\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[latin9]{inputenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{url,amsmath,amssymb,amsthm,amsfonts,epsfig,eurosym,geometry}
\selectlanguage{french}

\parindent 0ex \parskip 1ex

\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\RR}{\mathbb R}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}

\def\ds{\displaystyle}
\def\ssun{\ds\sum u_n}
\def\ssvn{\ds\sum v_n}
\def\dd{\mathrm{d}}
\def\ee{\mathrm{e}}
\def\Arctan{\mbox{Arctan}\,}

\renewcommand\ge{\geqslant}
\renewcommand\le{\leqslant}
\addtolength{\textheight}{4cm}
\addtolength{\textwidth}{4cm}
\addtolength{\voffset}{-2cm}
\addtolength{\hoffset}{-2cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{large}
\begin{bf}
UJF 2010-2011
\hfill
UE MAT244 

\medskip

\begin{center}
Contr{\^o}le continu du Mercredi 4 Mai 2011

\end{center}
\end{bf}
\end{large}

\medskip

\centerline{\emph{Horaire : 9h45-11h15 Amphi A2}}
\bigskip
\medskip

%\centerline{\textbf{Autour du cours}}

%\bigskip
%\bigskip

\centerline{\textbf{Exercice 1}}

\bigskip

On consid\`ere $\R^3$ muni du produit scalaire usuel et l'endomorphisme 
$f:\R^3\to\R^3$ de matrice $A$ dans la base canonique 

$$A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}$$

\begin{enumerate}
\item Dire pourquoi $f$ est diagonalisable. 

\item Calculer le polyn\^ome caract\'eristique $P_A(\lambda )$ puis les
valeurs propres de $f$. 
%D\'eterminer le noyau ${\rm Ker}\' f$.

\item D\'eterminer une base orthonorm\'ee de vecteurs propres.

\item En d\'eduire une matrice orthogonale $P$ et une matrice diagonale
$D$ telle que $D=P^{-1}AP$.

\item En d\'eduire une expression simple en fonction de $n\in\N$ 
de la matrice $A^n$.

\end{enumerate}
\bigskip
\bigskip

\centerline{\textbf{Exercice 2}}

\bigskip
Pour un $a$ un r\'eel positif fix\'e soit dans le plan $\R^2$ la conique 
$C_a$ d'\'equation suivante 
$$x^2+axy+y^2+x-1=0$$
La forme quadratique $q_a$ est d\'efinie par $q_a(x,y)=x^2+axy+y^2$. 

\begin{enumerate}
\item En d\'ecomposant en carr\'es la forme quadratique $q_a$, d\'eterminer
selon la valeur de $a\ge 0$ le genre (ellipse, parabole ou hyperbole) de
la conique $C_a$.

On fixe $a=1$.

\item R\'eduire $q_1$ dans un rep\`ere orthonorm\'e. 

\item En d\'eduire l'\'equation dans ce rep\`ere de l'ellipse $C_1$ en
pr\'ecisant les longueurs de ses demi grand axes.

\end{enumerate}


\centerline{\textbf{Exercice 3}}

\bigskip

On consid\`ere l'espace vectoriel $E$ des fonctions continues
$2\pi$-p\'eriodiques muni du produit scalaire 
$$\langle f,g\rangle=\frac{1 }{ \pi}\int_0^{2\pi}f(x)g(x)\, dx.$$ 
On rappelle la formule 
$$\ds\cos a\cos b=\frac{1}{2}(\cos (a+b)+\cos (a-b)),~~ \forall a,b\in\R.$$

\begin{enumerate}
\item Montrer que dans $E$, 
la famille de fonctions $\cos nx,n\ge 1$ est orthonorm\'ee 
pour $\langle\,.\,,\,.\,\rangle$.

Soit $h$ la fonction de $E$ d\'efinie par 
$h(x)=(\cos x)(\cos 2x)(\cos 4x).$

\item Exprimer $h(x)$ \`a l'aide des fonctions $\cos nx,n=1,\dots,7.$

\item En d\'eduire les coefficients de Fourier $a_n$ de $h$.

\item En d\'eduire un calcul de l'int\'egrale 
$$\frac{1 }{ \pi}\int_0^{2\pi}h^2(x)\, dx.$$


\end{enumerate}

\bigskip
\bigskip
\bigskip

\centerline{\textbf{***}}
\end{document}


Etudier la convergence simple sur $\R_+$ de la s{\'e}rie de fonctions $\sum u_n$
dont le terme g{\'e}n{\'e}ral est d{\'e}fini  par 
$$u_n(x)=\ln \Bigl(1+\frac{x}{n^2}\Bigl)$$
