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\def\A{{\cal A}}
\def\B{{\cal B}}
\def\F{{\cal F}}
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\arabic{exercice}.} }
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\begin{document}

\noindent \textbf{MAT244 \ \ 2010-2011 
\hskip 3cm Feuille d'exercices 2}

\vskip .4cm 
Soit $E$ un $\C$-espace vectoriel. On rappelle qu'une application 
$b:E\times E\rightarrow \C$ est \sl sesquilin\'eaire \rm ssi 
$\forall x,y,x',y'\in E,~ \lambda ,\mu \in\C$, on a 
$b(\lambda x+x',\mu y+y')=
\overline{\lambda}\mu b(x,y)+\overline{\lambda}b(x,y')+
\mu b(x',y)+b(x',y')$.      

\exercice
D\'{e}terminer si les fonctions suivantes sont des formes 
bilin\'eaires/sesquilin\'eaire, dans l'affirmative, 
si elles sont sym\'{e}triques/hermitiennes.

\begin{enumerate}
\item $b:\R^2\times \R^2\rightarrow \R,\quad 
b((x_1,x_2),(y_1,y_2))=x_1y_2+x_2y_2$.

\item $b:\R^2\times \R^2\rightarrow \R, \quad 
b((x_1,x_2),(y_1,y_2))=x_1y_2+x_2x_1$.
  
\item $\varphi: \C^3\times \C^3\to \C, \quad 
b((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))=\overline{x}_1y_3+\overline{x}_2+y_1y_2$
  
\item $b:\R[X]_n\times \R[X]_n\rightarrow \R,\quad 
b(P,Q)=P'(1)Q(0)+Q'(1)P(0)$.

\item $b : C([a,b], \R)\times C([a,b],\R)\rightarrow \R, \quad 
b(f,g)=\int_a^b f(x)g(x)dx$.

\item $\varphi : C([a,b], \C)\times C([a,b],\C)\rightarrow \C, \quad  
\varphi(f,g)=\int_a^b \overline{f(x)}g(x)dx$.

\item $\varphi : C([a,b], \C)\times C([a,b],\C)\rightarrow \C, \quad  
\varphi(f,g)=\int_a^b f(x)\overline{g(x)}dx$.

\end{enumerate}

\exercice 
Pour chaque forme bilin\'eaire, calculer sa matrice $M_1$ 
dans la base $\B_1$ et sa matrice $M_2$ dans la base $\B_2$. Calculer
la matrice de passage $P$ de $\B_1$ \`{a} $\B_2$ et v\'erifier que 
$M_2= {^t}P M_1 P$.
\begin{enumerate}
\item $\phi:\R^2\times \R^2\rightarrow \R
,~\varphi ((x_1,x_2),(y_1,y_2))=x_1y_2+3y_1x_2,
~\B_1=((1,0),(0,1)), ~\B_2=((1,1),(2,1))  $

\item  $\phi:(Q,R)\in\R[X]_2\times \R[X]_2\mapsto Q(2)R(1)\in\R,~ ~
\B_1=(1,X,X^2),~\B_2=(1,X-1,X^2-3X+2).
$
\item  $\phi:(Q,R)\in\R[X]_2\times \R[X]_2\mapsto \int_0^1Q(x)R(1-x)dx, ~
\B_1=(1,X,X^2),~ \B_2=(1,X-1,X^2-X)$.

\end{enumerate} 
 
\exercice
Soient $\varphi$ et $\psi$ deux formes lin\'eaires d\'efinies sur le
$\C$-espace vectoriel $E$.   
\begin{enumerate} 
\item D\'emontrer que l'application 
$b:(u,v)\in E\times E \mapsto\varphi(u)\psi(v)+\varphi(v)\psi(u)\in\C$ est
une forme bilin\'eaire sym\'etrique et que l'application  
$h:(u,v)\in E\times E \mapsto\overline{\varphi(u)}\psi(v)+\overline{\psi(u)}\varphi(v)$ est
sesquilin\'eaire hermitienne. 
  
\item D\'emontrer que l'application 
$a:(u,v)\in E\times E \mapsto\varphi(u)\psi(v)-\varphi(v)\psi(u)$ est
une forme bilin\'eaire v\'{e}rifiant 
$a(v,u)=-a(u,v)\mbox{ pour tous }u,v\in E$.
  
\item Supposons que $E=\R^3$ et que, pour tout $x=(x_1,x_2,x_3)\in\R^3$,
$\varphi(x)=s_1x_1+s_2x_2+s_3x_3$, $\psi(x)=t_1x_1+t_2x_2+t_3x_3$, 
o\`u les $s_i,t_i\in\R$ sont fix\'es. 
Donner les matrices de $a$ et $b$ dans la base canonique de $\R^3$. 
\end{enumerate}



\exercice
Soit $\Phi$ une forme bilin\'eaire d\'efinie sur $E\times E$
o\`u $E$ est un $\R$-espace vectoriel de dimension $n$. Soit $A$ une
matrice repr\'esentant $\Phi$ dans une base $\mathcal{B}$
fix\'ee. Montrer que l'application \[\Psi:E\times E \rightarrow \R\]
d\'efinie par $\Psi(u,v)=\Phi(v,u)$ est une forme bilin\'eaire et 
pr\'eciser, en fonction de $A$, sa matrice dans la base 
$\mathcal{B}$. Montrer que $\Psi$ est sym\'etrique 
(resp. antisym\'etrique) si et seulement si $A$ l'est. 

\exercice
Soit $w=(a,b,c)\in\R^3,w\neq 0$ fix\'e et l'application $f:\R^3\to \R$ d\'efinie par 
$$f(x,y,z)=ax+by+cz.$$ 
On consid\`ere l'application $\varphi:\R^3\times \R^3\to \R$ d\'efinie par 
$\varphi (u,v)=f(u\wedge v)$.

Montrer que $\varphi$ est bilin\'{e}aire et calculer sa matrice repr\'{e}sentative dans la base canonique. 


\exercice
Soient $A,B\in{\rm M}_n(\R)$ des matrices $n\times n$. 
Montrer que si pour tous vecteurs colonnes \`a $n$ composantes r\'eelles 
$X, Y$ on a ${^t}XAY={^t}XBY$, alors $A=B$.

\vfill\eject

\exercice
Soit $V$ un $\C$-espace vectoriel. 
Soient $b:V\times V\to \C$ une forme bilin\'{e}aire sym\'{e}trique et 
$h:V\times V\to \C$ une forme sesquilin\'eaire hermitienne. 
Montrer les relations suivantes:

$(1)$ $\ds b(x+y,x+y)-b(x,x)-b(y,y)=2b(x,y)$  

$(2)$ $\ds b(x+y,x+y)-b(x-y,x-y)=4b(x,y)$

$(3)$ $\ds h(x+y,x+y)-h(x,x)-h(y,y)=2\Re {h(x,y)}$ 

$(4)$ $\ds h(x-iy,x-iy)-h(x,x)-h(y,y)=2\Im {h(x,y)}$ 

$(5)$ $\ds h(x+y,x+y)-h(x-y,x-y)=4\Re{h(x,y)}$

$(6)$ $\ds h(x-iy,x-iy)-h(x+iy,x+iy)=4\Im {h(x,y)}$.


\exercice Soit $V$ un $\R$-espace vectoriel. 
Soit $b:V\times V\to \R$ une forme bilin\'{e}aire sym\'{e}trique. 
Pour un sous-ensemble $S$ de $V$, on d\'efinit son orthogonal par 
$$S^\perp=\{ x\in V \mid b(x,s)=0 \mbox{ pour tout }s\in S\}.$$

$(1)$ Montrer que $S^\perp$ est un sous-espace vectoriel de $V$.

$(2)$ Montrer que chaque forme bilin\'eaire 
$b$ ci-dessous est sym\'etrique et calculer son rang. 
Calculer \'{e}galement $V^\perp$ et $S^\perp$.

\begin{enumerate}

\item $b: \R^3\!\times\!\R^3 \rightarrow \R ,\;
b((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))\! = \! x_1y_1\!+\!x_2y_1\!+\!x_1y_2,
S=\{(x_1,x_2,x_3)|x_1\!+\!x_2\!+\!x_3\!=\!0\}$.
\item $b : (P,Q)\in\R[X]_3\times \R[X]_3\mapsto P'(0)Q(0)+P(0)Q'(0), ~ 
S=\R[X]_3$.
\end{enumerate}  

\exercice
D\'emontrer que, pour toute forme bilin\'eaire sym\'etrique 
$b$ sur un espace
vectoriel $E$, pour tous sous-espaces vectoriels $W,U$, nous avons
les propri\'et\'es suivantes. 
\begin{enumerate}
\item $(U+W)^\perp=(U^\perp)\cap (W^\perp)$.
\item $(U\cap W)^\perp\supset U^\perp +W^\perp$.
\end{enumerate}
 Donner un exemple d'une forme bilin\'eaire de rang 1 sur 
$\R^2$ et des sous-espaces $U,W\subset \R^2$ tels que
$(U\cap W)^\perp\neq U^\perp+W^\perp$.

\exercice Soit $q$ la forme quadratique d\'efinie sur $\R^2$ par 
$q(x,y)=3x^2-10xy+19y^2$.
\begin{enumerate}
\item D\'ecomposer $q$ en carr\'es, c'est-\`a-dire trouver un changement
de coordonn\'ees 
$(X,Y)\!=\!f(x,y)$ lin\'eaire (i.e. $f$ est lin\'eaire) 
tel que, dans ces coordonn\'ees, on ait $q=X^2+Y^2$.

\item Gr\^ace \`a ce changement de coordonn\'ees, calculer 
l'int\'egrale double $A=\int\!\!\int _{q(x,y)\le 1}dxdy$. 

\item Quelle aire est calcul\'ee par cette int\'egrale ?

\end{enumerate}

 
\exercice Soit $q$ la forme quadratique d\'efinie sur $\R^3$ par 
$q(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2+2xy+2xz$.
\begin{enumerate}
\item D\'ecomposer $q$ en carr\'es, c'est-\`a-dire trouver un changement
de coordonn\'ees \hfill\break 
$(X,Y,Z)=f(x,y,z)$ lin\'eaire  
tel que, dans ces coordonn\'ees, on ait $q=X^2+Y^2+Z^2$.

\item Gr\^ace \`a ce changement de coordonn\'ees, calculer 
l'int\'egrale triple $V=\int\!\!\int\!\!\int _{q(x,y,)\le 1}dxdydz$. 

\item Quel volume est calcul\'e par cette int\'egrale ?

\end{enumerate}


\exercice Soit $b$ la forme bilin\'eaire sym\'etrique d\'efinie sur $\R^3$ par 
$$b(x,y)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+2x_1y_2+2x_2y_1+3x_2y_3+3x_3y_2.$$
\begin{enumerate}
\item D\'ecomposer la forme quadratique $q(x)=b(x,x)$ en carr\'es,  
c'est-\`a-dire trouver un changement de coordonn\'ees 
$(X_1,X_2,X_3)=f(x_1,x_2,x_3)$ lin\'eaire  
tel que, dans ces coordonn\'ees, on ait $q=a_1X_1^2+a_2X_2^2+a_3X_3^2$
o\`u les $a_i$ sont des constantes.

\item Comment s'\'ecrit $b$ dans ces nouvelles coordonn\'ees $(X_1,X_2,X_3)$ ?
En d\'eduire une base \hfill\break 
$\B=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)$ orthogonale pour $b$.

\end{enumerate}

\end{document}
