% Projet de texte pour l'examen de Mat244
% Vendredi 26 mai 2011
% Plain-TeX

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\def\\{\hfill\break}

\def\decal#1|{\hangindent8mm\hangafter1\noindent\rlap{#1}\hskip8mm} 
\def\Decal#1|{\hangindent16mm\hangafter1\noindent\hskip8mm\rlap{#1}\hskip8mm} 

\noindent 
{\bf Universit\'e Joseph Fourier\hfill UE MAT244,  ann\'ee 2010-2011}

\vskip15pt
\centerline{\bf Examen du 26 mai 2011}
\vskip15pt\noindent
{\it Dur\'ee}\/: 2 heures -- il sera tenu particuli\`erement compte de 
la r\'edaction.\\
{\it Documents, calculettes et t\'el\'ephones portables interdits.}
\vskip25pt

\centerline{\bf Exercice 1}
\noindent
On consid\`ere l'espace $\bR^3$ muni de sa base canonique
$(e_1,e_2,e_3)$. On introduit la forme quadratique $q$ dont la matrice
dans la base $(e_1,e_2,e_3)$ est donn\'ee par
$$
A=\pmatrix{-1 & -1 & 1\cr -1 & -1 & -1 \cr  1 & -1 & -1 \cr}.
$$
\item{1.a.} \'Ecrire l'expression de la forme bilin\'eaire $b$ et de la forme
quadratique $q$ associ\'ees \`a $A$ dans la base $(e_1,e_2,e_3)$.
\medskip
\item{1.b.} Effectuer une d\'ecomposition de $q$ en carr\'es de formes lin\'eaires ind\'ependantes \`a l'aide de l'algorithme de Gauss.
En d\'eduire le rang et la signature de $q$.
\medskip
\item{1.c.} Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de $A$.
En d\'eduire une base orthonorm\'ee $(u_1,u_2,u_3)$ de~$\bR^3$ qui soit
orthonorm\'ee pour le produit scalaire euclidien canonique et qui soit 
ortho\-gonale pour~$b$.
Donner une nouvelle d\'ecomposition de $q$ en carr\'es de formes
lin\'eaires ind\'ependantes, que l'on exprimera dans la base canonique
de~$\bR^3$.
\medskip\noindent
\item{1.d.} D\'eterminer la nature g\'eom\'etrique de l'ensemble $S$ des 
vecteurs isotropes de $q$ (c'est-\`a-dire des vecteurs $v$ tels que $q(v)=0$).
\vskip25pt

\centerline{\bf Exercice 2}
\noindent On consid\`ere dans $\bR^2$ la conique $C$ d'\'equation
$$
x^2-xy+y^2-2x+4y=0.
$$
\item{2.a.} Trouver un rep\`ere orthonorm\'e $(M_0,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ de $\bR^2$ pour la
structure euclidienne canonique, dans lequel la nouvelle \'equation de C prend
la forme $\alpha x^{\prime 2}+\beta y^{\prime 2}+\gamma=0$.

\item{2.b.} D\'eterminer la nature g\'eom\'etrique de la conique $C$ ainsi que
son centre de sym\'etrie.

\vskip25pt

\centerline{\bf Exercice 3}
\noindent
On consid\`ere une fonction p\'eriodique $f$ de p\'eriode $2\pi$ telle que
$$
f(x)=e^{ax},\qquad x\in{}]-\pi,\pi[,\qquad f(\pi)=0,
$$
o\`u $a$ est un param\`etre r\'eel {\it non nul}.
\medskip
\item{3.a.} Calculer les coefficients de Fourier complexes $c_n$ de $f$ pour 
tout $n\in\bZ$.
\item{3.b.} D\'eterminer la limite $S(x)$ de la s\'erie de Fourier de $f$ en tout point
$x\in\bR$ et d\'eterminer en quels points $x$ on a $f(x)=S(x)$.
\item{3.c.} Utiliser la formule de Parseval-Bessel pour \'evaluer la valeur de
la somme
$$
\sum_{n\in\bZ}{1\over a^2+n^2}.
$$
\item{3.d.} D\'eterminer, pour le produit scalaire $L^2$, la projection 
orthogonale de $f$ sur le sous-espace des fonctions p\'eriodiques de p\'eriode 
$2\pi$ engendr\'e par les polyn\^omes trigonom\'etriques de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a~$2$ (c'est-\`a-dire le sous-espace engendr\'e par les fonctions
$x\mapsto e^{inx}$, $-2\le n\le 2$).
\end
