Annales de l'institut Fourier Jean-Pierre Demailly Sur les nombres de Lelong associés à l'image directe d'un courant positif fermé Annales de l'Institut Fourier, tome 32, n° 2 (1982), p. 37-66. © Annales de l'institut Fourier, 1982, tous droits réservés. L'accès aux archives de la revue « Annales de l'institut Fourier » (http://annalif.ujf-grenoble.fr/), implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. NUMDAM Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Ann. Inst. Fourier, Grenoble 32, 2 (1982), 37-66. SUR LES NOMBRES DE LELONG ASSOCIÉS A L'IMAGE DIRECTE D'UN COURANT POSITIF FERMÉ par Jean-Pierre DEMAILLY 0. Introduction. Soit T un courant positif fermé de bidimension (p,p) sur un ouvert Q c C\ On définit classiquement le nombre de Lelong v(T;x) du courant T en un point x e Q comme la limite quand r tend vers 0 du rapport entre la masse du courant T sur la boule euclidienne de centre x et de np rayon r dans Q, et le volume - r2p de la boule de rayon r dans Cp />! (voir P. Lelong [6] pour de plus amples détails). Un théorème remarquable de Y.-T. Siu [11], fondé sur les résultats de E. Bombieri [1], affirme que pour tout c>0 l'ensemble Ec = {xeQ; v(Tpc)^c} est un sous-ensemble analytique de Q de dimension < p. Dans le présent travail, nous envisageons la généralisation suivante des nombres de Lelong. T désignera un courant positif fermé de bidimension (p,p) sur un espace analytique X. On se donne une fonction (p ^ 0 de classe C2, telle que log cp soit plurisousharmonique sur X, et telle que pour R > 0 assez petit l'ensemble Supp Tnf1 ([0,R [) soit relativement compact dans X. Une formule de type Jensen, déjà utilisée dans [3], permet alors de définir le nombre de Lelong du courant T relativement au poids (p comme la limite v(T;cp)= limî -J- | Ta (*<%)'. rxwo (2nr)p J9(z) Y de l'espace X sur un espace analytique Y, dont la restriction au support de T soit propre. On désigne par F^T le courant positif fermé sur Y, image directe de T. Nous étudions au § 2 les relations qui existent entre les nombres de Lelong de F^T et ceux de T. Théorème 1. - Soit y un point de Y. On suppose que Vensemble compact SuppT nF~ *()>), intersection du support de T et de la fibre F-1 (y), est totalement discontinu. Alors y(FJ;y)> I v(T;x). xeF-Hy) Le théorème 1 s'applique notamment lorsque F est un morphisme propre fini de X dans Y, sans autre hypothèse sur T. Il s'applique plus généralement lorsque la restriction de F à Supp T est une application propre à fibres finies ou dénombrables. Il est facile de voir d'autre part que l'hypothèse de totale discontinuité de l'ensemble Supp T n F-1 (y) ne peut être éliminée : sans cette hypothèse, il existe en effet des contre-exemples triviaux (voir § 2). L'inégalité du théorème 1 sera affinée au § 3 de manière à tenir compte des multiplicités d'annulation des dérivées du morphisme F. Pour simplifier, on supposera ici que F = (F1,F2,.. .FN) est un morphisme de X dans un sous-ensemble analytique Y d'un ouvert de CN, tel que la restriction de F à Supp T soit propre. Dans ces conditions, on a le Théorème 2. - Soit xeX un point tel que v(T;x) > 0 et F(x) = 0. On suppose que la composante connexe de x dans SuppT n F-1(0) est réduite à {x}. Si F1,F2,...,FN s'annulent respectivement aux ordres st ^ s2 ^ * * ' ^ 5N au point x, alors N ^ p et v(F"T;0) ^ sts2 ... 5pv(T;x). NOMBRES DES LELONG DES COURANTS 39 Nous obtiendrons un énoncé plus géométrique en introduisant une notion intrinsèque de multiplicités pour le morphisme F. Si les \xp(F ;x) sont ces multiplicités (définition 4), le théorème 5 affirme que v(FJ;y)^^(F;x)v(T;x) où la somme est étendue à tous les points x e Supp T nF_1(}?) qui coïncident avec leur composante connexe dans SuppT n F-1 (y), et tels que v(T;x) > 0. Les minorations des nombres de Lelong de F^T données par les théorèmes 1, 2 et 5 entraînent elles-mêmes une majoration des nombres v(Fs|cT;y) par les nombres v(T;x) aux points xeF~1(y), lorsque la fibre F-1 (y) est finie (théorème 6). Il faut naturellement faire intervenir encore certaines multiplicités np(F ;x) du morphisme F (cf. définition 5). Nous montrerons par un exemple qu'il n'est pas possible d'améliorer l'encadrement obtenu. Le quatrième et dernier paragraphe est consacré à l'étude du « degré » S(T;cp) du courant T. De façon précise, on pose ô(T;cp)= limî -J- f Ta(î<%)*, r- + oo (2nr)p J"w étant supposée exhaustive sur le support de T. La théorie est tout à fait analogue à celle des nombres de Lelong. En particulier, il est possible d'encadrer le degré de l'image directe Q^T d'un courant T par un morphisme algébrique Q au moyen du degré de T et de certaines multiplicités du morphisme Q. Tous ces résultats apparaissent comme des généralisations d'inégalités obtenues dans [3], qui nous avaient permis de retrouver le théorème de E. Bombieri [1] sur les valeurs algébriques de fonctions méromorphes. Les démonstrations du présent travail sont assez notablement différentes de celles de [3], et d'une certaine manière plus élémentaires ; les raisonnements reposent ici sur des arguments de théorie géométrique de la mesure, mais n'utilisent plus de résultats fins sur la structure des ensembles analytiques ou algébriques. L'idée d'étudier ce problème m'a été suggérée par M. Henri Skoda, que je tiens à remercier ici pour ses nombreuses remarques. 40 JEAN-PIERRE DEMAILLY 1. Formules de Jensen et nombres de Lelong généralisés. Nous commencerons par rappeler quelques définitions qui nous seront utiles, de manière à fixer simultanément les notations. Si X est un espace analytique (réduit), nous désignerons par ^^(X) l'espace des (p,g)-formes de classe Ck, défini de la manière suivante : k, p, q sont trois entiers ^0, k pouvant éventuellement prendre la valeur + oo. Soit U un ouvert de X plongé comme sous-ensemble analytique d'un ouvert Q de CN. Si U' est l'ensemble des points réguliers de U, on note ^g(U) l'image du morphisme de restriction ;-* : «^(0) - <^(U') (où j : U' o-* Q est l'inclusion), munie de la topologie-quotient ; on peut montrer que ^,¤(U) est bien indépendant du plongement j choisi. On définit ^^(X) par recollement, et @kPiq(X) comme l'espace des (p,q)-formes de classe Ck à support compact dans X, avec la topologie limite inductive. L'espace des courants de bidimension (p,q) et d'ordre k sur X sera par définition l'espace dual [@>kpq(X)y. Les opérateurs d, 5, d sont étendus aux courants par dualité. Si l'on revoit le détail de la construction, on s'aperçoit que pour tout courant T g [@kpq(X)J et tout plongement j : U -* Q considéré plus haut, il existe un courant 8 g \_@kPiq(Q)J ayant la propriété suivante : (1) pour toute forme ve3tkpq(Q). 0 est unique, et son support est contenu dansy'(U). On dira qu'un courant T g [^JtP(X)]' est faiblement positif si tous les courants G g [@p,p(£l)J qui lui sont associés sont eux-mêmes faiblement positifs. On rappelle qu'un courant Oe[^(fl)]' est dit (faiblement) positif si quelles que soient les formes u1,u2, ..., up g ^J>0(Q), le (n,n) courant T a {iul a wj a ... (iup a up) est une mesure positive. Les résultats qui suivent reposent sur une formule de Jensen à plusieurs variables. Cette formule, déjà utilisée dans [3], est d'ailleurs parfaitement classique dans son principe. La démonstration s'appuie sur la formule de NOMBRES DES LELONG DES COURANTS 41 Stokes et constitue une généralisation naturelle de la méthode suivie par P. Lelong [6] pour établir l'existence des nombres de Lelong d'un courant positif fermé. Soit cp une fonction réelle de classe C2 sur X. On pose P = iSdcp, a = iôd (log (p) sur l'ouvert cp > 0, et pour tous réels r > 0, r2 > rx > 0 : B(r)={zeX; rx > 0. On suppose que Vensemble SuppT n B(r2) est relativement compact dans X. Alors (2) fn dt ( B(t) iSôTAp*-1 ou Vintégrale Stokes : TaP^-'ai^cp-- TAp^A^cp- TAap, S(r2) rï Js(r!) Jb^,^) TaPp_1ai'3(p ^ = 7-^2) est définie par la formule de S(r) TaP'-^îScp = JS(r) B(r) J JB(i TaPp -h dTAp^Aidcp La démonstration est assez technique, mais sa compréhension n'est pas indispensable pour la suite. Il est donc possible de la sauter en première lecture. Pour la commodité du lecteur, nous procéderons en trois étapes. a) Réduction au cas où T est un courant à support compact dans un ouvert de C?. En remplaçant T par £xvT, où (xv) est une partition de l'unité, on voit que le problème est local. Pour tout point x e X, il existe un voisinage ouvert U de x dans X, un plongement j : U -? Q dans un ouvert de CN, une fonction \|/e#2(Q,R) telle que cp|u = v|/ oj. 42 JEAN-PIERRE DEMAILLY On a donc P = j*(idd(p), a = j*(idd\og v|/). Au courant T (supposée support compact dans U) est associé par (1) un courant 6 à support compact dans Q, vérifiant les mêmes propriétés que T. En utilisant (1), on est donc ramené à démontrer la proposition 1 lorsque X = Q c CN, (pe#2(Q), et T courant à support compact dans Q. b) Régularisation de T. Puisque les deux membres de (2) sont des fonctions continues à gauche en rx et* r2, il suffit de démontrer (2) pour les valeurs rl,r2 de r tels que la « sphère » S(r) soit négligeable pour la mesure |T| + \dT\ + \iddT\ (les valeurs exceptionnelles formant un ensemble dénombrable D). Soit (pe)e>o une famille de noyaux régularisants dans CN. Remplaçons T par T * pE dans la formule (2) ; tous les termes de (2) passent alors à la limite quand 8 tend vers 0, dès que rx^D, r2£D. Raisonnons par exemple pour le premier terme, en notant Xbw ^a fonction caractéristique de l'ensemble B(r) : î33(T*Pe) a p* = a [pE*(XB(oPP)] - îôST a Xb(,)Pp si f£D car pe * (Xb(oPp) reste borné et converge simplement vers *Xb(oPp sur ^e complémentaire de l'ensemble \iddT\-négligeable S(t). Les autres termes se traitent de même. c) Démonstration de la formule (2) pour T e ^^_P^_P(Q). On peut également supposer que cp est une fonction de classe C00 sans points critiques dégénérés (sinon écrire cp = lim [ (pv où cpv est une suite v-* + 00 décroissante de telles fonctions, et appliquer le théorème de convergence dominée). Il en résulte que la formule de Stokes s'applique au domaine à bord éventuellement singulier B(t), le bord 3B(t) = S(t) étant orienté par la normale extérieure dcp. Désignons par it(t > 0) l'injection S(t) <=_> X. Il est clair que j*3(p + î*3cp = i* d(p = d(

a 3cp a = , cp cp2 NOMBRES DES LELONG DES COURANTS 43 d'où i*a = -; on obtient donc d'après la formule de Stokes : idT a p iôdT a P^"1 = d(idT a P""1) = îi Jb(i) Jb(o JS(t) p-i S(0 ïSrr p-i a aJ v2rfr f . - î, ri l Js(t) B(r!,r2) Le théorème de Fubini montre que rr2 dt c (3) - iddT a p*-1 = OT a a""1 dLog cp a i3T a ap_1. Comme les formes de bidegré (n - 1, n +1) et (n 4-1, n - 1) sont nulles, on a sur B(rl9r2) : d Log cp a idT a ap_1 = d Log cp a i3T a ap = 3 Log (p a i rfT a ap = - d(T a ap_1 a î3 Log cp) - T a olp . En utilisant à nouveau la formule de Stokes et les égalités i*p i*a = -> if 3cp = - i*3cp, l'intégrale (3) devient : - I Ta olp~1 a iSlogcp - JôB(ri,r2) JB(ri/2) T a ap = - Ta pp_1 a rôcp - - Ta P'"1 a idcp r2 JS(r2) rï JsCrj) B(r!,r2) T A OLP. On obtient précisément le second membre de la formule (2). D Dans toute la suite de ce paragraphe, on désignera par T un courant faiblement positif, fermé (Le. dT = 0), de bidimension (p,p) sur X. Un cas particulier fondamental sera le cas où la fonction Log cp est plurisousharmonique (en abrégé p.s.h.). De façon précise, nous choisirons cp dans la classe LP(X, Supp T) définie comme suit. 44 JEAN-PIERRE DEMAILLY Définition 1. - Soit A une partie de X. On dira qu'une fonction cp de classe C2 sur X est dans la classe LP(X) [resp. LP(X,A)] si (4) cp est logarithmiquement p.s.h. au sens suivant : pour tout point x e X, il existe un voisinage U de x dans X, un plongement j:U->QcCN et une fonction v|/ ^ 0 de classe C2 sur Q, prolongeant cp (Le. (p|u = v|/ °y), dont te logarithme Log v|/ esr p.s./i. (5) // existe wn nombre R = R((p) > 0 te/ gwe Vensemble B(R) [resp. A n B(R)] soit relativement compact dans X. On a dans ce contexte le théorème fondamental suivant, qui va nous permettre d'introduire une définition généralisée des nombres de Lelong. Théorème 3. - Soient (p e LP(X, Supp T), P = iddq>, a = iôd Log cp. Alors pour tous réels rl9 r2 tels que 0 < rx < r2 ^ R = R((p), on a (6) r2JB(r2) 1 r T a Pp est fonction croissante de r sur Vintervalle - T a pp - - TApp= T a ap. 1 U expression - B(r) ]0,R]. r2JB(r2) ^1 Jb^j) JB(rj,r2) Définition 2. - On désignera par nombre de Lelong du courant T relativement au poids cp te réel positif ou nul ^r) J(p(z) 0 tel que \|/ = cpk soit de classe C2 (ce qui a lieu dès que k ^ 2). On pose P = iddip, y = idd\\f. Alors \\f e LP(X, Supp T) et pour tout rE]0,R((p)] on a : (7) if Ta/4 f TaP"- De plus (8) v(T;cp*) = kMT;4). Remplaçons maintenant (p par cpe = cp + e, \|/ par \|/£ = (cp + e)*, où k ^ 2. Il vient i55v|/£ == ifc(9 + e)k~2[(p + e)d(3(p + (fc- l)ckp a ckp], et idd\|/e converge uniformément vers y sur B(r) quand e -» 0, 8 > 0. Le théorème de convergence dominée montre que l'égalité (7) passe à la limite. On peut donc finalement supposer que inf (p(z) > 0. Appliquons zeX alors la formule (6) du théorème 3 avec r2 = r, rx < inf cp(z). On obtient 1 if T a F - f T a a-, Ta/= Ta (idôLog^y. ty(z)(z) ->? 0 Log c ^ 2. Logcp 0. Puisque t ^ 2, v|/e est de classe C2 et appartient à LP(X; SuppT) comme somme de fonctions dont le logarithme est p.s.h. Posons p = idd((pl), y = idd\\t, ye = idd\\re et soit r tel que 0 < r < R = R(v|/). Le théorème de convergence dominée montre que On a donc lim = 0 quand z e Supp T et cp(z) -? 0, de sorte que la lim - I T a yf = T a y". Km -M .-o (2nrY L w 0 on a -A <9> 7T^ I T AYf ^^v(T;l(z)

> pour toute forme v e @£P(Y). Le support de F^T est contenu dans F (Supp T), et on démontre que F^T est un courant faiblement positif fermé de bidimension (p,p) sur Y. Il existe entre les nombres de Lelong généralisés de T et de F^T un lien direct, exprimé par la proposition suivante. Proposition 3. - Étant donné une fonction \|/g LP(Y,F (suppT)), on pose (p = v|/ o F, p = iddq>, y = iddty. Alors cp e LP(X, Supp T) et pour tout r < R(\|/) on a ai) T a p" = zeX 02» --->0n un système générateur de MXx. Posons

) ne dépend pas du choix des générateurs gl9 g2, .. .,#N de ^x,x- D'autre part, on retrouve bien la définition classique lorsque x est un point régulier de X (voir les remarques qui suivent la définition 2). Proposition 4. - Supposons que X soit un sous-espace fermé de Y, et soit j : X cz_> Y l'inclusion. Alors pour tout x e X, on a v(T;x) = v(j\Tj(x)). Démonstration. - Immédiate grâce au théorème 4 : soient g1, N g2, ..., #n des générateurs de Jt^^ *l> = X l#?J2 G LP(V) où VcY est un voisinage de j(x) tel que v|/_1(0) = {/(x)}, et soit U = X n V. Alors v(/*T;/(*)) = v(/VT|v;v|/) = v(T|u;v|/ oj) = v(T;x), car les germes gkoj engendrent JtXx. D En particulier, les nombres de Lelong sont invariants par isomorphisme analytique local. De plus, si j : U -? il est un plongement d'un voisinage U de x dans un ouvert Q de CN, et si 0 =7*s|tT est le courant défini par (1), on obtient v(T;x) = v(6;/(x)); NOMBRES DES LELONG DES COURANTS 49 on peut donc aussi définir les nombres de Lelong de T comme étant ceux de 9 dans l'ouvert Q <= CN. Ces préliminaires étant établis, nous sommes maintenant prêts pour démontrer le théorème 1. Démonstration du théorème 1. - On se donne un point y e Y tel que l'ensemble A = Supp T n F"1 (y) soit totalement discontinu. Cela signifie par définition que tout point xe A possède dans A un système fondamental de voisinages ouverts et fermés. Soient hl9 h2, .. .,ftN des générateurs de l'idéal JlYy et V un voisinage de y dans Y tel que la fonction + = z m2 appartienne à LP(V) et tel que V n i|/-1(0) = {y}. D'après la proposition 3, on a pour tout r < R(v|/) (12) FJT Af = -/v|/(w) £ vCTpg. (2nr)p Soit (gqt))X = 1,2, .. .,N4, un système de générateurs de l'idéal JtXx . Comme A est totalement discontinu, il existe des voisinages ouverts U^ de xq dans X, deux à deux disjoints, tels que A n\Jq = A nÛq. On choisit de plus Ûq compact et U^ assez petit pour que (gq/k) définisse un plongement de Uq; la fonction £ \gq,x\2 appartient donc à LP(Uq). De plus, la famille de parties compactes Supp T n cp_1([0>r]) n U^ est croissante en r, et admet pour intersection Supp T n cp-^O) nO, = Supp T n F"1^) n tJ, = A n O, cz Uq. Il existe donc r0 > 0 tel que Supp T n cp_1([0,r0]) n H c U , q = 1, 2, ..., m, 50 JEAN-PIERRE DEMAILLY par conséquent (peLP(U4, SuppT|"). Pour tout r <, r0 on obtient (14) [ T a P" > f [ Ta^ JzeX,v(T;x,); zeU 0. On choisit pour T le courant d'intégration [Z] sur l'ensemble analytique Z. Alors F^T = F^[Z] = 0 par raison de dimension, bien que v(Tpc) ^ 1 en tout point xeZ. Q Nous allons maintenant décrire une situation naturelle dans laquelle les nombres de Lelong généralisés seront des entiers. Propositions. - Soit (Zq) une famille localement finie de sous-variétés irréductibles de dimension p de X, et soit T = Zn9[ZJ un cycle analytique à coefficients entiers positifs. On se donne des applications holomorphes Fx, F2, ..., FN sur X telles que q>= X|FJ2eLP(X;SuppT). Alors v(T ;cp) est entier. Démonstration. - On peut se borner à considérer le cas T = [Z], où Z est irréductible. Puisque (p e LP(X;SuppT), il existe un réel R > 0 tel que ZR={zeZ; cp(z) B la restriction à ZR du NOMBRES DES LELONG DES COURANTS 51 morphisme (Fl5F2,.. .,FN), à valeurs dans la boule B = {weCN, |w|2 < R}. FR est donc une application propre, et on a v(T;cp) = v(FR#[ZR];0) d'après la proposition 3. Quitte à décomposer encore ZR, on peut supposer ZR irréductible. Deux cas peuvent alors se présenter. a) FR est de rang < p en tout point régulier de ZR. Dans ce cas la mesure de Hausdorff H2p(FR(ZR)) est nulle (théorème de Sard). Comme Supp (Fr*[Zr]) c Fr(Zr), le théorème du support pour les courants localement plats entraîne que F^ZJ = 0 (cf. H. Fédérer [4], 4.1.15.). b) FR est de rang maximum p. Puisque le morphisme FR est propre, l'image Fr(Zr) est une sous-variété irréductible W de dimension p de B (théorème de R. Remmert [9], [10]); en outre FR : ZR -? W est un revêtement ramifié à un nombre fini s de feuillets (voir par exemple R. Narasimhan [8]). Il en résulte que Fr*[ZjJ = s[W], par suite v(FR.[ZR];0) = 5v([W];0), et on sait que v([W] ; 0) est un entier (cf. R. Harvey [5]). ? 3. Rôle des multiplicités du morphisme F. On considère ici encore un morphisme F : X -» Y et un (p,/?)-courant positif fermé T sur X tel que la restriction de F au support de T soit propre. Le théorème 5 ci-dessous généralise à la fois les théorèmes 1 et 2. Pour pouvoir donner un énoncé simple et intrinsèque, nous aurons besoin d'introduire la notion de p-multiplicité du morphisme F en un point xeX. Définition 4. - Soient xeX, y = F(x), et j = (/iJ2>---Jn) un système de générateurs de Vidéal JtYy; posons Fx = j\ oF. On dira que 52 JEAN-PIERRE DEMAILLY Fx s'annule au point x à Vordre sk (sx entier ^ 1) si le germe FXx appartient à Jix,\^x,x , et à Vordre sx = oo si FXx = 0. On note alors }xp(F;x) la borne supérieure (éventuellement infinie) des entiers sxs2 .. .sp pour tout système j = (/"Juun de générateurs de Jt^y, tel que N ^ p et Sx ^ S2 < - . . < 5N < OO. Il est clair que [ip(¥;x) = oo dès qu'il existe un plongement j = {jxj2,.. .jN) d'un voisinage V du point y = F(x)e Y dans CN, tel que N < p, autrement dit si la dimension de Zariski de Y au point y = F(x) est < p. Théorème 5. - Soit y eY. On note Z(y) V ensemble des points xeF_1(y) tels que v(T;x) > 0 et tels que la composante connexe de x dans Supp T nF_1(]/) soit réduite à {x}. Alors pour tout point x e Z(y) on a Hp(F;x) < oo et v(F"T;)0> I MF;x)v(T;x). xsZ(y) Démonstration. - Il suffit de démontrer que pour toute partie finie {xl9x2,...jcm} de Z(y) on a m v(F,T»> E MF;x>(T;x*>. q=l Comme SuppT nF-1(j/) est compact, les hypothèses entraînent que chaque point xq admet dans SuppT n F"1 (y) un système fondamental de voisinages à la fois ouverts et fermés (cf. Bourbaki [2], chap. 2, § 4, n° 4, prop. 6). On peut alors répéter la démonstration du théorème 1 (cf. (12) et (14)) pour voir que F*T a y" = i L T a p>> £ T a p o (2nr)p Jzeuq Ta p">^(F;x,)v(T;x1I), - - -Jn) de générateurs de JéYy vérifiant les hypothèses de la définition 4 (N^p et sx ^s2 ^ ... ^sN< oo). Comme la limite (16) ne dépend que de la classe d'équivalence de cp = v|/ o F (théorème 4), on peut remplacer les générateurs (hx) de JtY,y par (/jJi«a= iifxi2. La famille croissante de compacts SuppT ncp_1([0,r]) nÛ a pour intersection Supp T nF_1(0) nÛ c: U, donc il existe r0 > 0 tel que SuppT n cp_1([0,ro]) nÛcU. Si l'on pose U0 = U n (p_1([0/oD et B(r0) = {zeCN; |z|2 < r0}, on voit que l'application O=7oF = (F1,F2,...,FN):U0^B(r0) a une restriction au support de T qui est propre. En vertu de la proposition 3, l'inégalité (16) équivaut à v(®#T;0)^Sl52 ... spv(T;x). s Posons s = sxs2 ... %, crx = - pour 1 < a, < N, et soit G : B(r0) - G(B(r0» l'application propre qui à z = (zx,z2,. . .,zN) fait correspondre G(z) = (z^,Z22,.. -,Znn). On observe que Gc4» = (F;i,Fr,..,FNN) et que Flx g ^5ux = ^x,x ; Ie théorème 4 et la proposition 3 montrent aussitôt que v(GAT;0)^MT;x). Il nous suffira donc de montrer l'inégalité v(G,* ,T ;0) < a^ ... apv(%T ;0). Cette inégalité résultera de la proposition 6 ci-dessous, qui est intéressante par elle-même (poser 0 = 0*T). 54 JEAN-PIERRE DEMAILLY Proposition 6. - Soit B c CN une boule ouverte de centre O, et 9 un courant positif fermé de bidimension (p,p) sur B. Soit G : B - G(B) l'application holomorphe {et propre) qui à tout z = (zl,z2,.. .,zN) associe G(z) = (zi , z2 ,.. .,zNN), où gx , a2, - - -> gn sont des entiers tels que ax ^ a2 ^ ... ^ aN ^ 1. ^4/ors v(G5|c6;0) ^ axa2 ... apv(9;0). Avant de donner une preuve de la proposition 6, nous aurons besoin d'établir quelques résultats préliminaires. Si a = (al9a2,.. .,aN) est un N-uplet de nombres réels > 0, on note a-1 l'application de CN dans CN / x . (Zl Z2 ZN\ qui a z = (zl9z29.. .,zN) associe l-, -, ...,- - L'idée directrice de la démonstration est « d'aplatir » le courant 0 le long des sous-espaces vectoriels de CN qui sont somme de p facteurs C. Dans ce but, on remplacera 9 par a~1 9 et on passera à la limite faible en faisant tendre convenablement a vers 0. Lemme 1. - Soit Tk une suite de (p,p)-courants (faiblement) positifs et fermés sur un espace analytique X, convergeant faiblement vers un courant T½ au sens de la dualité entre <3Qp p{X) et (<3°p>P(X))'. Alors T^ est un {p,pycourant faiblement positif, fermé. Soient cp e LP(X) et fi = idd(p. On a quel que soit re]0,R(cp)[ T. a P" + oo Démonstration. - Les premières inégalités s'obtiennent en approximant la fonction caractéristique Xboo de l'ensemble B(r) = {zeX; q>(z) + oo Soit maintenant 8 un (p,p)-courant positif fermé défini sur un voisinage de 0 dans CN. Lemme 2. - On suppose que pour une suite ak -» 0 les courants aj~* G convergent faiblement vers un courant G0 swr CN. yl/ors G0 est tel que v(G<,9;0)^ v(G"eo;0). Démonstration. - L'énoncé a bien un sens puisque les courants ak~* 6 sont définis sur toute boule de CN dès que k est assez grand. D'après la proposition 3 et le lemme 1 on a v(G*Go,0) = v(G0 ;|G|2) > lim sup v(a^G ; |G|2). k-* + oo Comme la fonction Log |G oûfc_1(z)|2 est équivalente à Log |G(z)|2 quand z -? 0, les théorèmes 3 et 4 montrent que v(fl^e;|G|2) = vfeilGoa"1!2) = v(G;|G|2) = v(G"6;0) pour tout indice k . ? La première étape consistera à remplacer G par son « cône tangent » G0. Lemme 3. - // existe une suite (pfc) de nombres réels tendant vers 0 telle que la suite p** 6 converge faiblement vers un courant G0 sur CN (pk~ * étant Vhomothétie de rapport l/pfc dans C**). De plus, chacune des limites faibles G0 vérifie les conditions v(eo;0) = v(9;0), e0 a a" = 0 sur C'VO}, où a = idd(Log |z|2). 56 JEAN-PIERRE DEMAILLY Démonstration. - Étant donné deux réels positifs r et p (p suffisamment petit) et p = idd\z\2, on a (27ir)* J(2|2 0 1 (2nry J 0O a p? = v(0;O). On a donc v(0o;O) = v(0;O) et comme 0O est faiblement positif sur CN, la relation (6) du théorème 3 montre que 0O a oc* = 0 sur C^jO}. ? Pour établir la proposition 6, nous sommes donc ramenés à prouver que v(Gs|e0o;O)< 0^2 ... apv(0o;O), ce qui se fera en « aplatissant » 0O. Lemme 4. - Soit 0O un courant positif fermé sur CN tel que 0O a ap = 0 sur C^O}, Alors pour toute suite ak -? 0, on peut extraire de la suite des courants aï* 0O une sous-suite convergeant faiblement. La limite 0X vérifie v(0i;O) = v(0o;O) et 0X a olp = 0 sur C^O}. Démonstration. - Il est clair qu'il existe pour tout N-uplet a - (aua2>.. .,aN) de réels > 0 une constante C = C(a) ^ 1 telle que - a ^ a_1*a ^ Ca; C en effet, la forme a = iôd Log \z\2 est issue d'une forme définie > 0 sur PN_! (qui est précisément la métrique kàhlérienne standard de PN_!). Comme 0O ^ 0 il vient (18) iG° Afl"1*aPs0 sur CN\{°)' NOMBRES DES LELONG DES COURANTS 57 D'après les théorèmes 3 et 4, on en déduit quel que soit r > 0 : -l- | a-'Qo a p" = v(a;1eo;0) = v(0o;O), (znr) J|2|2' - ->aN) d'entiers positifs, et tout réel p > 0, soit p"1/o l'application de CN dans CN qui à z = (zuz2,.. .,zN) associe (p-l'°izl9p-v°2z29...9p-v<>Nzfd. On ordonne les éléments de (N*)N en une suite a1 ,o2, 62 = lim (p*-1^,..., k-+ + oo k-> + qo e"= lim e k-> + oo * v(GA;0) + oo où Gv est l'application G associée à a = av. Le lemme 3 entraîne que (GV*0V) a ap = Gv* (0V a G*oep) = 0 sur C^O} et donc la mesure positive 0V a G*ap est nulle elle aussi. En raisonnant comme pour (18) on en déduit que 0* X0V a G*olp = 0 pour tout N-uplet a, d'où 0V+1 a GJocp = 0, et plus généralement 0k a G*ap= 0 lorsque k ^ v. Un dernier passage à la limite fournit (cf. 19)) v(G*0o;O)^ v(GJ)e0oo;O), (20) lv(0oo;O) = v(0o;O), (21) e½AGV=0 sur C^jO}, 58 JEAN-PIERRE DEMAILLY pour toute application G associée à un N-uplet g = (o1,o2>- ^n) quelconque. Il en résulte (lemme 5 ci-dessous) que 0½ est une combinaison linéaire des courants d'intégration sur les plans vectoriels cL = c,, e c,2 e ... e c,p <= cN (somme des p facteurs C d'indices respectifs tx, *f2, ..., £p) : (22) 0co = I>L[CJ, L avec L = {{^2,. . ./p} c {1, 2, ..., N}, eL ^ 0. On a donc v(0oo;O) = EeL, L et comme la restriction de G à CL est un revêtement ramifié de CL à a, a, ... a, feuillets, on obtient G,[C1] = a,ia,2...a,p[C1], v(G!lc0oo ;0) = £ a/!^2 - - - 0 de Ap,iT*CN (i.e. une forme fortement minorée par C(idô\Q2)p9 C > 0) en tout point z$\JCL. L Quitte à permuter les coordonnées et à appliquer un automorphisme a"1 (compte tenu que -a < a_1*a < Ca), on peut supposer que z = (1,.. .,1,0,- - ,0) est un N-uplet formé de q fois l'entier l{q>p) suivi de N-g zéros. Prenons a = (CT1?a2,.. .,aq,l,.. .,1) et posons : q i q q _ X=l 4 X=l n=l Un calcul élémentaire montre qu'on a au point z : 1 N (23) G*a = -(«,,«, +' £ dzx a dzx). q X=q+l En élevant (23) à la puissance p, on voit que les formes (G*a)p engendreront une (p,p)-forme fortement > 0 si et seulement si les formes a?a engendrent elles-mêmes un élément fortement > 0 de Am'mT*C* pour tout m < p < q. En approximant les réels par des rationnels, on peut étendre l'ensemble des formes 0Lqo considérées à tous les g-uplets (al5cj2,.. .,oq) de réels ^ 0. En choisissant certains ax nuls et en permutant les coordonnées on se ramène au cas q = m + 1 (car les conditions q > m et <7m+2= ** = oq = 0 entraînent aqa ^ am+i,a)-Nous sommes donc réduits à montrer que les éléments oC + 1>0 engendrent une (m,m)-forme fortement > 0. La formule de Lagrange permet d'écrire <*m+ l.a = TT Z (CTX dz^ ~ an dzJ A (CTX dz^~ CTM ^)* IW + 1 l^X 0, on voit donc que la forme am+1 0 de Am'mT*C D 60 JEAN-PIERRE DEMAILLY La proposition 6 fournit dans un cas particulier une minoration des nombres de Lelong de l'image directe du courant T. Pour étendre cette minoration à une situation plus générale (comprenant le cas des morphismes à fibres finies) nous poserons la définition suivante. Soient xeX, y = F(x)eY tels que x soit un point isolé de la fibre F"1 (y). On se fixe un système générateur (gk) de J/Xx et on considère une famille d'éléments quelconques (^Ji^^n de J(x^ telle que N ^ p. Définition 5. - La p-multiplicité supérieure du morphisme F au point x, notée \ip(F;x), est la borne inférieure des produits Oi<32 ... op étendue aux familles COi^îkn d'éléments de MYy et aux famille (crx)i^x^N de réels tels que gx S* g2 > - ' > crN > 0, LogX l^oF(z)!1^ (24) lim sup ^- ^ 1. Log £ \9x(z)\ x Lorsque (hx)l^x 0 telle que N I >. = ! X i^°F(z)i2>£>x(z)i2r au voisinage de x (en effet x est isolé dans F_1(F(x))). Il existe donc bien des familles COi^^n» (¼jJkjl^n vérifiant les hypothèses de la définition 5, de sorte que £p(F ;x) < oo, mais nous ignorons si jIp(F ;x) est toujours un entier. D'autre part, on voit aisément que jip(F;x) = 0 si p excède la dimension du germe Xx. Théorème 6. - Soit y un point de Y tel que la fibre F-1 (y) soit finie. Alors on a v(F"T»< S jiF(Fpc)v(Tyc). X6F-'(y) Démonstration. - En choisissant des voisinages 2 à 2 disjoints des points de la fibre F"1 (y), et en tronquant X et Y, on se ramène au cas NOMBRES DES LELONG DES COURANTS 61 où F_1(y) = {x}. Soient (fcjJi^^N, (o\)laa^N deux familles vérifiant les hypothèses de la définition 5. On peut supposer (quitte à accroître N) que (fcJUUN est un système générateur de JfYiy> de sorte clue h = (huh2,.. .,/zN) est un plongement local de Y dans CN. Soient s s s Sl s2 SN des approximations rationnelles de ol9 a2, ..., aN avec des entiers s, s st ^ s2 ^ ... ^ sN tels que - ^ ax, et soit Sx G : Y -? CN l'application qui à tout wgY associe (^W^^^n. Le théorème 5 montre que v(G^T;0)^5l52...5pv(F#T;);). Par ailleurs, le théorème 4 donne v(T;x) = v(T; J]toJ2) > rMG,FJ;0), car d'après l'hypothèse (24) on a LogX |- - ->zn) = (zl>z2>- - ->zn) avec des entiers sx ^ s2 < . . . ^ sN. Pour tout multi-indice L = {^x/2,. - /p}? on a comme on l'a vu v([CJ ;0) = 1, v(FJCJ ;0) = s,ts,2 ... sip. D'autre part, il est clair sur les définitions que up(F;0) ^ Sls2... sp, jïp(F;0) < sNsN_, ... sN_p+1 pour p < N, up(F;0)= + oo, ïi,(F;0) = 0 pour p > N. On en déduit pour p ^ N : up(F ;0) = v(F JCie^e - - .0Cp] ;0) = S,s2 ... sp) ji,(F;0) = v(F"t[CN_,+1©...©CN];0) = sNsN_1 ...sN_p+1. En choisissant pour T une combinaison linéaire des [C J, on voit que le v(F.T;0) rapport ----- est un réel quelconque compris entre up(F;0) et îi,(F;0). NOMBRES DES LELONG DES COURANTS 63 Enfin, même lorsque T est le courant d'intégration sur un germe v(F T;0) irréductible en 0, le nombre rationnel --- n'est pas nécessairement v(T;0) entier. Prenons par exemple N = 2, s^^ = 1, s2 = 2, et soit Z la courbe d'équation z\ + z\ = 0. L'image W = F(Z) a pour équation w? -I- u>2 = 0, de sorte qu'on a classiquement v([Z];0) = 3, v([W];0) = 2. Comme la restriction F : Z -? W est un revêtement ramifié à 2 feuillets, on obtient F*[Z]=2[W], v(FJ!Z];0)= 4, u,(F;0) = 1 < = - < u,(F;0) = 2. H1V ' v([Z];0) 3 ^1V ' 4. Théorie « duale » : degré d'un courant positif fermé. Jusqu'à présent, nous avons étudié le comportement du courant positif fermé T au voisinage de tout point x e X (ou plus généralement sur la base de filtre des ensembles 0, À n(p-1([0,r[) est relativement compact dans X. Si cp e LP00(X;SuppT), on définit le degré du (p,p)-courant T, relativement à cp, comme la limite (finie ou infinie) 5(T;cp) = limî r- + oo (27ir)p T a (idd(p)p. ,\|/ deux éléments de LP00(X; Supp T), tels que liminf L°gvKz)^0. zeSuppT.z-oo LOg(p(z) Alors ô(T;\|/) 2* ^S(T;cp). Démonstration. - Tout à fait semblable à celle du théorème 4, en dehors d'une modification technique dans la construction de la fonction auxiliaire v|/£. Il est clair que 8(T;cp) = 8(T;cp + l), donc on peut supposer cp ^ 1, v|/ ^ 1, et (de même que dans le théorème 4) Log vli(z) (25) lim inf 6 YV ; > t > 2. zeSuppT,z^oo LOg (p(z) J2 X(0 dt = 1. Soit % ^ 0 une fonction de classe C00 sur R, à support dans l'intervalle [1,2], telle que %(t) dt = 1. On pose 2 SUp((f)'(z), 6tV|/(z))x(0^, 8>0. Grâce au changement de variable u = ((/(z) - ery(z) on voit que f2 f+ Q0 / 0 quelconque ; choisissons 8 < - inf - On a alors »MZ) = 9^(2) au voisinage de l'ensemble SuppT n (p_1([0,r[), d'où (proposition 2) q/(z)}. Le complémentaire de cet ensemble dans Supp T est compact, en vertu de l'hypothèse (25), par suite 5(T;v|/e) = ô(T;v|/). Q On suppose désormais que T est un courant faiblement positif et fermé, de bidimension (p,p) sur C\ On définit le degré de T par r- + i (2n)pr2p S(T) = S(T;|z|2) = limî T a {idd\z\2)p. \z\- - ->Qn) un morphisme de C dans CN, où Qx est un polynôme de degré dx, avec dx ^ d2 ^ ... > dN. On suppose que la restriction de Q à SuppT est propre. Alors si T ^ 0, on a N ^ p et 8(Q"T) ^ dxd2 ... dp 5(T). Il est possible de transcrire de même le théorème 6. Théorème 9. - Soit Q = (Q1,Q2?. - >Qn) un morphisme propre de C" dans CN (N^n). On définit le réel r|p(Q) comme la borne supérieure des produits 6^2 ... 8p pour tous les N-uplets (81,82,.. .,8N)eRN tels que Log X |Qx(z)|^ 0 < 8t < 82 < ... < 8N et lim inf - ^ 1. z-+ Log \z\ Alors 8(Q"T)>tif(Q)5(T). BIBLIOGRAPHIE [1] E. Bombieri, Algebraic values of meromorphic maps, Inventiones Math., t. 10 (1970), 267-287 et t. 11 (1970), 163-166. [2] N. Bourbaki, Éléments de Mathématiques; Topologie générale: Chap. 1 à 4, nouvelle édition, Paris, Hermann, 1971. 66 JEAN-PIERRE DEMAILLY [3] J.-P. Demailly, Formules de Jensen en plusieurs variables et applications arithmétiques; soumis au Bulletin de la Société Mathématique de France. [4] H. Fédérer, Géométrie Measure Theory, Springer Verlag, Band 153, Berlin, Heidelberg, New-York, 1969. [5] R. Harvey, Holomorphic chains and their boundaries, Proceedings ofSymposia in pure Mathematics of the Amer. Math. 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