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\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\newcounter{qstct}[exo]
\newcommand{\qst}{\noindent\stepcounter{qstct}\arabic{qstct}.\hspace{0.1cm}}

\newcounter{sqct}[sqct]
\newcommand{\sq}{ \noindent\stepcounter{sqct}\textbf{\alph{sqct}.}\hspace{0.1cm}}

\def\b#1{{\mathbb{#1}}} % police en double barre (pour les corps, par exemple)
\def\l#1{{\mathcal{#1}}}

\begin{document}

\begin{center}
\begin{large}
\textbf{Universit\'e Joseph Fourier\hfill MAT244 : Contr\^ole continu du 23 mars 2011\\ L2\hfill Math\'ematiques}
\end{large}
\end{center}
Dur\'ee 2 heures\\
Documents et calculatrices non autoris\'es
\vskip 1cm

\begin{flushleft}
\textbf{Questions de cours}
\end{flushleft}
\vspace{-0.25cm}
\qst Donner la d\'efinition d'une forme sesquilin\'eaire sur un espace vectoriel complexe $E$. \\

\qst Donner l'\'enonc\'e de l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz sans oublier de pr\'eciser la caract\'erisation du cas d'\'egalit\'e.

\vspace{0.25cm}
\begin{exo} 
Pour tout vecteur de $\b R^3$, on note $(x,y,z)$ ses coordonn\'ees dans la base canonique.
Soit $q$ la forme quadratique d\'efinie sur $\b R^3$ telle que 
$$q(x,y,z)= x^2+5z^2+4xz+6yz$$

\qst Donner la matrice $A$ de $q$ dans la base canonique \\

\qst En utilisant la m\'ethode de Gauss, montrer que $q(x,y,z)=(x+2z)^2-9y^2+(z+3y)^2$. \\

Soit le changement de coordonn\'ees suivant :
$$
\left\{
\begin{array}{rcl}
X&=&x+2z\\
Y&=&y\\
Z&=&z+3y
\end{array}
\right.
$$
On note $\l B_1$ la nouvelle base associ\'ee \`a ce changement de coordonn\'ees. \\

\qst Exprimer $q(x,y,z)$ en fonction de $X,Y,Z$.  En d\'eduire la matrice $A_1$ associ\'ee \`a $q$ dans la base $\l B_1$. \\

\qst Exprimer la matrice de passage, $P$, de la base canonique \`a la base $\l B_1$.\\

\qst Exprimer $A_1$ \`a l'aide de $P$ et $A$.\\

\qst Peut-on trouver une base dans laquelle la matrice associ\'ee \`a $q$ est la matrice suivante ?
$$M=\left(
\begin{array}{ccc}
-5&0&0\\
0&-17&0\\
0&0&-2
\end{array}
\right)
$$
\end{exo}

\vspace{0.25cm}
\begin{exo}
 On se place sur $\b R_2 [X]$ muni de $\varphi$ d\'efinie par l'expression suivante :
$$
\varphi(P,Q) = \int_{-1} ^{1} \ P(x) \ Q(x) \ x^2\ dx
$$ 

\qst Montrer que $\varphi$ est un produit scalaire sur $\b R_2 [X]$. \\

\qst Trouver $a,b,c,d \in \b R$ afin que $\lbrace a ; bX ; cX^2 -d \rbrace$ soit une base $\varphi$-orthogonale. \\

\qst En d\'eduire une base $\varphi$-orthonorm\'ee.
\end{exo}

\vspace{0.25cm}
\begin{exo}
 On se place dans $E=\b R^4$. On consid\`ere la matrice sym\'etrique :
$$
A=\left(
\begin{array}{cccc}
1 &-1 &1 &0\\
-1 &0 &0 &1\\
1 &0 &1 &1\\
0 &1 &1 &1
\end{array}
\right)
$$ 

\qst Soit $b$ la forme bilin\'eaire sym\'etrique dont $A$ est la matrice repr\'esentative dans la base canonique. Pour $X=(x,y,z,t)\in E$ et
 $X'=(x',y',z',t')\in E$, exprimer $b(X,X')$ en fonction de $x,x',y,y',z,z',t,t'$. \\

\qst D\'eterminer la forme quadratique $q$ associ\'ee, dans la base canonique. \\

\qst Montrer que $q$ est non d\'eg\'en\'er\'ee. \\

\qst Soit $V\subset E$ le sous espace vectoriel ayant pour \'equation dans la base canonique $x+y+z-t=0$. Quelle est sa dimension? Donner une base de $V$. \\

\qst Soit $V^\perp$ l'orthogonal de $V$ par rapport \`a la forme bilin\'eaire sym\'etrique $b$. Justifier sans calcul que l'on a $dim(V^\perp)=1$. Montrer que $V^\perp$ est la droite engendr\'ee par le vecteur $(-1,-1,0,1)$. \\

\qst A-t-on $E=V\oplus V^\perp$? \\
\end{exo}

\end{document}