Annales de l'institut Fourier
Jean-Pierre Demailly
 Construction d'hypersurfaces irréductibles  avec lieu singulier donné dans Cn
Annales de l'institut Fourier, tome 30, n° 3 (1980), p. 219-236.
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 Ann. Inst. Fourier, Grenoble  30, 3 (1980), 219-236
CONSTRUCTION
D'HYPERSURFACES IRRÉDUCTIBLES
AVEC LIEU SINGULIER DONNÉ DANS Cn
par Jean-Pierre DEMAILLY
0. Introduction.
M. Cornalba et B. Shiffman [1] ont construit deux courbes d'ordre 0 dans Cn qui se coupent en une suite discrète de points dont le cardinal croît aussi rapidement que l'on veut à l'infini (voir le § 4), montrant ainsi que l'analogue transcendant du théorème de Bezout sur l'intersection des courbes algébriques n'est pas vrai en général. Il est bien connu d'autre part qu'une courbe algébrique
(n-l)(n-2)
de  degré   n,   qui admet  plus de	   points doubles,
dégénère en deux ou plusieurs courbes de degré inférieur. On peut se demander si un analogue transcendant de ce dernier théorème subsiste. L'objet du présent travail est de démontrer qu'il n'en est rien ; nous prouvons au § 4, en nous appuyant sur l'exemple de Cornalba-Shiffman, l'existence d'une courbe transcendante irréductible dont la croissance à l'infini est arbitrairement lente, et dont cependant les points singuliers sont aussi nombreux que l'on veut. Nous déduisons cet exemple d'un théorème général permettant de construire, avec contrôle de la croissance, une hypersurface irréductible de Cn dont le lieu singulier S est imposé (voir le § 1 pour l'énoncé précis). La traduction en termes de distributions à support compact, obtenue au § 5 par l'intermédiaire du théorème de Paley-Wiener, nous permet de retrouver un résultat antérieur de L.A. Rubel, W.A. Squires et B.A. Taylor [3], complété par J. Dixmier, P. Malliavin [2], selon lequel l'ensemble des produits de convolution (D(Rn) * (0(Rn) n'est pas égal à G) (R") pour n > 2 .
220
J.P.   DEMAILLY
J'adresse tous mes remerciements à Monsieur Henri Skoda, qui m'a signalé ce problème, et qui porte un intérêt constant à mes travaux.
1. Enoncé du théorème principal.
Théorème. - Soit S un ensemble analytique de Cn (où n > 2), de codimension >2 en tout point, défini par les équations
f1(z) = ...=fk(z) = 0.
On se donne une fonction <p de R dans R, croissante et positive, telle que :
Vit)
 ( 1 ) 	 tend vers + °° quand t tend vers + <*>.
Alors il existe des fonctions entières  gl9 . . . ,gk   telles que :
k
 (2)	la fonction F = £   f.gj est irréductible,
; = i
 (3)	Vhypersurface  X  définie par l'équation   F = 0   a son lieu
singulier contenu dans S,
et la majoration
 (4)	LogU/(z)|<^(LogU|)
a lieu pour tout j = 1, . . . , k et tout z E Cn .
Corollaire 1. - Si fl9 . . . ,fk s'annulent à l'ordre 2 au moins sur S (sinon remplacer par exemple fx,. . . , fk par leurs puissances), le lieu singulier de Vhypersurface irréductible X du théorème est précisément égal à S.
Nous aurons besoin d'exprimer dans la démonstration qu'une hypersurface dépend «continûment» de son équation, propriété explicitée dans les propositions  1  et 2 .
 2. Déformation des composantes irréductibles d'une hypersurface en fonction de l'équation.
Les propositions 1 et 2 qui suivent sont probablement classiques. Mais vu leur importance pour la démonstration du théorème,

 CONSTRUCTION  D'HYPERSURFACES   IRREDUCTIBLES	221
il nous a semblé préférable d'en donner une preuve afin d'être complet.
Proposition 1. - Soient Î2 une variété analytique complexe connexe de dimension ny H(Î2) l'espace des fonctions holomorphes sur n,  et K une partie compacte de SI.
A toute fonction /EH(Î2) non nulle, on associe l'entier vK^f) > somme des multiplicités de f sur les composantes irréductibles de Zf = {z E £2 ; f(z) = 0} qui rencontrent K, et on pose &>K(0) = °°. Alors l'application f-? ^k(/) est semi-continue supérieurement sur H (£2).
Démonstration. - On prouve la semi-continuité en une fonction / ¥= 0 fixée une fois pour toutes. On commencera par substituer à K des compacts Kx, K2  plus appropriés tels que
M/) = V/) = *k2(/)>
^k(^) < vkx (g) < pk2 (S)     P°ur S voisine de /.
Le lieu singulier S de Zf a en tout point une codimension > 2 . Quel que soit z0 E S H K, il existe donc des coordonnées locales wx, . . . , wn telles que Wj(zQ) - 0 , 1 < / < n , et telles que le point z0 soit isolé dans l'ensemble  S H {w3 = . . . = wn = 0}.
On choisit e > 0, puis r? > 0 assez petits de sorte qu'en notant
V,o= {zEftilw^z)!2 + |w2(z)|2<e2,   et   |w/(z)|<r?
pour    ; > 2 } ,
B2q = {EEÎÎHw^z)!2 + |w2(z)|2 =e2,   et   |w/.(z))<r?
pour    / > 2 } ,
on ait SHBZ = 0 , et que les composantes irréductibles de Zf ne rencontrant pas K ne rencontrent pas non plus Vz . Si Vz , . . . , Vz    recouvrent SHK, on pose
KX=(K\     U      V\U      U      Bz..
Toute hypersurface de Î2 qui coupe V2. en un point #, coupe également   B2.,   sinon la trace de cette hypersurface sur l'ensemble
 {zen-\wx(z)\2 +  |w2(z)|2<e2     et     w/(z) = w,(a), / > 2}
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 serait un ensemble analytique compact de dimension 1 ou 2. Pour tout gGH(£2) on a donc J>K(g) < ^K (£)- De plus par construction, M/) >%(/)> et  SPIK1=0. Soient  X'l9...9X'k  les compo santes connexes de Z^\S qui rencontrent Kj, et L;, 1 </'<£, un voisinage compact de Xy' H Kj dans Î2 tel que Zf H L;- = X;' H Ly. On prend
K2 =      U      Ly- ,
1</< k     '
de sorte que   vK(f) =     £     v^Xf) = vK(f).   Comme   K2    est
un    voisinage    de     Zf H Ki ,     on   a	inf0     |/*(z)|>0,     donc
zeKl\K2
Zg H Kj C Zg H K2  lorsque g tend vers /, ce qui entraîne
l</<fc        '
on voit qu'il suffit de prouver la semi-continuité des vL. en /.
Pour simplifier les notations, on supprime l'indice /, et on considère un compact L de îî tel que Zf H L = X' H L, où X' est l'une des composantes connexes de la sous-variété lisse Zf\$ de dimension n - 1 . Soit P = {w E Cn ; | wf |< 1 , 1 < / < n} le polydisque unité de Cn. On peut, par compacité de X'HL, trouver un nombre fini de cartes dq : U^-? P, définies par 0q(z) = (WjCz), . . . , w"(z)), où les Uq sont des ouverts de £2 recouvrant X'HL, et pour lesquelles X' n U^ admet l'équation wx (z) = 0 . On suppose également que Zf H U^ = X' H UQ , et on désigne par irq : Uq -> X' n \Jq l'application qui en coordonnées locales s'écrit (wx, w2,. . . , wn) -? (0, w2, . . . , yv") . Comme X' est  connexe,  on peut toujours faire  en  sorte que   U ira(Ua)   soit
q        H	H
connexe. Pour chaque couple (qx ,q2) d'indices distincts tels que % (UQ2) H 7rqi (U<ï2) =É 0 , on choisit un point
 *a   a    E *a   (U0   ) H 7Tfl   (IL   ) .
^1^2	?1       ^1	?2       ?2
On pose
A* = {z G U^ ; |w;.(z)| < 1 - e , 1 </ < n}, B* = {z GU,;|w1(z)|< e, |W/(z)| <l-e, !</<«},

 CONSTRUCTION D'HYPERSURFACES  IRREDUCTIBLES	223
et on prend  e > 0 assez petit de manière que les conditions suivantes soient réalisées pour tous les couples (qx, q2) précédents :
 (7)	Ae = U A'   est un voisinage de X'HL.
q       *i
Grâce à la propriété (7) et au fait que Zf H Ae = X' H Ae, on voit que vh < vK  au voisinage de / dans H (fi), et que
^L(/) = vAe(f) = multiplicité m de / sur X'.
La démonstration sera achevée si nous prouvons que v e(g)<m lorsque
 (8)	sup|g-/)<inf|/|
Ae	Ce
où Ce = U C*   (noter que Z, D Ce = 0 , donc inf |/| > 0).
Soit Y une composante irréductible de Zg rencontrant Ae, avec YHAj ¥= 0 par exemple. L'inégalité (8) entraîne que YHA' = Y n B* , donc pour tout z E 7r" (A* ), le sous-ensemble analytique Y O B* Ha-"1^) du disque B* ftir~*(z) est compact. Il en résulte que les fibres YHBj H 7T"1 (z) sont discrètes, et comme dim Y = dim X' = n - 1 , 7rfl (Y n B* ) est ouvert dans ttQi (B^) = irQi (A^). Mais d'autre part, ^ (Y nly = tt^ (Y n A^) est une partie compacte non vide, donc irq (Y H B^ ) = irq (Aq ) par connexité de ir (Aq ). D'après (5) et (6), pour tout indice q2 tel que ^(Ap n ^(A^) =É 0 , on a YHA^0, donc aussi   irn (Y H B* ) = 7r_ (A* )   en répétant le même raisonnement.
 ^2	q2	q2       q2
Il en résulte par connexité de   U TTa(Aea)  (hypothèse   (5))   que pour
q      H       H
tout indice q on a 7rq(Y D Bq) = irq(Aq).
Choisissons    arbitrairement    un    indice     q0     et    un    point
*o6'ï,(Aî,)-
D'après le théorème de Rouché et la condition (8), la fonction g possède exactement m zéros (comptés avec multiplicités) dans le   disque    B*   <^0n~1(hn).   Si    Yt, . . . , Y.    sont   les  composantes
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irréductibles de Zg qui coupent Ae (donc aussi B* ^Ttqx(h0) en vertu de ce qui précède) et ml, . . . , mr les multiplicités respectives de g sur ces composantes, chaque point de Yy. HBj H n~l (h0), 1 < / < r, contribue pour au moins ray. zéros. Il vient par conséquent *>Ae(g) = ml + . . . + mr<m.
La preuve est complète.
Remarque 1. - Continuité de vK
Il est facile de voir que vK est continue en / sous les hypothèses : (9) toute composante de  Zf qui coupe  K,  coupe également
o	'
K ;   (10)  Zf H K ne comporte que des points où le germe de  Zf est irréductible, et en lesquels / a la multiplicité  1 .
Lorsque £2 est une variété de Stein de dimension n > 2, la condition (10) est nécessaire pour que vK soit continue en /; dans le cas   n = 1 ,   la condition   (9)  est en fait nécessaire et suffisante.
Proposition 2. - Soient SI, K et f comme dans la proposition 1, / étant non nulle, et Xx = X[, . . . , Xk = X'k les composantes irréductibles de Z^ qui rencontrent K. Alors, pour tout ouvert iô de SI qui rencontre chaque X;., les composantes irréductibles de Zg qui coupent K, rencontrent co dès que g est suffisamment voisine de f.
Démonstration. - On revient aux considérations précédentes, en supposant dans ce qui suit que g est prise suffisamment proche de /. Alors toute composante Y de Zg telle que Y n K ¥* 0 rencontre L = L; pour / = 1 ou 2, . . . ou k. On choisit ensuite les   IL   de sorte que   co H U 7r0(U0) =£ 0 ,   ce qui est toujours pos-
sible puisque  X'   est connexe. On prend enfin  h0 E co,   et   e   assez petit   pour   que    hQ    appartienne   à  un  certain   pavé    B^  ,   avec
3. Démonstration du théorème.
Soit   E   l'espace de Fréchet des fonctions entières g telles que les semi-normes
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-4^(Log|z|)
 (11) Pj(g)=   sup    \g(z)\e    >	,7 = 1,2,...
zec"
soient finies. Notons Bp la boule fermée de centre 0 et de rayon p, (Kp)pGN une suite exhaustive de compacts de C"\S, et Up (resp.   -V )   l'ensemble de   fc-uplets  g = (g19... ,gk) E Ek   tels que,
k
si   F =  ^   f.g.,   tous les points de   ZF Pi Kp   soient réguliers pour
F    (resp.    vB (F) < 1 ,    c'est-à-dire qu'une  composante  irréductible
p au plus de   ZF   rencontre   Bp,   composante sur laquelle  F a la multiplicité  1).
D'après la proposition 1 , Vp est ouvert, et il en est de même
trivialement pour Up. Si l'on montre que Up et Vp sont denses
dans E*, le théorème de Baire entraînera que H (Up H Vp) est
dense, d'où la conclusion.	p
Densité de Up
Il suffit de prouver que l'ensemble fermé des a = (al9... ,ak)ECk tels que (gx + ax, . . . ,gk + ak) n'appartienne pas à Up est négligeable, et pour cela, que l'ensemble des a tels que la fonction
F*=  t  /,(*,+*,) ait   un   point   critique   sur    ZF\Zf.,    est   négligeable   quel   que
a     Jj
soit   /,    1 < / < fc :   en effet   Zf  HLC      U     ZF \Z,. .   Lorsque
 Ja	p        Kj<k       a     JJ
ai,a2,. . . , <2;_ j, a;- + 1,..., ak sont fixés, Fa a un point critique sur  ZF   H Zy.   si et seulement si a;.  est valeur critique de la fonction
- 7* + ai = " T" 2 £<*, + **>"*/ >   définie  sur   c"\z/- -   L'en"
semble de ces valeurs critiques est négligeable dans C (théorème de Sard), d'où la conclusion par Fubini.
Densité de Vp
C'est le point essentiel de la démonstration, le seul qui utilise (1) et la définition de E par les semi-normes (11).
Si (#!,... ,gk)¤Ek est donné, on peut choisir des vecteurs a1 E Ck , a2 El Ck arbitrairement petits tels que les fonctions
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 Fi = i   ft(8,+a})     ,      F2= £   fjigj+af),
7 = 1	7=1
aient un ensemble de zéros communs ZF H ZF de dimension pure 72 - 2 : fixer a1 tel que Fx soit non nulle, puis utiliser le fait que codim S > 2. On peut maintenant trouver a aussi proche de 1 que l'on veut, tel que les zéros critiques de  F1 + a¥2   soient conte-
F
nus  dans    ZF   H ZF   :    prendre   oc   valeur régulière de   - --^-  sur
12	Ï7
1	F	2
C"\ZF  ,   et   -  valeur régulière de	   sur   C"\ZF  .   Soient   Y
2	a	Fx	l
l'hypersurface d'équation Fx + a¥2 = 0, et Yx, . . . , Yr les différentes composantes irréductibles de Y qui rencontrent B ; on prend sur chaque Y;. un point z;. régulier pour Y, n'appartenant ni à   Bp,   ni à  ZF     (ce qui est possible, car Y;. HZF   CZF  DZF
est de dimension n - 2). On choisit ensuite des vecteurs ux, . . . , ur deux à deux indépendants tels qu'en notant H;. l'hyperplan (z - Zj, Uj > = 0,   on ait les propriétés suivantes :
21)H;.   ne  rencontre  pas   Bp,   et   \itj - z;. | < 1 ,   ce qui est vrai dès que  | Uj - z;. | est assez petit,
22)H;- coupe transversalement Y;. en z;.,
23)Hy. ne contient pas zs pour s ¥= /,
24)Les sous-espaces   Hx H Hy,  / > 1 ,   sont deux à deux distincts, et non contenus dans Y U ZF   .
r 2
Pour chaque / > 1 , on sélectionne un point Xj G Hl H H;. tel que
(16)	Jf.^YUZF   U      U     H,.
L'idée est que les hyperplans Hl, . . . , Hr «relient» entre elles les composantes Yx, . . . , Yr, et qu'en déformant un peu l'ensemble Y2 U . . . U Yr U Hx U . . . U Hr on obtiendra une hypersurface irréductible. On pose quel que soit e G C
G, = I (F, + aF2)  n_   (,-<Lil)) + ,F"
et on examine l'allure de ZG au voisinage des points z;-, 1 < / < r, et x;-, 1 </<r. En ces points F2 ^ 0 (cf. (16)), donc on est ramené à étudier localement les zéros de la fonction

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 F2       2        F2        A   V      <*,,",>/     ''
 en z;.,  on peut prendre grâce à  (13),  (14),  des coordonnées locales (Wj, . . . , u>") telles que
<*'"/>	I  Fl   + "F2	n	A  "   <*>"*>   \ .
<Zy,M/>  '       2	2	F2	Ks<r     V	<z,,tl,>/'
 (z,Uj)	1  F, + û:F1      "       /        (z,u.)
	Z	    \a>       -   	   	i	£	|J	I 1    	  	?	
wx
 en  jc;. , / > 1 , on peut grâce à (16) trouver des coordonnées locales (w1? . . . , wrt) telles que
<z, ux )
1      Fl    +ttF2	TT	/l	^'^    \
(Zl > ux  >
;i = - -	     n    (î - --^-), w2 = î
Soit ojz. (resp.  cojc.,/>1) un voisinage ouvert de z;- (resp. x;), tel que les coordonnées (w1? . . . , wn) réalisent un isomorphisme de oûz. (resp. ojx.) sur le polydisque P6 = {w ECn ; I w-1 < 5 , 1< / < w} de C". Dans les ouverts coz. et cox,, ZG admet l'équation w*w~ +6 = 0, donc pour 0 < | e \ < 52 , Za H a>. et Zr H cjv sont irréductibles. Par ailleurs ZG admet l'équation w^j = 0, où Wj = 0 représente Phyperplan H;, et w2 = 0 l'hypersurface Y (dans coz.), ou l'hyperplan Hj (dans co^.). On peut donc choisir des compacts L; de o?2. et M;- de a)x>, />1, tels que
zG n Lj = Hy. n Ly      et    H; n Ly =£ 0 ,
ZG   HM^^nM,     et     ^n^-^0,
et il est clair que l'hyperbole   wxw2 + e = 0  rencontre   Ly,   ou  M;. selon le cas, dès que e est assez petit.
On applique maintenant trois fois consécutives la proposition 2 avec fi = C" , / = G0 , g = Ge, où K, {X1, . . . , Xk } et a> sont remplacés par
Bp -{Y*	Y-> -
 L;-   ,  {Hy}	, co        pour    / > 1 ;
My ,  {HJ	, coZj     pour    / >1 .
Si e ¥= 0 est assez petit, et si T est une composante irréductible de ZG qui rencontre Bp, on obtiendra successivement les conséquences (17), (18), (19) ci-dessous:
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(17)	T rencontre      U     co_  ;
Kj<r	i
supposons que T H coz =£ 0 pour / > 1 ; alors
T H Ly = {wxw2 + e = 0} D Ly. ^ 0 ;
(18)	TOco^.^0,   donc   TnM/ = {w1w2+e}nM/^0 ;
(19)	THcoz   *0.
Dans tous les cas, on voit que T H coz =£ 0 ; comme
ZG   H coz   =  + e = 0} H coz	est     irréductible     et     que
Ge = (w1w2 + e) F2 y a la multiplicité 1 , ZG possède au plus une composante T rencontrant Bp, sur laquelle Ge a nécessairement la multiplicité  1 ; par définition Ge  appartient à Vp .
k
Ecrivons maintenant Ge =  Y,   //£/,e avec
/' = i
fte = | (te, + */) + «(*, + af))   fi    (l - /'"J>x) + e(*y + a/) ;
y,e      2      '       '	'       '     s=i   v       (zs,us)/	'      '
on fait tendre a1   et a2  vers 0, a vers  1 , z5 vers °°, et e vers 0.
Il résulte de (1) et de la définition de E (cf. (11)) que dans E la multiplication par un polynôme est continue. On vérifie enfin, en utilisant la relation (12)  \us - zs\<\ 9 que gj ¤ tend vers gj, d'où la densité de Vp .
Remarque 2. - La démonstration révèle en fait que les fc-uplets de fonctions (gx,. . . , gk) E Ek satisfaisant aux conclusions (2) et (3) du théorème constituent un G6   dense dans Ek .
Le quatrième paragraphe est consacré à l'application du théorème au contre-exemple annoncé dans l'introduction.
 4. Exemple de courbe irréductible d'ordre 0 , ayant un lieu singulier d'ordre infini.
Rappelons d'abord brièvement l'exemple de Cornalba-Shiffman [ 1 ]. On choisit une suite de nombres complexes distincts non nuls, an , tendant très vite vers °°, et on pose
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L    n     /, _Z1\       u   ,"  ,-  fl(*0
/i(*i> = t n   (i--î-) , M*i> =
i-ii-
on détermine ensuite, étant donné une suite quelconque (/:") d'entiers, une suite (e") de complexes non nuls, tels qu'en définissant le polynôme ?k par
pjt(z2) = /n (s2-})>
la série /2(z1,z2)= £ enhn(zx)¥k (z2) soit convergente. L'ensemble analytique        " = °
S= {(z,,z2)¤C2    ;  /,(z1)=/2(z,,z2) = 0}
est l'ensemble des points de coordonnées
(1	1   )
z, =a" , nGN, z2 G   1   -,...,_   .
(	»    )
La croissance de fx est aussi lente qu'on veut, pourvu que la suite (an) tende vers °° assez vite ; on choisit alors kn très grand et en très petit de sorte que f2 soit à croissance lente et S à croissance très rapide. De façon précise, on obtient la
Propositions (Cornalba-Shiffman [1]). -Pour toute fonction croissante positive y vérifiant (1), et toute fonction \p : R -? [0, + ©o[   croissante, on peut trouver fx   et f2   telles que
Log l/,^)! <^(Log |zj),
Log \f2(zl ,z2)| <<p(Log \z\),
et	Card {wGS;|w|  <r}> i//<>),
quels que soient z = (zl5z2)GC2    et   r > 0 .
On remarquera que par construction, le jacobien de (/i ,/2) est non nul aux points de S. D'après le théorème, on peut trouver des fonctions gx et g2 telles que / = fx l gx + f22 g2 soit irréductible (où 2 <px <p2), telles que S soit l'ensemble des points singuliers de Zf, et telles que
Log (1^(2)1 + |*2(z)|)<*(Log|z|).
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La remarque 2 montre qu'on peut même imposer gx =£ 0, g2 ¥= 0 aux points de S. Il vient Log \f(z)\ < (1 + p2)<p(Log |z|), et Zy admet en tout point de S l'équation locale
(20)	wPxl + w2 2 = 0
î	î
V^avec les coordonnées wx = fxgPî , w2 = f2g22), équation irréductible ou non suivant que les entiers px, p2 sont premiers entre eux ou non. On voit en particulier que la courbe irréductible Zf d'ordre   0   peut avoir tous ses points singuliers multiples. Quitte à
remplacer y? par 	 , on obtient la
1 +p2
Proposition 4. - Si  *p,   \jj   sont les poids de la proposition  3, il existe une fonction entière irréductible f dans C2   telle que
25)Log|/(z)|<*(Log|z|),
26)l'ensemble   S  des points singuliers de  Zf  vérifie la minoration Card {z G S ; \z | < r} > \p(r),
27)Zf   a au  voisinage des points singuliers Vêquation   (20)
Remarque 3. - Des  modifications  évidentes  dans  la  construction de fx   et f2   permettraient de faire varier  (px,p2)  à volonté.
5. Applications à l'analyse harmonique.
(D(Rn) (resp. g'(R")) désignera comme d'habitude l'algèbre de convolution des fonctions indéfiniment différentiables (resp. des distributions) à support compact. A toute distribution wEg'(Rn), on associe sa transformée de Fourier-Laplace û E H(CW) définie par û(z) = ux(e-Hx>z)).
La classe des transformées de Fourier-Laplace des éléments de ûD(R") et de g'(R") est caractérisée par le théorème bien connu de Paley-Wiener :
Une fonction entière f est transformée de Fourier-Laplace d'une fonction de (D(Rn)   (resp. d'une distribution de   S'(RW))   à

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support dans la boule fermée de centre 0 et de rayon A, si et seulement si pour tout entier N > 0, // existe une constante CN telle que
(24)	|/(z)|<CN(l + |zirNexp(A|Imz|),
respectivement, s'il existe un entier  N  et une constante C tels que
(25)	|/(z)|<C(l + |z|)Nexp(A|Imz|).
Le théorème du § 1 admet dans ce contexte la traduction partielle suivante.
Proposition 5. - Soient ux,. . ., uk des distributions à support compact dans Rn (où n > 2), telles que les transformées de Laplace ûl9 . . . ,ûk aient un ensemble de zéros communs de codimension > 2   en tout point. Alors il existe des fonctions  vl9 . . . ,vk   dans
k
(D(Rn) telles que la fonction V = £ u- * i;y. soit irréductible dans
Vanneau  &'(Rn).	> = 1
Pour tout compact Ky- de R" d'intérieur non vide, 1 </ < k, l'ensemble des solutions (vl, . . . , vk) E GXK^ x . . . x (D(Kk), où Vj est à support dans K;., est de seconde catégorie.
Comme les seuls éléments inversibles de ê'(R") sont les mesures de Dirac 8a , a G Rn , et leurs multiples scalaires, lesquels n'appartiennent pas à (D(Rn), on retrouve le
Corollaire 2 (Rubel - Squires - Taylor [3] pour n>3, Dixmier - Malliavin [2] pour n = 2). - G)(Rn) * (D(Rn)^G)(Rn) pour n > 2 .
Démonstration de la proposition 5. - Soient wx, . . . , wk des fonctions non nulles de (0(B), où B est la boule de centre 0 et de rayon A. On peut supposer que
(26)	les fonctions  ûl wl5. . ., ûk wk   ont un ensemble de zéros
communs de codimension   > 2   en tout point.
Si (26) n'est pas vrai, on remplace Wj par
w](x) = wf(x) exp(/ (af, x>), ^GC",
de sorte que Wy(z) = w;.(z - a;). L'hypothèse (26) relative aux fonctions w;' signifie que pour tout j ^ s on a
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J.P.   DEMAILLY
 (26') codim(fly + Z^,)nzfi  = codimte + Z^.)n(^ + Z^ )=2.
J	S	J	s
Choisissons sur chaque composante irréductible de Z^. un point #/p (où pGN). Il est clair que (26') est réalisé dès que (tfi,..., A*) est en dehors de la réunion (dénombrable) des ensembles analytiques dans (Cn)k définis par l'une des conditions
 */ + */.pGZûf > */-*. + */.pgz*, > j*s,pen.
Par conséquent (26') est vrai pour un ensemble dense de (ax> . . .\ak)E(Cn)k. D'après (24), il existe pour tout entier N une constante CN  telle que (en revenant à la notation w;)
(27) |wy(z)i<CN(l + |z|rNexp(A|Imz|), / = 1,...,*.
On      peut      naturellement       supposer      en      outre      que
LogCN
lim    --- = + °°,    ce  qui permet de définir une application
n -*+~       N
croissante positive ^ : R -? R par
 (28),(0 4NSU^(N.-Logg-).
 <p(t)	N
 On a	lim inf	> sup - = + <»
t-+ + °°      t        ngn 2
donc la condition (1) est satisfaite. D'après le théorème du § 1 , il  existe  des fonctions entières   gx, . . . , gk    telles que la fonction
k
F = Y^   ûjWjgj   soit irréductible,  et qui satisfont à la majoration
(29) Log|*y(z)|<*(Log|z|).
Il résulte aisément de (27), (28) et (29) que
Log|\vy(z)| <LogC0 - 2<p(Log|z|) + A \lmz\, Log \Wj(z)gj(z)\ < LogC0 - </>(Log \z\) + A \Imz\.
Le théorème de Paley-Wiener montre qu'il existe une fonction
k
Vj E ®(B)   telle  que   i>;- = w;gy.    Si l'on définit   V = £   "/ * *>/ »
alors V = F est irréductible dans H(CW), par conséquent V est irréductible dans ê'(R"), car les seules fonctions entières inversibles   vérifiant    (25)    sont   les   exponentielles    X exp (- / (a, z >),

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aGR", correspondant par la transformation de Fourier-Laplace aux mesures de Dirac   \8a .
Faisons maintenant tendre ûj vers 0 dans Cn , et gf> vers 1 , gy satisfaisant de plus à (29) (cf. remarque 2) ; on obtient la densité des (vx, . . . , vk) dans (D(B)*. Si Kx, . . . , Kk sont des parties compactes de R" , K;- =£ 0 , l'ensemble des fc-uplets
(«!,... ,vA:)G(x)(K1) x ... x (D(Kk)
k
tels que la fonction V = £   «y. * vf  ait une transformée V irréduc-
7 = 1
tible dans H(C"), est un G6 (utiliser la proposition 1 et la continuité de la transformation de Laplace). Vérifions brièvement que ce G6 est dense. Pour tout e > 0, désignons par (Ky)e la partie compacte {x GKy \d(x, CKy) > e} C Ky ; soit p G ffl(R") une fonction positive d'intégrale  15 à support dans la boule de centre 0
1	/-	(y - x\ dy
et de rayon   -,   et posons   p, ¤(x) =   /	p (	) - -
3	y'c	Jye(K,)2e	v     e    ' en
1    3
 La fonction pJ¤ ^ (D(Rn) a les propriétés suivantes : (30) pAe = 1 sur (K,)e , Supp(p/.e)C(K/)1 ;
3
(31 ) pour  tout multi-indice   oc E N" ,   il existe une constante Ca indépendante de e telle que
\Wp,t¤W\<Cad{x9£K,rM.
Il résulte facilement de (30), (31) qu'étant donné uy G CD(K;.) la fonction Vj ¤ = vfpf ¤ E(D(Kf) tend vers vf dans CD(Kf) quand e -? 0. On peut comme ci-dessus remplacer Vj c par une fonction voisine vj e, telle que ûxv\ e, .. ., ûkvk ¤ aient un ensemble de zéros communs de codimension > 2. D'après ce que nous avons déjà démontré,  il existe des approximations   wx,. . . ,wk   de   ô0
k
dans  6D(RW)   telles que la fonction   V = X   uj * v]f¤ * w/   soit frré"
7 = 1
ductible. La preuve s'achève en faisant tendre v'j e vers u;-, et w;. vers 50 .
Remarque 4. - Dans le cas « = 1, la situation est tout à fait différente. Il est aisé de voir, en utilisant la factorisation canonique de Weierstrass-Hadamard des fonctions entières (24), que tout élément de  <D(R)   est réductible dans S'(R).   Par contre, le problème
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de savoir si (£>(R) * <D(R) = <D(R)  semble non résolu à ce jour (cf. [2], [3] pour plus de détails).
Remarque 5. - La proposition 5 repose sur le fait que pour toute distribution VGê'(RM), l'irréductibilité de V dans H(CW) entraîne l'irréductibilité de V dans ê'(R"). Il est naturel de se demander si l'implication réciproque est vraie. La réponse est affirmative si n = 1, négative si n > 2.
Proposition 6.-// existe une famille (VX)XGC, dépendant analytiquement de X, de fonctions irréductibles dans l'anneau S'(R"), premières entre elles deux à deux, telles que les transformées de Laplace Wx aient un facteur commun H G HCC") non inversible. De plus,
(32)	la décomposition en facteurs irréductibles, lorsqu'elle existe,
n 'est pas unique en général dans &' (R").
Démonstration. - On considère la fonction d'une variable
Il est classique que g est une fonction entière d'ordre 1 qui n'est pas de type exponentiel, et d'après la formule de Stirling g possède la majoration
(33)	1*^)1 <ae.(i^!)2	e2      l .
On déduit aisément de (33) que pour tout X E C la fonction Zj ->g(z1) g{X- zx) est dans l'espace ê'(R) des transformées de Laplace.
Un raisonnement analogue à celui de la proposition 5 fournit, pour toute boule fermée B de centre 0, des éléments u, u' de CD(B) tels que la fonction
 H(zl9...,zn) = û(zi9. .. ,zn)g(zi) + û'(zl9. ..9zn)g(zx + -)
soit irréductible dans   H(C").   Montrons tout d'abord que  H  n'est pas de type exponentiel. Fixons   (Zj,. . . ,z^)ECw~1   de manière

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que la fonction h(zx) = H(z1 ,z£,...,z°) ne soit pas identiquement nulle. De (33) on tire la majoration
1/2^)1 <Cte.(-^)-R'2i exp. ((y + A) llmzj)
(où   A désigne le rayon de la boule  B), montrant ainsi que  \h(zx)\
tend vers  0   très rapidement lorsque zx tend vers <*> dans le secteur
angulaire   |ArgZ! | <7r/4.   Si   h   était de type exponentiel, on en
1     /*27r déduirait       lim   -- /      Log \h(reid)\ d6 = - «>,      ce    qui    est
absurde. Il est clair que la fonction entière
F\(*i>- --,*«) = H(z1,z2,...,z")H(X -zlsz2,. .. ,zn)
appartient à 6D(R"), que Fx est irréductible dans l'anneau des fonctions de type exponentiel, mais réductible dans H(C"). Les fonctions Vx E <D(RW) définies par Vx = Fx répondent à la question d'après le lemme ci-dessous, et l'assertion (32) résulte de même de l'égalité
F0(z1,. . .) F0(z1 + X, . . .) = F_x(zx, . . .) Fx(z1 + X, . . .)
= H(zx, .. .) H(- zx,. . .) H(zx + X, . . .) H(- X - zx, . . .).
Lemme. - L'hypersurface irréductible ZH= {zEC" ;H(z) = 0} n'est invariante par aucune transformation zx*-? X - zx , ou zll-? zx + X, X^O,   portant sur la première variable.
Démonstration. - L'invariance de ZH équivaut à l'existence d'une fonction PEH(CM) telle que
H(ez1 +X,z2,...,zw) = /(Zl""2")H(z1,...,zrt), e = ±l.
La fonction ep est d'ordre 1 , comme quotient de fonctions d'ordre 1, par conséquent P est un polynôme de degré < 1 . Si e = - 1, on obtient
H(z)2 = H(z) H(X - zx, z2,. . . , zn) e-?^ = Fx(z) e~p^,
donc H serait une fonction de type exponentiel, contrairement à ce que nous savons déjà. Supposons désormais e = 1, X =£ 0, et considérons une fonction partielle h(zx) = H(zx, z\, . . . , z°) non nulle. Par hypothèse,   h   est une fonction entière d'ordre   1,   dont
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le diviseur div(/z) est une somme de classes modulo XZ; comme la fonction zx-? h(z^)h{-  zx) est de type exponentiel, le nombre N de ces classes est nécessairement fini (examiner la croissance du nombre de zéros), et h est de la forme
7 /     n	azl+b     n       -      *   /	X
h(zx) = e  1        n   sin - {zx - cs)
s = l	A
avec des constantes complexes a, b, cs; h serait donc encore de type exponentiel : contradiction.
BIBLIOGRAPHIE
[1] M. Cornalba, B. Shiffman, A counterexample to the "trans-cendental Bezout problem", Ann. of Math. (2) 96 (1972), 402-406.
[2] J. Dixmier, P. Maluavin, Factorisations de fonctions et de vecteurs indéfiniment différentiables, Bull, des Se. Math., tome 102, fasc.n°4 (1978), 305-330.
[3] L.A. Rubel, W.A. Squires, B.A. Taylor, Irreducibility of certain entire functions with applications to harmonie analysis, Annals ofMath., vol. 108, n° 3 (1978), 553-567.
Manuscrit reçu le 12 février 1980.
Jean-Pierre Demailly,
L.A. auC.N.R.S. n° 213
Analyse Complexe et Géométrie
Université de Paris VI
4 place Jussieu 75230 Paris Cedex 05.