'exprimer la caractéristique d'Euler-Poincaré
X(X,E*®F) = £ (-l)*dimH«(X,E*®F)
4 = 0   .
sous la forme
 (0.2)	x(X,Ek® F) = r - cx (E)« + P"_ x (*);
n !
 Pn_1(fc)GQ[fe]    désigne   ici   un   polynôme   de   degré     <n- 1    et
c1(E)gH2(X,Z)  est la première classe de Chern de  E,  représentée en
i cohomologie de De Rham par la   (l,l)-forme fermée  - c(E)   (cf. par
2n
exemple [16]). On observera que la constante numérique de l'inégalité 0.1 (a) est optimale, comme le montre l'exemple du fibre produit tensoriel total E = &(l)n-q H G{- \)q au-dessus de X = (Pl(C))n. Pour ce fibre, on a en effet  X(q) = X  et
dim H«(X,Ek) = (fc+ \)n-q(k-1)*,       k > 1,
i(
A^c(E)|.(-.)«"!.
L'existence d'une majoration du type 0.1 (a) était conjecturée par Y. T. Siu, qui a successivement démontré le cas particulier où ic(E) est > 0 dans le complémentaire d'un ensemble de mesure nulle [16], puis le cas où ic(E) est ^ 0 sur X [17]. Nous avons d'ailleurs emprunté à Siu  une partie des techniques utilisées ici, notamment aux § 3 et § 5. La preuve

 INÉGALITÉS DE MORSE EN d"-COHOMOLOGIE	191
du théorème 0.1 repose sur la méthode analytique introduite récemment par E. Witten [18], [19]. Cette méthode permet (entre autres) de redémontrer les inégalités de Morse classiques bq < mq sur une variété différentiable compacte M, où b, désigne le q-ièmc nombre de Betti et mq le nombre de points critiques d'indice q d'une fonction de Morse quelconque sur M. Dans notre situation, le rôle de la fonction de Morse est tenu par le choix de la métrique hermitienne sur E. On munit d'autre part X et F de métriques hermitiennes arbitraires, qui interviendront seulement dans les termes o(kn) des estimations finales. Étant donné un réel X ^ 0, on considère le sous-complexe Jf?l(X) du complexe de Dolbeault #0½.(X,E*®F) des (O^)-formes de classe *°° sur X à valeurs dans Ek ® F, engendré par les fonctions propres du Laplacien antiholomorphe A" dont les valeurs propres sont ^ kX. Les groupes de cohomologie du complexe J^l(X) sont alors isomorphes aux groupes H9(X,Ek®F) (proposition 4.1), de sorte qu'il suffit de savoir borner la dimension des espaces Jf?l(k). Pour cela, on utilise essentiellement deux outils.
Le premier outil consiste en une formule de type Weitzenbôck (0.3)   l f <A"w,u> = f ^|Vku + SW|2 - <Vu9u) + U®u,u)
K Jx	JXK	K
démontrée au § 3, et dérivée de l'identité de Bochner-Kodaira-Nakano non kâhlérienne [6]. Vfc désigne ici la connexion hermitienne naturelle sur le fibre A°*¤T*X (g) E* (g) F, V est un potentiel linéaire d'ordrç 0 lié à la courbure du fibre E, enfin S et @ sont des opérateurs d'ordre 0 provenant de la torsion de la métrique hermitienne sur X et de la courbure de F. L'étude du spectre de A" se trouve donc ramenée à l'étude du spectre de l'opérateur autoadjoint V£Vk associé à la connexion réelle Vk.
Le deuxième outil fondamental consiste précisément en un théorème spectral très général relatif aux opérateurs du type V*V. Soit (M,g) une variété riemannienne ^°° de dimension réelle n, E un fibre en droites complexes au-dessus de X, muni d'une connexion hermitienne V. Si Vk désigne la connexion induite par V sur E*, on étudie alors le spectre de la forme quadratique
(0.4)      Qk(u) = f f± \Vku\2-VM*\ do,       ue L2(Q,E*)
192
JEAN-PIERRE DEMAILLY
pour le problème de Dirichlet, où Q est un ouvert relativement compact dans M, et où V est un potentiel scalaire continu sur M. D'un point de  vue physique, ceci revient à étudier le spectre de l'opérateur de Schrôdinger
-(V*Vk -feV) associé au champ électrique feV et au champ magnétique
feB, où B = - iV2 n'est autre que la 2-forme de courbure de la connexion V. C'est dans la présence de ce champ magnétique que réside notre contribution principale par rapport à la méthode de E. Witten [18], [19] (dans le cas de la cohomologie de De Rham le champ magnétique est toujours nul puisque  d2 = 0).
En tout point xeX, soit 2s = 2s (x) ^ n le rang de B(x) et Bi(x) ^ ... ^ Bs(x) > 0 les modules des valeurs propres non nulles de l'endomorphisme antisymétrique associé. On définit une fonction vB(x)(X) du couple  (x,X) 6 M x R,   continue à gauche en  X,   en posant
(0.5)   vB(X)=   2°"n   '    B^.B.      £       [X-X(2p,+ 1)B#-S
rQ-s+lj	<,,.....*>.*-
avec la convention 0° = 0. Enfin, si Xx ^ X2 < ... désignent les valeurs propres de Qfc (comptées avec multiplicité), on considère la fonction de dénombrement
Nk(X) = card {/; Xj< X,},       X g R.
Théorème 0.6. - Si dCl est de mesure nulle, il existe un ensemble dénombrable  2 <= R   tel que
lim  k~^k(X)= F vB(V + À,)da
pour tout  XeR\3>.
Pour démontrer le théorème 0.6, on commence par étudier le cas simple où M = Rn avec un champ magnétique constant B et avec V = 0. Lorsque Q est un cube, on sait alors expliciter les fonctions propres par une transformation de Fourier partielle qui ramène le problème à celui classique de l'oscillateur harmonique en une variable. L'idée de ce calcul nous a été fortement inspirée par les articles [3] [4] de Y. Colin de Verdière. L'extension du résultat au cas d'un champ magnétique quelconque reprend

 INÉGALITÉS DE MORSE EN d"-COHOMOLOGIE	193
une idée de [16], consistant à utiliser un pavage de Q par des cubes assez petits. Notre méthode est néanmoins très différente de celle de Siu, puisque nous travaillons directement sur les formes harmoniques alors que Siu se ramenait aux cochaînes holomorphes via l'isomorphisme de Dolbeault. On gagne ainsi beaucoup en précision sur les estimations cherchées. Le côté des
cubes doit être ici choisi d'un ordre de grandeur intermédiaire entre fe   * et
k *, par exemple k * : k * est en effet la longueur d'onde des premières fonctions propres, de sorte que l'action du champ magnétique B n'est pas
perceptible à une échelle inférieure; au-dessus de fe   *, l'oscillation de B est
au contraire trop forte. On utilise finalement le principe du minimax pour
comparer les valeurs propres sur  Q  aux valeurs propres sur les cubes.
Dans la méthode antérieure de [16] (telle qu'elle est reprise dans [7]), la
_i taille des cubes était choisie égale à fc   2 ;  on peut voir aisément que ce
choix  était  critique  pour permettre  de  borner  les  effets  du  champ
magnétique indépendamment de   fe,   mais la détermination exacte du
spectre devenait alors impossible.
Le dernier paragraphe est consacré à l'étude de caractérisations géométriques des espaces de Moiâezon [13]. Rappelons qu'un espace analytique compact irréductible X est appelé espace de MoiSezon si le corps K(X) des fonctions méromorphes sur X est de degré de transcendance = n = dimcX. La conjecture de Grauert-Riemenschneider [10] affirme que X est de MoiSezon si et seulement si il existe un faisceau quasi-positif S de rang 1 sans torsion au-dessus de X. Par désingularisation, on se ramène au cas où X est lisse et où ê est le faisceau localement libre des sections d'un fibre en droites E strictement positif sur un ouvert dense de X. Y. T. Siu [17] a résolu récemment la conjecture et l'a renforcée en supposant seulement ic(E) semi-positive et > 0 en au moins un point. L'utilisation du théorème 0.1 (b) permet de trouver des conditions géométriques plus faibles encore, qui n'exigent pas la semi-positivité ponctuelle de ic(E), mais seulement la positivité d'une certaine intégrale de courbure. Pour q = 1, l'inégalité 0.1 (b) implique en effet une minoration du nombre de sections holomorphes de E*, à savoir :
(0.7)	dim H°(X,Ek) ^ £j- f       f JL c(E)Y - o(kn).
On peut montrer d'autre part, en utilisant un raisonnement classique de Siegel [15] mis en forme par [16] que dim H°(X,Ek) < cte.fc"-1 si X n'est
194
JEAN-PIERRE DEMAILLY
pas de MoiSezon (cf. théorème 5.1). De là il résulte le
Théorème 0.8. - Soit X une variété C-analytique compacte connexe de dimension n. Pour que X soit de Moisezon, il suffit que X possède un fibre  holomorphe en droites hermitien vérifiant l'une des hypothèses (a), (b), (c) ci-dessous.
 (a)	f      (ic(E))">0.
JX«1)
a) c1(E)n > 0, et la forme de courbure ic(E) ne possède aucun point  d'indice pair   ^ 0.
b) ic(E) est semi-positive en tout point de X et définie positive en au  moins un point de X.
Ce travail a fait l'objet d'une note [8] du même titre, publiée aux Comptes Rendus. Le présent article est une version améliorée d'un mémoire antérieur [7], qui était plus proche des techniques initiales de Siu, et qui démontrait seulement l'inégalité 0.1 (a) à la constante numérique près; de ce fait, les estimations 0.1 (b) et (c) restaient inaccessibles.
 L'auteur remercie vivement MM. Gérard Besson, Alain Dufresnoy,  Sylvçstre Gallot et tout particulièrement Yves Colin de Verdière, pour de stimulantes conversations qui ont beaucoup contribué à la mise en forme définitive des idées de ce travail, notamment dans le § 1.
1. Spectre de l'opérateur de Schrôdinger associé à un champ magnétique constant.
Soit (M,#) une variété riemannienne de classe #°°, de dimension réelle n, et E -> M un fibre en droites complexes au-dessus de M, muni d'une métrique hermitienne #°°. Notons #®(M,E) l'espace des sections de classe #°° du fibre A«T*M®E, et (?|?) l'accouplement sesquilinéaire canonique
^(M,E) x <^½(M,E) - <^%(M,C).
On suppose donnée une connexion hermitienne D sur E, c'est-à-dire un opérateur différentiel d'ordre un
D : tf?(M,E) -> <f«+1(M,E),       0 *S q < n,
INÉGALITÉS DE MORSE EN d"-COHOMOLOGIE
195
vérifiant les identités
 (1.1)	D(/Au) = J/Am + (~l)m/ A Dm,
 (1.2)	d(u\v) = (Du\v) + (-iy(u\Dv),
pour toutes sections /e«£(M,C), m e#*(M,E), pg*»(M,E). Soit 0 : E|w -? W x C une trivialisation isométrique de E au-dessus d'un ouvert W c M. Les connexions hermitiennes de E|w sont alors toutes données par la formule suivante :
Dm = du + ï'A A u,
où fi6«f (W,E) * <C(W,C) et où Ae#î°(W,R) est une 1 -forme réelle arbitraire.
 Le c/iamp magnétique (ou forme de courbure) associé à la connexion D est la  2-forme réelle fermée  B = dk  telle que
D2m = fB A il
 pour tout ue^°°(M,E). B ne dépend donc que de la connexion D, mais  pas de la trivialisation 8 choisie. Un changement de phase u = vel* dans 6 conduit à remplacer A par A + d<p. Le choix d'une trivialisation de E et de la 1-forme A correspondante s'interprète physiquement comme le choix d'un potentiel vecteur particulier du champ magnétique B.
 Désignons par \u\ la norme ponctuelle d'un élément u e AgT*M (g) E  pour la métrique produit tensoriel des métriques de M et E. Si Q est un ouvert de M, on note L2(Q,E) (resp. L2(Q,E)) l'espace L2 des sections de  E(resp. de  A*T*M®E)  au-dessus de  Q,  muni de la norme
 ||U||2=   f   \u\2dG,
où  do  est la densité de volume riemannien sur M.
 Soit Dk la connexion induite par D sur la puissance tensorielle fe-ième Ek, et V un potentiel scalaire sur M, i.e. une fonction réelle continue. Étant donné un ouvert relativement compact Qc M, nous nous proposons de déterminer asymptotiquement lorsque k tend vers -f oo   le spectre de la forme quadratique
 (1.3)	Qn» = £ ft |Dt«f - V|u|2) do
196
JEAN-PIERRE DEMAILLY
 où weL2(Q,E*), avec condition de Dirichlet u\dÇÎ = 0. Le domaine de QQk est donc l'espace de Sobolev Wj(Q,Ek) = adhérence de l'espace ^(Q,E*) des sections C00 de E* à support compact dans Q dans l'espace W^MjE*). D'un point de vue physique, ceci revient à étudier le
spectre de l'opérateur de Schrôdinger -(D£Dk - fcV)  associé au champ
magnétique fcB et au champ électrique fcV, lorsque k tend vers + oo. Nous renvoyons le lecteur à l'article classique [2] pour une étude générale du spectre de l'opérateur de Schrôdinger, et aux travaux [3], [4], [5], [9], [12] pour l'étude de problèmes asymptotiques voisins du précédent.
Définition 1.4.  -  On désignera par   Nftfc(À,)   le nombre de valeurs propres   ^ X  de la forme quadratique  QQk.
 Nous allons d'abord étudier un cas simple qui servira de modèle pour le  cas général au § 2. On se place dans la situation suivante : M = R" avec la
n
métrique constante  g = £ dx],  Q  est le dube de côté r :
j=i
Q = j(x1,...,xn)eRw;|xj| <^I<j^nL
V = 0, et enfin le champ magnétique B est constant, égal à la 2-forme alternée de rang  2s donnée par
5
B = £ B^x,. A dxj+s,
avec B1^B2^-^Bs>0, s < -- On peut alors choisir une trivialisation de  E  dont le potentiel vecteur associé est
s
A = X Bj*/<kj+i-
J=l La connexion de  E*  s'écrit donc
Dku = du + ikA A w,
et la forme quadratique  Qflk  est donnée par
^ , x i r r v f\du\2 idu   .,*>  i2\ vi^i2L
INÉGALITÉS DE MORSE EN d"-COHOMOLOGIE
197
où d\i désigne la mesure de Lebesgue sur R". Si on effectue l'homothétie X;- = y/kxj9 on est ramené à étudier les valeurs propres de la forme  quadratique
J [z
eu
ôXj

+ 1
j>2s
ou
ÔX,
d\i
sur les cubes   ^/fcO   de côté   yjkr.   Au champ   B,   nous associons la  fonction de la variable réelle   X  définie par
 2~s
+
(1.5)    Vb(X) =
I-U-.+ 1
B^-.B,
 (Pl	P^N*
[X-Z(2p,.+ 1)B/
où l'on pose par convention X°+ = 0 si X ^ 0 et X°+ = 1 si X > 0. La  fonction vB est donc croissante et continue à gauche sur R ; on observera
que vB est en fait continue si s < - - Le spectre de QQk est alors décrit
 asymptotiquement par le théorème suivant, dont l'idée nous a été suggérée par Y. Colin de Verdière [4].
Théorème 1.6. - Soit  R   un réel   > 0,
P(R) = {xeR";|x,|<|J le pavé de côté  R,   QR  la forme quadratique
^ ^  r r v f\eu\2 iôu  -D  \2\ v iH2~L
QtW-	I     y  +\^+iBjXju\    + E  -     du,
JP(R) LUy'^s \\UXj\	\uxj + s.	I   /      j>2s|c;jcj|   J
et NR(À,)  te nombre de valeurs propres   ^ X de QR pour le problème de Dirichlet. Alors pour tout  XeR  on a
lim  R-"NR(Jl) = vB(X,).
R-> + oo
Lorsque s = - > vB est une fonction en escalier. Les valeurs propres de
 QR se regroupent donc par paquets autour des valeurs 2,(2pj+ 1)BJ5 avec  multiplicité approximative (2n)~sB1.. .BsRn. Ceci peut s'interpréter physiquement comme un phénomène de quantification des états propres.
198
JEAN-PIERRE DEMAILLY
En revenant au problème initial relatif à la forme quadratique Qak, nous  obtenons le
Corollaire 1.7. -    lim  k   2NQk(\) = rnvB(X).
fc-> + 00
?
Démonstration du théorème 1.6. - On cherche d'abord à majorer  NR(X). Dans ce but, étant donné mgWJ(P(R)), on exprime u sous  forme de série de Fourier partielle par rapport aux variables  xs+1,  ..., xn :
R
u(x) = R-*{n-s)   £    ^(jOexpf^.x"
où  u,e Wq(Rs n P(R)),   avec les notations
X	\X j ,. . . ,XSJ ,	X	\XS + i 5 - - - r,Xn) ,
ê .x   = ^iXs+1 + - - - + £n_sxn. L'hypothèse  mgWq(P(R))  entraîne que la série
ZKI2k(*')l2
est dans   L2(RS).   Posons   r = {/x,.../s),   /" = (ts+1,.../"_s).   La norme   ||u||P(R)  et la forme quadratique   QR   sont données par
 On  obtient  par  conséquent  un  problème  de  Dirichlet  à  «variables  séparées» sur le cube   Rs n P(R).   En posant   t = Xj + ^^» on est
RB;
ramené à étudier le spectre de la forme quadratique d'une variable
<feZ" 2
"llp(R) =       Z
3u,
dx.
Qr(«) = e  [Ti (
ii^xOrdjiCx'),
R
2n
(y^+B^)2'W2)
4tt2	1
+ -srn2M2|dii(xo.
 + Bjt2\f\2\dt,
avec  /eWj
2   21_     RBj)
On retombe donc sur le problème

 INÉGALITÉS DE MORSE EN d"-COHOMOLOGIE	199
 classique de l'oscillateur harmonique (cf. par exemple [14], Vol. I, p. 142). Sur R, i.e. sans condition de support pour /, la suite des valeurs propres de q est la suite (2m + l)Bj, m e N, et les fonctions propres associées sont données par  *w(>/B/0  où  <b0,<bl9 ...   sont les fonctions d'Hermite :
Pour tout p7gN, notons ¥p.y.(x/) la Pfième fonction propre de la forme quadratique
(l-8)   ^=1(I^|2+(t^+b^)2|/|2)^
pour /eWj     - ->-   )> et Xp.t,. la valeur propre correspondante. On
 peut alors décomposer chaque fonction u, en série de fonctions propres, ce qui conduit à écrire u sous la forme
(1.9)   u(x) = R~"2<-s>        £        uvJVp/.{x')^J~f.A
(f>/)eNsxZ"-s	\ K	/
 avec	up/eC,       ¥p/,(x') =   fi 'V/*;)-
Kj^s
(¥'*")»'«
On prendra garde au fait que x¥pr(xf)exp ( -j^-^*" I nest Pas une vraie
fonction propre pour le problème de Dirichlet, car le terme exponentiel
prend des valeurs non nulles aux points du bord Xj = + - -> j > s. Par
 conséquent, les coefficients (up/) ne sont pas arbitraires si m e Wq(P(R)); ils doivent vérifier les conditions d'annulation au bord :
 (1.10)	I (-l)';up/ = 0
0¤Z
pour tout j - 1, ..., n - s  et tous les indices autres que t^ fixés :
p E N , l ! ,  . . ., l j- x ,  Cj+ l9 - - -, ln-s G Z .
 Avec récriture (1.9), la norme L2 et la forme quadratique QR s'expriment sous la forme
IMIpcr) = *KA2,     Qr(") = *(v + ^ IH2 Wl2>

 200	 JEAN-PIERRE DEMAILLY
où XPt/. =   Y,  K-S--  ^e principe du minimax 1.20(6) rappelé plus loin
montre que
4n
(1.11)   NR(X) ^ card j(p/)eN»xZ"-'; ^ + Z^|H2<U.
Il suffit donc d'obtenir une minoration adéquate de  \.j.. Lemme 1.12.  -  On a l'inégalité
Vj^(2p,+»B/,£[(^)% (,,,-!£);]),
et celle-ci est stricte si  ti ^ 0  ou si Q>p(RyfBj/2) / 0.
 La minoration À,p.,. ^ (2pj+ l)Bj résulte en effet du minimax et du fait  que les valeurs propres de q(f) sur R valent (2pj+l)BJ. Pour obtenir l'autre inégalité, on minore (1.8) par la forme quadratique
Les fonctions propres de   q sont les fonctions
sin|;(Pj+1)(*j + y h       Pj^N; X,p.y.  est donc minorée par la valeur propre correspondante :
 Les inégalités sont strictes parce que d'une part q(f) > q(f) pour tout /^0, et d'autre part Op.(x//B^t) ne peut être fonction propre de q sur ]- R/2, R/2[+2ntj/KBj que si
<Dp.(±Rx/b;/2 + 2^/Rv/B;) = 0.
 Comme les zéros de Op. sont algébriques et que n est transcendant, ceci n'est possible que si
Sj = 0 et ©0^/2) = 0.
D
 INÉGALITÉS DE MORSE EN d"-COHOMOLOGIE	201
Lemme 1.13. - Soit i"(p)  le nombre de points de  Zn situés dans la boule fermée   B(0,p) c Rw.   Alors
r2+1	F2 + 1
En effet, la réunion des cubes de côté 1 centrés aux points xeZ" tels que  |x| ^ p  est contenue dans la boule  B(0,p+^r-L   et contient la
boule B(0,p - ^-I si p ^ ^r-> car ^- est la demi-diagonale du cube;
l'entier x"(p) est donc encadré par le volume des boules Bl 0,p± ^-
D
 An2 lemmes  1.12,   1.13.  Pour   peNs   fixé,  l'inégalité   Xp/, + -^yin2 ^ X
R
 Nous majorons maintenant lim sup R~WNR(X) en utilisant (1.11) et les rimes  1 implique
î
 (1.14)	n^_()l_E(2p.+ l)B/+,
et l'inégalité est stricte pour R > R0(p) assez grand. Lorsque s < n/2 le nombre de multi-indices  reZ"~2s  correspondants est donc au plus
 <U5) i/^^-^'^+xT
 ^-s
 22s-"n    2
r--s+i
R"-2s(A.-Z(2pJ.+ l)BJ.)i "'.
Lorsque   5 = ->   ce  nombre  doit  être  compté  comme  valant    1    si
X - 2(2pJ-f 1)B, > 0 et 0 sinon, ce qui est bien conforme à la convention que nous avons adoptée pour la notation   X% .   L'inégalité   Xp/> ^ X

 202	 JEAN-PIERRE DEMAILLY
implique d'autre part
(i.i6)       i^A^ + M!,    uj<s,
ce qui correspond asymptotiquement à un nombre de multi-indices t' = (^!,... /s) e 21  équivalent à
(117)	fi 5^-= 2%-% ...BSR2*.
 La majoration lim sup R~nNR(>.) < vB(A,) s'obtient alors en effectuant le
 produit de (1.15) par (1.17), et en sommant pour tout peNs (la somme est
finie).	?
Pour des questions de convergence qui interviendront au §2, nous aurons besoin également de connaître une majoration de NR(A,) indépendante du champ magnétique B. Une telle estimation uniforme est fournie par la proposition suivante.
Proposition 1.18. - NR(A,) ^ (R.N/À.+ + 1)\
Démonstration. - On majore pour chaque indice j le nombre d'entiers Pj  et  fj   tels que l'inégalité
4it2
ait lieu. Le lemme 1.12 implique
1 ^7 < s,
card {pj} < max (pj+1) < min ( --> - yfk^ tandis que (1.16) entraîne
cardfo} ^-y/K +-ïr- + 1,       1 <X s. On en déduit par conséquent pour   1 ^ j ^ s :
2
< (Ry/X+ + 1)

 INÉGALITÉS DE MORSE EN d"-COHOMOLOGIE	203
Pour  s <j ^ n - s,  l'inégalité (1.14) donne d'autre part
d'où  card {A} ^ - J^ + 1.   La proposition 1.18 s'ensuit.	?
n
Fin de la démonstration du théorème 1.6 (minoration de  NR(A,)).
 Pour minorer NR(A,), il suffit d'après 1.20 (a) de construire un espace  vectoriel de dimension finie sur lequel Qr(m) < ^l|w||p(R)- On considère pour cela l'espace vectoriel «^\ des combinaisons linéaires de « fonctions propres » du type (1.9), assujetties aux conditions d'annulation au bord (1.10), et sommées sur les indices  (p/)eNs x Zn~s  tels que
 47U2
R^
 V+ *ri'"i2<*»
 D'après le raisonnement de la proposition 1.18, le nombre de conditions  (1.10) à réaliser est majoré par
t [card {Pj} x     n     card {(pt, Q) x    fl    <*rd {-,}]
+
Z     [n   card {(pfyf)} x  n card {/,}] < niR^/K + l)-1.
L'entier  NR(À,)  est donc majoré par
dim &x ^ card |(p/) e Ns x Zn~s; \p/, + ^- \T\2 <k\ - 0(Rn-1).
 En combinant la minoration du lemme 1.13 avec le lemme ci-dessous,  l'inégalité liminf R"nNR(X) ^ vB(À,) résulte alors de calculs analogues à ceux que nous avons explicités pour obtenir la majoration de  NR(À,).
Lemme 1.19. - Soit  peNs  un multi-indice fixé. Alors il existe une constante  C = C(p,B) > 0   telle que
v<(i+£)É(2p,+i)b,
 B R2	-1
lorsque   \/A < -\-(1-R   2), 1 <; < 5. 4tt
204
JEAN-PIERRE DEMAILLY
Démonstration. - On utilise à nouveau le minimax et le fait que les
fonctions  d'Hermite   <bp(y/B~jt)   sont  une  bonne  approximation  des
fonctions propres de   q   sur tout intervalle assez grand de centre   0.
 B R2	- !	~\     R   R r
Lorsque     \fj\ < -^-(1-R   *)    et    Xj6    --»-   >    la   variable
t = Xj + -^   qui  apparaît  dans  (1.8)  décrit  en  effet  un  intervalle
~1    /r /rx
contenant     ~   2   '   2     '   °n * d°nC  V'j ^ \  OÙ  (^«n  est la suite des valeurs propres de la forme quadratique
,-co = J[|f+<B/)W>.   /-jQ-f.fQ.
 [/R   /r~| - ^y- » ^r-  ' égale à 1
r   /r /r~i
/ =  I cJb.iy/Bjt),
"i«P;
 la décroissance exponentielle des fonctions $", à l'infini implique pour R assez grand l'inégalité
 sur      ~a~'a~~   ' dont ^a dérivée est majorée par 5/^/R. Pour toute combinaison linéaire
 Il/Il  <1+C
:ieXP('£))
IIXi/ll
 où  Cx = Cj^-jB^) > 0.  On en déduit par conséquent:
q(X*f) < «CO +
<«(/) +
\f\2Jdt
imi2

 ^(1  + s)(2^+1)B^IIXr/"2-Ceci donne bien  Xp. (. < \. < I 1+p )(2Pv+l)B,
D
INÉGALITÉS DE MORSE EN (T-COHOMOLOGIE
205
 Pour faciliter la tâche du lecteur, nous énonçons maintenant le principe  du minimax sous la forme où il nous a servi.
Proposition 1.20 (principe du minimax, cf. [14], Vol. IV, p. 76 et 78). - Soit Q une forme quadratique à domaine dense D(Q) dans un espace de Hilbert Jf. On suppose que Q est bornée inférieurement, i.e. Q(f) ^ - C||/||2 si /eD(Q), que D(Q) est complet pour la norme  II/IIq = [Q(/) + (C+l)imi2p, et enfin que l'injection (D(Q),|| ||Q) cz_> (jf ,|| ||) est compacte. Alors Q a un spectre discret Xx ^ X2 < ... ,   et on a les égalités :
 (a)	Xp =   min     max    Q(/),
Fc:D(Q)/¤F, ||/|| = 1
où   F   décrit l'ensemble des sous-espaces de dimension  p  de  D(Q);
 (b)	Xp+1 =  max     min    Q(/),
F<=D<Q)/6F,U/|| = 1
où F décrit l'ensemble des sous-espaces || \\Q-fermés de codimension p de D(Q).
 2. Distribution asymptotique du spectre  (cas d'un champ variable).
Nous nous plaçons à nouveau dans le cadre général décrit au début du § 1. Notre objectif est d'étudier le spectre de la forme quadratique Qak (cf. (1.3)) dans le cas d'un champ magnétique B et d'un champ électrique V  quelconques. Pour tout point  a e M,   soit
 (2.1)	B(a)= t *M)dxjAdxj+s
7=1
l'écriture réduite de B(a) dans une base orthonormée convenable (dxj,.. .,dxn) de T*M, où 2s = 2s(a) ^ n est le rang de B(a), et où Bx(a) ^ B2(a) ^ ... ^ Bs(a) > 0 sont les modules des valeurs propres non nulles de l'endomorphisme antisymétrique associé. L'égalité de définition 1.5 permet de regarder vB(X) comme une fonction du couple (a,À,)eM x R. Nous aurons besoin également de considérer la fonction vB(?i),  continue à droite en  V,  définie par:
 (2.2)	vB(X) =   lim   vB(X + e).
Nous démontrons alors la généralisation suivante du corollaire 1.7.
206
JEAN-PIERRE DEMAILLY
Théorème 2.3. - Lorsque k tend vers  + oo,  le nombre Nftjt(X) de valeurs propres   ^ X  de   Qfiit   vérifie l'encadrement*asymptotique
l
v"(V + X) da < lim inf k   2NQJt(X)
< lim sup k' ^Q,k(k) <      vB(V + X) dey.
!/?
La fonction X h-»      vB(V + X)da est croissante et continue à gauche;
elle n'a donc au plus qu'un ensemble @ dénombrable de points de discontinuité. L'ensemble Q) est d'ailleurs vide si n est impair, car vB(X) est alors continue. De là, on déduit aussitôt le
Corollaire 2.4.  - On suppose que  dQ,  est de mesure nulle. Alors
uw=r
lim  k   2Nnt(X) =     vB(V + X)do
k-> + oo
-* d
pour tout   XeR\^,   et la mesure de densité spectrale   k   2^r-NQik(^)
dX
d   f converge faiblement sur R  vers -     vB(V + A) da.   Si  n  est impair, la
dX JQ
mesure limite est diffuse.	D
Le lemme suivant montre que les intégrales du théorème 2.3 ont bien un sens.
Lemme 2.5.
c)On a les inégalités  vB(À,) < vB(À,) ^ Xnl2.
d)vB(V)   (resp. vB(V))    est   semi-continue   inférieurement   (resp. supérieurement) sur M.
e)En tout point xe M  oiî  s(x) < -* on a vB(V)(x) = vB(V)(x)  et
vb(V),   vb(V)    sont continues en x.
 (d)	Si  n  est impair,   vB(V) = vB(V)   est continue sur   M.
n_ _	n	
Démonstration. - (a) On a toujours (X-2 (2/^+1)8,.)2      < ^2     , et le nombre d'entiers p, tels que X - (2/^+1)1*, soit   ^ 0 est majoré par
INÉGALITÉS DE MORSE EN d"-COHOMOLOGIE
207
K
- - Comme la quantité numérique figurant dans (1.5) est majorée par 1,
Bj
l'inégalité (a) s'ensuit.
(b, c) Le rang s = s(x) est une fonction semi-continue inférieurement sur M, et les valeurs propres B1? B2, ..., prolongées par B7(x) = 0 pour j > s(x), sont continues sur M. Comme la fonction th> t°+ (resp. t i-> (r + 0)+) est semi-continue inférieurement (resp. supérieurement), la semi-continuité de vB(V) et vB(V) pose un problème uniquement aux points   a g M   au voisinage desquels   s(x)   n'est pas localement
constant. En un tel point  a g M,  on a nécessairement s(a) < ->  donc
vbO0(<z) = vB(V)(a); on va alors montrer que vB(V) et vB(V) sont continues en   a.   La continuité des   B,   donne   lim B.-(x) = 0   pour
j > s(à). Si les entiers pl9 .. .,ps(a) sont fixés, la sommation figurant dans (1.5) peut s'interpréter comme une somme de Riemann d'une intégrale sur  Rs<*)-S<fl)9  et on a donc l'équivalent:
-s(x)
X        (V(x)-2](2pJ.+ l)BJ.(x))2
(Pj;s(fl)<i^W)
c        r       s{a)	six)	i^s(x)
V(a)- X (2^+1)6^^-     X     2tjBj(x) 2+     Ut
-s(a)
JteRs(x)-s(a) |_	j=1	j = s(a)+l	J ^
y(a)-s(x)(V(fl) _ Z(2p.+ l)Bj.(a)y+
Q - S(X)+ 1 J - - - Q - 5(a)jBs(a) + 1(x).. .Bs(x)(x)
On obtient bien par conséquent :
limvB(V)(x) = vB(V)(a) = limvB(V)(x).
x-*a	x-*a
(d) Est un cas particulier de (c).	?
 La démonstration du théorème 2.3 repose essentiellement sur deux  ingrédients : tout d'abord un principe de localisation asymptotique des fonctions propres, qui s'obtient par application directe du minimax (proposition 2.6); d'autre part, la connaissance explicite du spectre de l'opérateur de Schrôdinger associé à un champ magnétique constant (cf. § 1). Le principe de localisation permet en effet de se ramener au cas d'un champ constant en utilisant un pavage de Q par des cubes assez petits.

 208	 JEAN-PIERRE DEMAILLY
Proposition 2.6. - (a) Si Q1, - - -, QN c Q sont des ouverts 2 à 2 disjoints, alors
N<u(X)> £ No.,,(X).
 (b) Soft (Q})1<;^N un recouvrement ouvert de Ù et (v|/j)i^N m  système de fonctions \|/j6<^00(Rn) à support dans Q}, telles que Ii|/2 = 1 sur  Q. On pose
 C(v|/) = supQ £ Idv|/,|2. Alors
Nq^X E Nfi) A+ic(v|/)
Démonstration. - (a) Soit ^ le C-espace vectoriel engendré par la  collection de toutes les fonctions propres des formes quadratiques Qq.,*, 1 ^ j < N, correspondant à des valeurs propres < X,. & est de dimension
dimJ^= X N~t(X) et pour tout  «ef,   on a
Qo» = I Qn;» < £ MMI2,, = X||u||2.
 Le principe du minimax montre donc que les valeurs propres de   Qft k d'indice   ^dim^  sont   < X,  d'où l'inégalité (a).
(b) Pour tout  ueWà(Q,E*)  il vient
£|Dk(x|/,.u)|2 = Zwpp+MjM2 = lD*"l2 + EWM2
J	J	J
car  2S\|/id\|/j = d(2\|/?) = 0.   On obtient donc
^Qn» + ^C(i|/)|M|2.
Si  chaque  fonction   \|/jueWo(£îj,Ek)   est  orthogonale  aux  fonctions
INÉGALITÉS DE MORSE EN d"-COHOMOLOGIE
209
 propres de Qn, k de valeurs propres < X + -C(\|/), on en déduit successivement
 Qû.fcW > ^IMI2.    si   M^O.
 Le principe du minimax 1.20 (b) entraîne alors que Nûjt(A,) est majoré par le nombre d'équations linéaires imposées à  m,   soit au plus
Soit Wx, ..., WN un recouvrement de fi par des ouverts de carte de la variété M. Pour tout e > 0, on peut trouver des ouverts Q, c Q'-relativement compacts dans  W,-,   1 < j < N,  tels que
f)fi = u fi, (disjointe),   et   Vol (fi) = Z Vol (fi,),
g)fi c u fi},	et   Vol (fi) < S Vol (0}) + e.
La proposition 2.6 ramène alors la preuve du théorème 2.3 au cas des ouverts fi, et fi} (on observera pour cela que la fonction vB(V + A,) est bornée et que la constante  C(\|/)  est indépendante de fe).
En définitive, on peut supposer que M = R", avec une métrique riemannienne g quelconque. Comme M = R" est contractile, le fibre E est alors trivial; soit A un potentiel vecteur de la connexion D et B = dk le champ magnétique correspondant. Nous démontrons d'abord la version locale suivante du théorème 2.3.
Proposition 2.9. - Soit ûgR" un point fixé, et Pk une suite de pavés cubiques ouverts tels que Pk9a. On note rk la longueur du côté de Pk, et on suppose que
rk < 1,       lim k *rk = + oo,       lim kÂrk = 0. Alors quand  k  tend vers   + oo,   on a
_ ni
liminf y	NPttt(X) > vB(a)(V(a) + X),
_ n
k   2
limsupy	NPfc>fe(À,) < vB(a)(V(a) + X),

 210	 JEAN-PIERRE DEMAILLY
et pour tout compact  KcR",  NP. *{X)  admet la majoration
+ maxKV+))"
uniforme par rapport à  a,  dès lors que  Pk c= K.
Démonstration. - On va se ramener au théorème 1.6 en effectuant une homothétie de rapport Jk sur Pk (c'est pourquoi nous avons dû supposer lim k*rk = + oo).
 Le lemme suivant mesure combien le champ magnétique B dévie du champ constant   B(a)   sur chaque Pk.
Lemme 2.10. - Sur chaque pavé Pk, on peut choisir un potentiel Âkdu champ constant  B(a)  tel que pour tout  xePk  on ait
|Âk(x)- AtxJKQrJ,
où Cx est une constante ^ 0 indépendante de k (et indépendante de a si a décrit un compact    K c R").
La régularité  C00   de  B  entraîne en effet une majoration
|B(fl)-B(x)|<C2r»,       xePk.
Soit Ak un potentiel du champ B(a) - B(x) sur le cube Pk, calculé au moyen de la formule d'homotopie usuelle pour les ouverts étoiles. On a alors
|Ak(x)|^C3rk2,
et il suffit de poser  Âk = A -h Ak.	?
Notons Oq,... ,xn) les coordonnées standard de R". Soit (y t,... ,yn) un système de coordonnées linéaires en  xl9 .. .,xn tel que (dyl9.. .,dyn) soit une base orthonormée au point a pour la métrique g, et tel que dans cette base  B(a)  s'écrive sous la forme diagonale (2.1) :
B(a)= t Bj(a)dyjAdyj+s.
Soit g la métrique constante
n
g = g{a) = X dyj.
INÉGALITÉS Î)E MORSE EN d"-COHOMOLOGIE
211
 Désignons par Dk = à 4- ikk A ?, f)k = d + ikÂk A 1 les connexions sur Ek|Pk associées aux potentiels A, Âk, et par Qk = QPjbfc, Q* les formes quadratiques associées respectivement aux connexions Dk, Dk, aux métriques g, g9 et aux potentiels scalaires V, V = Y (a) (formule (1.3)).
Lemme2.11. - Il existe une suite ek tendant vers 0 (dépendant des rki mais indépendante de a si a décrit un compact K c R") telle que si \\ \\g et || ||? désignent les normes L2 globales associées aux métriques g et g, on ait
(l-ek)IMI?2^N|2^(l+6k)||M||2,
(l-ek)Qk(") - e*IMI,2 ^ Qk(u) < (l + ek)Qk(u) + ek||u||2
pour tout  weWj(Pk).
Sur Pk,   on a en effet un encadrement :
(1-C4rk)g<£^(l+C4rk)g,
et ceci donne la première inégalité double dans 2.11. Avec la notation Ak = Âk - A,   on en déduit
Q*(") =  f  Q|OkM-ifcAkAM|2-VM2^a
< (1+C5rk) f Q|Okw-i/cAi A W||- VCa)]!.!2') dSH-r,k||u|||
avec r|k = supPfc |V - V(a)| + C6rk9 quantité qui tend vers 0 lorsque k tend vers + oo . En utilisant l'inégalité (a + b)2 < (l+<x)(a2 + a_1b2), le lemme 2.10 implique d'autre part
|DkW-ffcAkAu|| ^ (l+^DD^If+a-^fc^M2].
Choisissons   a = ak = Clv/fcrk.    La  suite    ock    tend   vers   0   d'après
i l'hypothèse  lim fc4rk = 0,   et il vient
^u-ikKAulï^il + ^faull+OLM2]-
La majoration de Qk s'ensuit. La minoration s'obtient de même grâce à
l'inégalité  (a+b)2 > (l-a)(o2-a_1fc2).	D
212
JEAN-PIERRE DEMAILLY
Le lemme 2.11 ramène la preuve de la proposition 2.9 au cas où la métrique  g et le champ magnétique  B  sont constants :
g= £dy],       B= t^àyjAdyJ+a.
On peut supposer de plus V = 0 en effectuant la translation X i-? X + y (a). La seule difficulté qui subsiste pour appliquer directement le théorème 1.6 vient du fait que les cubes Pk deviennent en général des parallélépipèdes obliques dans les coordonnées (yl9.. .,)>"); les angles entre les différentes arêtes de chaque Pk et les rapports de leurs longueurs restent toutefois encadrés par des constantes > 0. Pour résoudre cette difficulté, il suffit de paver chaque parallélépipède Pfc par des cubes Pka dont les arêtes sont parallèles aux axes des coordonnées (yi, -- .,)>"). Choisissons ee]0,l[. Pour tout oceZ", soient (P*,a), (Pi,a) les cubes ouverts de côtés respectifs erfc, e(l +e)r*, et de centre commun erka. On se bornera à considérer les cubes Pkot contenus dans Pk et les cubes Pk a rencontrant  Pk.   On a alors
ZVol(PM)
 (2.12)	Pk => (J PM (disjointe),     et      "Vol(p)    > 1 - C7e,
ZVol(P;,a)
 (2.13)	P^UPi,,,       et       \ol(pk)    <1+C7e,
 où C7 est une constante indépendante de k (et aussi de a, si a décrit un  compact). Le nombre de cubes Pkot, P^a qui figurent dans (2.12) ou (2.13) est majoré par C8e"n. Comme les cubes P^ se recouvrent deux à deux sur une longueur e2rk lorsqu'ils sont contigus, on peut construire une partition de l'unité  £i|/£a = 1   sur  Pk,   avec  Supp \|/kQl cz T>'ka  et
supPkZl#fc,J2 = C(x|/k)^C9(82rfc)-2.
a
L'hypothèse   lim \ô-rk = + oo   entraîne bien   lim-C(\|/k) = 0,   ce qui
K
permet d'appliquer 2.6 (b). Sur les cubes PkQt, PfcQt nous sommes maintenant dans la situation du théorème 1.6 : après homothétie de rapport yfk, le côté du cube homothétique ->/kPkt0i vaut Rfc = erky/k et tend bien vers + oo par hypothèse. La majoration uniforme de NPfc k(k) résulte de la proposition 1.18 et du fait que toutes nos constantes Cl9 ...,C9  étaient uniformes. La proposition 2.9 est démontrée.      ?
INÉGALITÉS DE MORSE EN d"-COHOMOLOGIE
213
Démonstration du théorème 2.3. - D'après la remarque précédant la proposition 2.9, nous pouvons supposer que M = R" et que Q est un ouvert borné de R". L'idée du raisonnement est de combiner les propositions 2.6 et 2.9 en utilisant un pavage de Q par des cubes de côté rk = k 3 . La mise en ½uvre effective réclame néanmoins un peu de soin à cause des difficultés liées à la non-uniformité éventuelle des lim sup et lim inf.
Désignons par Tlka, nka ,aeZ", les cubes ouverts de côtés respectifs
_i	-i	_i	_i       _ii
k  3,       k  3(l + k  8) = k  3 + fc  24
et de centre commun k  3oc. Soit I(fc) (resp. F (k)) l'ensemble des indices aeZ"    tels   que    nka c: Q    (resp.   Tl'^nù^0).    Comme   dans   le raisonnement de la proposition 2.9, il existe une partition de l'unité Z   ^m ~ 1   sur  ^'   avec   Supp\|/fca c ITk>a  et
ael'(fc)
C(^) = sup0   S   |«%,J2 < C10*#,
a e I'(fc)
d'où lim-C(\|/k) = 0.   On pose
ak= \j nM,   ak= U n;,a
 a e I(fc)	a e I'(fc)
et on considère pour tout X e R fixé, les fonctions sur R" définies par
k~k  ^à,N,"--'(x)\ww1n"'-
où 1nfca désigne la fonction caractéristique de IIk>a.  La proposition 2.6 implique l'encadrement
 (2.14)	f fk do < k"fNa,(?i) < f fk do.
 Jr-	Jr-
Soit  xgR"  un point fixé n'appartenant pas à l'ensemble négligeable
z=    U   diifc,a.
*eN,oteZ"
214
JEAN-PIERRE DEMAILLY
 Il existe alors une suite d'indices a(fe) e Zn unique telle que x e ïlkMk) . La  proposition 2.9 appliquée à la suite des cubes Pk = TlkMk) (resp. Fk = nkMk))  avec  Vol(Pk) ~ VoIP*  montre que les suites ponctuelles
sont telles que
fliminf/»(x) ^ v?x)(V(x) + X)10(x) jlimsup/i(x) < vB(x)(V(x) + X)1a(x)
 (2-15)	,"_....,,..,    ""..,. ,.« ,..)
La majoration  uniforme de la proposition 2.9 entraîne d'autre part l'existence de constantes Cn, Çu indépendantes de fc, x et X, telles que
/*(*) </iw ^ Cn(i+v^ + c12r.
Le théorème 2.3 résulte alors de (2.14), (2.15) et du lemme de Fatou.
D
 En vue des applications à la géométrie complexe, nous aurons besoin  d'une légère généralisation du théorème 2.3. On se donne un fibre hermitien F de rang r et de classe #°° au-dessus de M, muni d'une connexion hermitienne V, et des sections continues S du fibre AiT*X(g)RHomc(F,F) et V du fibre Herm(F) des endomorphismes hermitiens de F. Soit Vfc la connexion hermitienne sur E* (g) F induite par les connexions D et V. Pour abréger les notations, on désignera encore par S et V les endomorphismes ldEk ® S et IdEfe (g) V opérant sur E* (g) F. Étant donné un ouvert Q relativement compact dans M, on considère la forme quadratique
Qq» =
'&?>
+ Su|2-<Vu,u>   do,
où ue WJ(Q,E*®F).  Soient Yx(x) < V2(x) <        < Vr(x) les valeurs propres de  V(x)  en tout point  x e M.  On a alors le résultat suivant.
Théorème 2.16. - La fonction de dénombrement NQ*(X,). des valeurs  propres de  Qnk  admet pour tout   XeR  les estimations asymptotiques
VB^ + ^da,
liminffe  2Na*(X,) ^ £
k -*? + oo	'	. _ 1
Q
J=l
limsupfe"5Na^)< £   f vB(V, + ^)da, où  B  est le champ magnétique associé à la connexion  D   sur  E.

 INÉGALITÉS DE MORSE EN d"-COHOMOLOGIE	215
Démonstration. - Le principe de localisation 2.6 est encore valable dans la présente situation. Il suffit donc de démontrer les inégalités 2.16 lorsque Q est assez petit. Soit  aeM un point fixé et (el9...,er) un repère orthonormé ^°° deF au-dessus d'un voisinage W de a, tel que (ei(a),.. >,er(a)) soit une base propre pour V(a). Écrivons u sous la forme
r
u = £ u j <g> ej
où Uj est une section de Ek. Pour tout 8 > 0, il existe un voisinage Wg c W   de   a   sur lequel
£ ÇVj(a)-e)\uj\2 < <Vu,u> < £ (V/a) + e)|Mj|2.
j=i	j=i
On a d'autre part
r
Vku = £ Dku, (g) e,. + Uj ® Ve,-, j=i
 et le terme Uj (g) Ve,- peut être absorbé dans Sm (ce qui nous ramène en fait au cas où la connexion   V  est plate). L'encadrement
(l-fe"^)|VkM|2 + (l-kh\Su\2 < |Vkw + Su|2
^(l+fc"2)|VkM|2  + (l+fci)|Sw|2
montre que le terme Su ne modifie Qn k que par un facteur multiplicatif 1 ± e et par un facteur additif ± 6||w||2. Pour tout e > 0, Il existe donc un voisinage  We  de  a  et un entier  /c0(e)  tels que
(l-e)Qn» - s|M|2 ^ Qa*(") < (l+e)Qn» + e||u||2 dès que  fe ^ fc0(e) et Q c W£,  où  QQk désigne la forme quadratique
-Wj(a)\uj\2 )do.
fc10^1
Qn» =  t
 Comme QQ k est une somme directe de r formes quadratiques, le spectre de Qn k est la réunion (comptée avec multiplicités) des spectres de chacun des termes de la somme. Le théorème 2.16 s'ensuit.
?
 216	 JEAN-PIERRE DEMAILLY
 3. Identité de Bochner-Kodaira-Nakano  en géométrie hermitienne.
 L'objet des paragraphes qui suivent est de tirer les conséquences du théorème de répartition spectrale 2.16 pour l'étude de la d"-cohomologie des fibres vectoriels holomorphes hermitiens. Dans ce but, nous aurons besoin de relier le laplacien antiholomorphe À" à l'opérateur de Schrôdinger d'une connexion réelle adéquate. Ceci se fait au moyen d'une formule particulière de type Weitzenbôck, connue en géométrie complexe sous le nom d'identité de Bochner-Kodaira-Nakano.
Soit X une variété analytique complexe compacte de dimension n et F un fibre vectoriel holomorphe hermitien de rang r au-dessus de X. On sait qu'il existe une unique connexion hermitienne D = D' + D" sur F dont la composante D" de type (0,1) coïncide avec l'opérateur d du fibre (une telle connexion est dite holomorphe). Soit c(F) = D2 = D'D" + D'D' la forme de courbure de F. Munissons X d'une métrique hermitienne arbitraire co de type (1,1) et de classe #°°. L'espace ^^(X,F) des sections de classe Ve0 du fibre AP'«T*X ® F se trouve alors muni d'une structure préhilbertienne naturelle. On note 5 = 5' + 5" l'adjoint formel de D considéré comme opérateur différentiel sur  <^(X,F),   et  A  l'adjoint de l'opérateur  L : u h-> cû A u.
 Nous utiliserons l'identité de Bochner-Kodaira-Nakano sous la forme  générale démontrée dans [6], bien qu'on puisse en fait se contenter, comme le fait Y. T. Siu [16], [17], de la formule moins précise donnée par P. Griffiths. Si A, B sont des opérateurs différentiels sur # ^(X,F), on définit leur anti-commutateur [A,B]  par la formule
[A,B] = AB - (-l)ûbBA
 où a, b sont les degrés respectifs de A et B. Les opérateurs de Laplace-Beltrami   A'  et  A"  sont alors donnés classiquement par
A' = [D',5'] = D' ô' + Ô'D',       A" = [D", ô"].
 A la forme de torsion d'(ù, nous associons l'opérateur de multiplication extérieure w h-Woo A u sur #®(X,F), de type (2,1), noté simplement d'(ù, et l'opérateur t de type (1,0) défini par i = [A,d'co]. Nous posons enfin
d; = ^ + t,   ô; = (d;)* = ô' + t*,   a; = [d;,ô;j.
 INÉGALITÉS DE MORSE EN d"-COHOMOLOGIE	217
 On a alors l'identité suivante, pour une démonstration de laquelle le lecteur se reportera à [6].
Proposition 3.1. - A" = Ai + [ic(F),A] + Tm où Tw est l'opérateur d'ordre  0  et de type  (0,0)  défini par
T» = rA,rA,^^Jl-[^co,(d'a))*].
D'après la théorie de Hodge-De Rham, le groupe de cohomologie H*(X,F) s'identifie à l'espace des (0,<?)-formes A"-harmoniques à valeurs dans   F.   Soit  «6^(X,F).   La proposition 3.1 nous donne l'égalité
 (3.2)    F |D"u|2 + |ô"u|2 = I   <A"m,m>
Jx	Jx
1
= I |d;M|2 + |s;M|2 + <[*c(F),a]u,m> + <t>,w>,
où  les  intégrales  sont  calculées  relativement  à  l'élément  de  volume
co" do = -r. En particulier, si u est de bidegré (09q),  on a  b'xu = 0 par n !
raison de bidegré, d'où
 (3.3)    f <A"W,M> = f |D;M|2 + <[ic(F),A]u,u> + <ï"ii,u>.
Jx	Jx
 On peut également considérer u comme une (n,g)-forme à valeurs dans le  fibre F = F (g) ATX; on notera D = £)' + B" la connexion hermitienne holomorphe de  F  et  5  l'image canonique de  u  dans ^^(X,F).
Lemme 3.4.  - On a des diagrammes commutatifs
^o,,(F)
«£<*)    -^.»m+i(F).        *.V*)    -
<C,(F)
où les flèches verticales sont les isométries  u t-* m .
218
JEAN-PIERRE DEMAILLY
Démonstration. - La commutativité du diagramme de gauche résulte  du fait que ATX est un fibre holomorphe (on prendra garde au fait que le résultat correspondant pour D' et 0' est faux). On a donc un diagramme commutatif analogue pour les adjoints   8",   3"  et pour  À",   A".      ?
Le lemme 3.4 et l'identité (3.2) nous donnent
(3.5)    f <A"u,u> = f (H'ufo
Jx	Jx
=  [lW + <[*c(F),A]w,u> + <l>,u>.
 Nous allons maintenant transformer légèrement l'écriture de (3.3) et (3.5). La connexion hermitienne holomorphe du fibre AT*X induit sur le fibre conjugué A°'T*X une connexion dont la composante de type (1,0) coïncide avec l'opérateur d'. On en déduit alors une connexion hermitienne naturelle V sur le fibre produit tensoriel A0,T*X ® F (on observera que ce fibre vectoriel nest pas holomorphe en général si q / 0). Soient   V  et  V"  les composantes de  V  de type  (1,0)  et  (0,1).
Proposition 3.6.  - On a
V = D' : #00(A°'T*X®F) -+ #£0(A°'T*X®F),
et il existe un diagramme commutatif
#Û0(A°'T*X®F)  -     #£1(A°'T*X®F)
MF
»2,(F)	-^	<iC-i,,(F)
où les flèches verticales sont des isométries, celle de gauche étant donnée par
Uh+ÏÏ.
Démonstration. - L'égalité V = D' provient du fait que la composante de type (1,0) de la connexion de A°'T*X coïncide avec d'. Pour le diagramme, on commence par définir la flèche verticale *P. Soit
(?|?):    (A*-*>T*X®F) x (Ap2'«2T*X®F) - A'i+«*«'+*T*X

 INÉGALITÉS DE MORSE EN d"-COHOMOLOGIE	219
 l'accouplement sesquilineaire canonique induit par la métrique sur les fibres de  F,  et
* :   A?T*X ® F -> A"-¤-"_lT*X ® F
l'opérateur de Hodge-De Rham-Poincaré défini par
(v\*w) = <r,w> de,       v9 w e AP'«T*X ® F.
On en déduit par composition une isométrie
¥0 : A°'1T*X ® F - AMT*X ®F -^ A"-1«°T*X (g) F
"2"
et la flèche *F s'obtient par définition en tensorisant - i~nxV0 par A0,<T*X. Pour démontrer la commutativité, on suppose d'abord q = 0. Soit  tte#°°(F).   On a classiquement
%'u = - *C"*w,
et comme  we#£0(F),  il vient   *u = i~nu,  d'où
8'2 = - rn2*û"u = - r"2* ~ d"m = - rnV0(D"u) = v(Y'u).
Dans le cas où q est quelconque, il suffit de trivialiser A0'4T*X au
voisinage d'un point x arbitraire, en choisissant un repère orthonormé
(el9.. .,eN)   de ce fibre tel que   Vex(x) = - - - = VeN(x) = 0.	D
On considère maintenant les morphismes de fibre
S' : A°'«T*X ® F - A1'°T*X ® A°'*T*X ® F S" : A°'9T*X ® F -> A°'1T*X ® A°'«T*X ® F
 où S' = x = [A,d'co], et où S" est le relevé par les isométries ~ et *F du morphisme
x* = [(<*'©)*,L] : AW'*T*X ® F - An"1^T*X ® F.
D'après la proposition 3.6, on a
Id;W| = iv'ii+s'iii,     |8$| = |V"u+s"u|.
Si on pose S = S' © S", les identités (3.3) et (3.5) impliquent par addition
(3.7)   2     <A"ti,u> =     |Vu + Su|2 +      <[fc(F),A]n,i*>
Jx	Jx	Jx
+      <[fc(P),A]S,S> + <T>,u> + <T.S,S> pour tout  ue#£g(X,F).
 220	 JEAN-PIERRE DEMAILLY
 Soit maintenant E un fibre holomorphe hermitien de rang 1 au-dessus de X. Pour tout entier k, on note Dk et Vk les connexions hermitiennes naturelles sur les fibres Ffc = Ek ® F et A0,qT*X ® Fk, et on pose Ak' = [Dk',5k'].   La courbure de   Fk   (resp. Fk)  est donnée par
(3.8)   c(Fk) = c(F) + fec(E) ® IdF,
(resp. c(Pk) = c(F) + fec(E) ® IdF).
Rappelons, bien que ce soit inutile pour la suite, que
c(P) = c(F) + c(ATX) ® IdF = c(F) + Ricci(û)) ® IdF.
 Nous aurons donc besoin d'évaluer les termes [ic(E),A]. Pour tout point xeX, soient a^x), a2(x), . ..,a"(x) les valeurs propres de ic(E)(x) relativement à la métrique hermitienne ½ sur X. Il existe donc un système   de   coordonnées   locales    (z1?...,2n)    centré   en   x   tel   que
 \dz1 " ' dzj
soit une base orthonormée de  TXX,   et tel que
 i   n  <°(x) = ôl dz J A  d ~zJ>
i   n ic(E)(x) = - X VjWdZj A dzy.
Soit   (el5...,er)   un repère orthonormé de la fibre   E*®FX.   Pour v e AP**T*X ® Fk,   on peut écrire
v =      I      vw dzY A dz, ® e¤,       M2 = 2'+* Z |t?u/|2 .
|I|=P,|J| = <ï/	u/
Un calcul élémentaire, explicité par exemple dans [6], donne la formule
(3.9)        ([ic(E)9A]v,v> = 2*+« iL + cxj- £ o^li^l2 avec   ^ = X a,.   Soit  u e A°'«T*X ® Fk.   Posons
J/ D'après (3.9), il vient
<[ic(E),A]u,u> = 2^-aCJ|uJ/|2,
<[ic(E),A]u,S> = 2^aJ|uJ/|2. j/

 INÉGALITÉS DE MORSE EN d"-COHOMOLOGIE	221
Soit  V  l'endomorphisme hermitien de  A°**T*X (g) Fk  défini par
 (3.10)	<V«,u> = - <[Jc(E),A]«,«> - <[ic(E),A]ù,ù>
= 2«X(aCj-aj)l«i/l2-
Les valeurs propres de V sont donc les coefficients oty - otj, comptés avec multiplicité r = rang (F). Soit enfin 0 l'endomorphisme hermitien défini par
(3.11)	{@u,u} = <[ic(F),A]",u> + <[ic(F),A]a,u>
+ (J^u) + <TJl,u) . Les identités (3.7-11) impliquent alors
(3.12)	\ f <Ai'u,M> = f \ |Vku + Su|2 - <Vu,W> + \ <0t/,u>
K  Jx	JxK	K
où les opérateurs S, V, 0 n'agissent que sur la composante A°'4T*X (g) F de A°'4T*X ® Fk. On va donc pouvoir utiliser le théorème 2.16 pour déterminer la distribution spectrale asymptotique de   A*,   car le terme
- <0m,m>   tend vers  0  en norme. k
Soit hl(k) le nombre de valeurs propres   ^ kX de A£  opérant sur ^Qq(Ek®F).   Le champ magnétique  B  est ici donné par
n
(3.13)B = - ic(E) = - Yj aj^xj A dyj9       z} = x} + iy}.
Compte-tenu que dimRX = 2n, le théorème 2.16 se transcrit comme suit.
Théorème 3.14. - Il existe un ensemble dénombrable 3) tel que pour tout  q = 0, 1, ..., n   et tout   X ¤ R\^   on ait
h«(k) = rkn £   f vB(2\ + aCJ-ocj)</a + o(kn)
lorsque  k  tend vers   + oo.
222
JEAN-PIERRE DEMAILLY
4. Complexe de Witten et inégalités de Morse.
E. Witten [18], [19] a introduit récemment une nouvelle méthode analytique pour démontrer les inégalités de Morse en cohomologie de de Rham. Nous adaptons ici sa méthode pour l'étude de la d" -cohomologie. La principale différence réside dans le fait que le champ magnétique est toujours nul dans le cas de la cohomologie de de Rham (on a en effet d2 = 0 !), et c'est le champ électrique qui intervient seul dans ce cas.
Avec les notations du § 3, soit ^l(k) <= #o^(X,Ek®F) la somme directe des sous-espaces propres de A£ attachés aux valeurs propres < kX. J^\(X)   est donc un espace vectoriel de dimension finie
hl(X) = dimcJtri(k).
La théorie de Hodge donne un isomorphisme
H«(X,Ek®F) ~^(0).
On posera pour abréger
h\ = dim H*(X,E*®F) = hqk(0).
Proposition 4.1. - J^l(X) est un sous-complexe du complexe de Dolbeault
Di': #£(X,E*®F).
De plus, l'inclusion  J^l(X) c #£#(X,E*®F)   et la projection orthogonale
Px : «£(X,Ek®F) -> JTI(X)
induisent en cohomologie des isomorphismes inverses l'un de l'autre.
Démonstration. - Le fait que JfJ(X,) soit un sous-complexe de #£(X,E*®F) provient de la propriété de commutation des opérateurs D£ et  AjJ.   Soit maintenant
Jx>o A

 INÉGALITÉS DE MORSE EN d"-COHOMOLOGIE	223
l'opérateur de Green du laplacien  A£.  Comme  [Px,A£] = 0,  on a les relations   [G,A^] = 0  et
A£G + P0 = Id.
De plus,   [Px,Dfc] = [G,Dfc] = 0.   On en déduit donc
Id - P, = A;'G(Id-Px) + P0(Id-PJ = A^G(Id-Px) = D2(Si'G(Id-P,)) + (8JG(Id-PJ)DS;,
de sorte que l'opérateur 8i'G(Id - Px) est une homotopie entre Id et Px.
D
On   utilise   maintenant   un   lemme   classique   simple   d'algèbre homologique.
Lemme 4.2.  - Soit
0 -? C° - C1 - - - -  -? C" -» 0
un complexe d'espaces vectoriels de dimensions finies c°, c1, ..., cn sur un corps   K.   Soit   hq - dimKH*(C*).   Alors, on a les inégalités suivantes:
h)Inégalités de Morse : hq < cq, 0 ^ q ^ n.
i)Égalité des caractéristiques d'Euler-Poincaré   x(H*(C*)) = x(C*) :
h° - h1 + - - - + (-l)nhn = c° - c1 + - - - + (-l)V. c) Inégalités de Morse fortes : pour tout  q9   0 ^ q < n, *-- fc*"1 +--..+ (-1)^° <<* - c4"1 + --- + (-1)V\
Démonstration.  - Si    Zq = Ker dq    et    B« = Im^_1     ont   pour dimensions  z*  et  &*, l'égalité  (b)  résulte en effet des formules
cq = zq + bq+\       hq = zq-bq,
tandis que  (c)  résulte de  (b)  appliqué au complexe
0 _? C° -+ C1 -?	-? C4*"1 -> Zq -? 0.	D
Si   F   est  un  fibre  vectoriel  holomorphe  sur   X,   on  définit  sa caractéristique d'Euler-Poincaré par
X(X,F)=  £ (-l)«dimH«(X,F). , = o
 224	 JEAN-PIERRE DEMAILLY
 En combinant la proposition 4.1 et le lemme 4.2, nous obtenons pour tout X ^ 0  et tout   q,   0 ^ q < n,   l'inégalité
Af _fc|-i+... +(-i)*fcg<fcf(A.)-iif-1(X)+ - - - +(-iyh°(X).
 Évaluons maintenant hl(X) au moyen du théorème 3.14 et faisons tendre X g R\@  vers  0  par valeurs   > 0.   Il s'ensuit :
Corollaire 4.3.  - On a les inégalités asymptotiques
j)ht < W + o(kn)
k)x(X,E*®F) = kTÇL0-!1 +  ---+(- 1)T> + o(fcw),
(c)   fcf-14"x + - -- +?(- î^fc? ^fe^-l^' + '-'+C-l^-f^Cfe"),
où   F   désigne l'intégrale de courbure
F = r X      vB(aCJ-aj)da.
UI=« Jx
 D'après (3.13), les modules des valeurs propres du champ magnétique B  sont les lot/1, 1 ^; < n. Pour tout point xeX, rangeons ces valeurs propres en sorte que
laU-^ |a2| >        > |aj > 0 = |as+1| = ... = |aj,     s = s(x).
La formule (1.5) donne
2s-2n7c-n
 B(aCJ-aj)=	5+     [^...aj    £    {atJ-aJ-5:(2pj+l)|aj|}r
 avec la notation {X}°+ = 0 si X < 0 et {A,} + - 1 si X ^ 0. Comme la  quantité <Xjj - ocj - X(2p</+l)|aj| est toujours < 0, vB(ocjj-<Xj) ne peut être non nul que si s = n. Dans ce dernier cas afj - aJ ~ £(2pj+l)|a,l = 0 si et seulement si px = - = /?" = 0 et oc,- < 0 pour j g J, a, > 0 pour 7 e [J. Ceci entraîne que la forme ic(E) est non dégénérée d'indice q. Pour xeX(q) (cf. notations de l'introduction) et   |J| = q,   on a donc
vB(aCj-aj) = (2Tu)_n|a1.. .aJ > 0
si J est le multi-indice J(x) = {/;a/x)<0} et vB(<Xjj-aj) = 0 si J # J(x).  Il s'ensuit
P = rf   (27t)-w(-l)%...anda = -^f    (-1)«(^C(E)Y.
INÉGALITÉS DE MORSE EN d"-COHOMOLOGIE
225
 Le théorème fondamental 0.1 n'est alors qu'une reformulation du  corollaire 4.3. Le raisonnement ci-dessus montre que les formes harmoniques de H*(X,Ek®F) se concentrent asymptotiquement sur X(g), et qu'en chaque point de X(q) leur direction tend à s'aligner sur le  g-sous-espace de TX correspondant à la partie négative de ic(E). De  plus, seule la valeur propre d'énergie minimale px = - - - = pn = 0 de  l'oscillateur harmonique intervient pour ces formes. Pour q = 1, l'inégalité de Morse forte 4.3 (c) s'écrit
K -K^ fe^I1-!0) + o(fen),
 d'où en particulier une minoration asymptotique du nombre de sections holomorphes du fibre   Ek (g) F.
Théorème 4.4. -
dim H°(X,Ek®F) > r-\      (^-c(E)Y - o(kn). n! Jx«i)\2^       /
 Plus généralement, l'addition des inégalités 4.3 (c) pour les indices q + 1   et  q - 2  entraîne
K+1 ~ hqk + hr1 ^ kn{\q+1-lq^lq-1) + o(fc"),
d'où la minoration
(4.5)   dimHnX,Ek®F)^r^-   £   (-l)«f      ^c(E)Y-o(few).
5. Caractérisation des variétés de Mofëezon.
 Soit X une variété C-analytique compacte connexe de dimension n. On appelle dimension algébrique de X, notée a(X), le degré de transcendance sur C du corps K(X) des fonctions méromorphes sur X. D'après un théorème bien connu de Siegel [15], la dimension algébrique de X vérifie toujours l'inégalité 0 < a(X) < n. Lorsque a(X) = n, on dit que X est un espace de Moi§ezon. Comme on va le voir, la dimension algébrique de X impose asymptotiquement de fortes contraintes sur la dimension des espaces de sections d'un fibre vectoriel holomorphe.
Théorème 5.1. - Soit a la dimension algébrique de X, F un fibre  vectoriel holomorphe de rang r et E un fibre linéaire sur X. Alors, il existe

 226	 JEAN-PIERRE DEMAILLY
une constante  CE ^ 0  ne dépendant que de  E  telle que dimH°(X,E*®F) < CErk° + o(k°).
Démonstration. - Nous reprenons pour l'essentiel les arguments de  Y. T. Siu [16]. Soit {W,} un recouvrement de X par des ouverts de coordonnées W, c Cn, et B, = B(aj9Rj)9 1 <; < m, une famille de boules relativement compactes dans les ouverts W,, telles que les boules
 concentriques   B} = Bl 0,-,-Rj 1   recouvrent   X.   Munissons   E,F   de
 métriques  hermitiennes,  et  soit   exp( -(p,)   le  poids  représentant  la métrique de  E  dans une trivialisation de  E  au voisinage de  Bj.
 Soit alors seH°(X,E*®F) une section holomorphe qui s'annule à l'ordre  p  en un point  Xj g B}.   Les inclusions

 et le lemme de Schwarz appliqué aux deux boules intermédiaires entraînent l'inégalité
 (5.2)	suPbj.|s| < exp (Afc + CF)3"P supB.|s|,
où   A = max diam cpj(Bj)   ne dépend que de   E,   et où   CF   est une
constante   ^ 0  qui dépend de la métrique de   F.
 Soit p < r = rang (F) le maximum pour x e X de la dimension du  sous-espace de la fibre Fx engendré par les vecteurs s(x) lorsque s décrit (J H°(X,E*®F).   Si   p = 0,   alors   H°(X,E*®F) = 0   pour tout   k.
fceN
Distinguons maintenant deux cas suivant que   p = 1   ou   p > 1.
(a) Supposons   p = 1.
Soit hk = dimH°(X,E*<g)F), supposée > 0. Sous l'hypothèse p = 1, les sections globales de E* ® F définissent une application holomorphe
<V. x\zk -* p^-^o
 où Zk c X est le sous-ensemble analytique de leurs zéros communs. Soit d le rang maximum de <b'k sur X\Zk. On a nécessairement d < a, sinon le corps des fractions rationnelles de   P^^C)   induirait un corps de
INÉGALITÉS DE MORSE EN d"-COHOMOLOGIE
227
fonctions méromorphes sur X de degré de transcendance ^ à > a, ce qui est absurde. Choisissons pour tout j = 1, ..., m un point x, g B}\Zfc tel que Ok soit de rang maximum = à en xj9 et soit s0 e H°(X,Ek®F) une section qui ne s'annule en aucun point Xj. Pour tout seH°(X,Ek®F), le quotient s/s0 est bien défini en tant que fonction méromorphe sur X, et de plus s/s0 est une fonction holomorphe au  voisinage de x7-, constante le long des fibres de Ok. Comme Q>k est une  subimmersion au voisinage de chaque point xJ5 on peut choisir une sous- variété M7- de dimension d passant par Xj et transverse à la fibre Ok~ * (Ok(xJ)). La section s s'annulera à l'ordre p en chaque point Xj, 1 ^ j < m, si et seulement si les dérivées partielles d'ordre < p de s/s0 le long de Mj s'annulent en x7. Ceci correspond au total à l'annulation de
fp + d-l\
 dérivées. Si nous choisissons p = [Afc + CF] + 1, alors l'inégalité (5.2) entraîne
supxM < (|j supx|s|, d'où  s = 0.   Comme  d < a,   nous obtenons par conséquent
dimH°(X,Ek®F) ^ mlP + a~l\ < CEfea + oQf)
avec  CE = mAa/a !.
(b)   Supposons  p > 1.
 Il existe alors des sections st e H°(X,E*f®F) 9 l ^ t < p, et un point x0eX tels que les vecteurs s1(x0% ..., sp(x0) soient linéairement indépendants. Par construction, pour tout k e N et toute section seH°(X,Ek(g)F), la droite C.s(x) est contenue dans le sous-espace engendré par (s^x),.. .,sp(x)), sauf peut-être au-dessus du sous-ensemble analytique {x e X;s1 A ... Asp(x)} = 0. On a donc un morphisme injectif
H°(X,E*®F) -?    ©   H°(X,Efc+/c'®ApF)
 où  kf=(k1+-  -l-fcp) - kt9 dont la composante d'indice t est donnée par s -> sx A - - - A st A - - - A sp A s. L'image de H°(X,Ek®F) sur chaque composante est formée de sections colinéaires en presque tout point
228
JEAN-PIERRE DEMAILLY
 à Sj A --- A sp. On se retrouve donc dans une situation analogue à celle du (a), où  F  est remplacé par  E*'(g) APF;   par suite:
dim H°(X,E*®F) ^ CEpk° + o(k°),     p < r.	?
Choisissons en particulier pour F le fibre trivial X x C. En comparant les théorèmes 4.4 et 5.1, nous obtenons la caractérisation géométrique suivante des variétés de MoiSezon.
Théorème 5.2. - Pour qu'une variété C-analytique compacte connexe X de dimension n soit de Moïsezon, il suffit qu'il existe un fibre en droites
holomorphe hermitien  E  au-dessus de  X  tel que	O'c(E))" > 0. ?
Jx«i)
Ce théorème entraîne à son tour le théorème 0.8 puisque 0.8 (c) => 0.8 (b) => 0.8 (a). On améliore ainsi les résultats de Y. T. Siu [17] [18], et on retrouve donc en particulier une nouvelle démonstration de la conjecture de Grauert-Riemenschneider [10].
BIBLIOGRAPHIE
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333.
Manuscrit reçu le 30 mai 1985.
Jean-Pierre Demailly,
Institut Fourier
Laboratoire de Mathématiques
Université de Grenoble I
B.P. 74
38402 St-Martin d'Hères Cedex.