\magnification 1095 \parindent 0cm \parskip 3pt plus 1pt minus 1pt
\hsize 16cm \hoffset-8mm \vsize 24cm \voffset-10mm 
\def\\{\hfil\break}

\font\goth=eufm10

\font\tenCal=eusm10
\font\sevenCal=eusm7
\font\fiveCal=eusm5
\newfam\Calfam
  \textfont\Calfam=\tenCal
  \scriptfont\Calfam=\sevenCal
  \scriptscriptfont\Calfam=\fiveCal
\def\Cal{\fam\Calfam\tenCal}

\font\tenBbb=msbm10
\font\sevenBbb=msbm7
\font\fiveBbb=msbm5
\newfam\Bbbfam
  \textfont\Bbbfam=\tenBbb
  \scriptfont\Bbbfam=\sevenBbb
  \scriptscriptfont\Bbbfam=\fiveBbb
\def\Bbb{\fam\Bbbfam\tenBbb}

% Usual sets of numbers  
\def\bB{{\Bbb B}}
\def\bC{{\Bbb C}}
\def\bD{{\Bbb D}}
\def\bH{{\Bbb H}}
\def\bK{{\Bbb K}}
\def\bN{{\Bbb N}}
\def\bP{{\Bbb P}}
\def\bQ{{\Bbb Q}}
\def\bR{{\Bbb R}}
\def\bT{{\Bbb T}}
\def\bZ{{\Bbb Z}}

\def\cC{{\Cal C}}
\def\cL{{\Cal L}}
\def\cO{{\Cal O}}

\def\gS{{\goth S}}

\def\Id{\mathop{\rm Id}}
\def\Im{\mathop{\rm Im}}
\def\Aut{\mathop{\rm Aut}}
\def\Sk{\mathop{\rm Sk}}
\def\Langle{\langle\!\langle}
\def\Rangle{\rangle\!\rangle}
\def\ssm{\mathop{\hbox{\Bbb r}}}

\line{\bf Magistère M1\hfil Université Grenoble Alpes\hfil année 2018-2019}
\vskip3mm
\centerline{\bf Surfaces de Riemann (Jean-Pierre Demailly),
feuille n${}^\circ$2, 24/01/2019}

\vskip3pt

{\bf 1.} {\it Morphismes de surfaces de Riemann}\\
(a) Soient $X$ et $Y$ deux surfaces de Riemann, et soient
$\tau_j:U_j\to\Omega_j\subset\bC$, $\theta_k:V_k\to\Omega'_k\subset\bC$,
avec $X=\bigcup U_j$, $Y=\bigcup V_k$. Montrer que $\varphi:X\to Y$ est
un morphisme (c'est-à-dire un morphisme d'espaces annelés de
$(X,\cO_X)$ vers $(Y,\cO_Y)$) si pour tous indices $j,k$
l'application $\theta_k\circ\varphi\circ\tau_j^{-1}$ est holomorphe
sur l'ouvert $\tau_j(\varphi^{-1}(V_k)\cap U_j)\subset\Omega_j$.\\
(b) On note $\Aut(X)$ l'ensemble des isomorphismes de $X$ sur $X$~: c'est un
groupe pour la composition des applications.

{\bf 2.} {\it Un théorème de Weierstrass} (connu~?)\\
Soit $\Omega_R=D(z_0,R)\ssm\{z_0\}\subset\bC$ un disque épointé et
$f\in\cO(\Omega_R)$ non constante. On veut montrer que si $f$ possède une
singularité essentielle en $z=z_0$, alors il existe une partie
dense $E\subset\bC$ telle
que toute valeur $w\in E$ est prise une infinité de fois dans chaque
disque épointé $\Omega_r=D(z_0,r)\ssm\{z_0\}$.\vskip3pt
(a) On suppose que $A_r=\overline{f(\Omega_r)}\neq \bC$, et on choisit
un point $w_r\in\bC\ssm A_r$. Montrons que $g(z)={1\over f(z)-w_r}$ est
holomorphe bornée sur $\Omega_r$ et en déduire que $f$ n'a pas de singularité
essentielle en $z_0$, d'où contradiction.\vskip3pt
(b) Montrer que $E=\bigcap_{k\geq 1} f(\Omega_{2^{-k}R})$ est une partie
dense de $\bC$ à l'aide du théorème de Baire, et conclure.
\medskip

{\bf 3.} {\it Détermination de $\Aut(\bC)$ $($comme surface de Riemann$)$.}\vskip3pt
(a) Montrer que les transformations affines $\varphi(z)=az+b$,
$a\in\bC^*$, $b\in\bC$ constituent un sous-groupe de $\Aut(\bC)$.\vskip3pt
(b) Réciproquement, soit $f\in\Aut(\bC)$. Montrer à l'aide de l'exercice~2 que
$g(z)=f(1/z)$, qui est holomorphe sur $\bC^*$, ne peut pas avoir une
singularité essentielle en $0$. En déduire que $f$ est nécessairement un
polynôme, puis que ce polynôme est de degré~$1$.
\vskip3pt
(c) Montrer que $\Aut(\bC)$ est constitué précisément des transformations affines
bijectives décrites au (a).\medskip

{\bf 4.} {\it Détermination des automorphismes de la sphère de Riemann.}\\
On considère ici la sphère de Riemann $X=\bC\cup\{\infty\}$ et on se propose de
déterminer $\Aut(X)$. On appelle transformation homographique toutes
application $h:X\to X$ telle que
$$
h(z)={az+b\over cz+d}
$$
avec $a,b,c,d,\in\bC$ telle que $\det\pmatrix{a & b\cr c &d \cr}=ad-bc\neq 0$
(si le déterminant est nul et $(c,d)\neq (0,0)$, alors $h$ est constante, et
on souhaite exclure ce cas). On étend $h$ à $\bC\cup\{\infty\}$ en posant
$h(\infty)=a/c$ et $h(-d/c)=\infty$ (avec $a/c=\infty$ et $d/c=\infty$ si
$c=0$).\\
(a) En écrivant $h={a\over c}-{1\over c^2}{ad-bc\over z+d/c}$ si $c\neq 0$,
montrer que
$h$ est la composée d'un translation $z\mapsto z+\alpha$, de l'inversion
$z\mapsto 1/z$, d'une homothétie $z\mapsto \lambda z$, $\lambda\in\bC^*$ et
d'une nouvelle translation $z\mapsto z+\beta$. Traiter également le cas $c=0$.
En déduire que $h$ définit bien
en élément de $\Aut(\bC\cup\{\infty\})$ et que l'ensemble des homographies
forme un groupe pour la composition (avec la loi $\circ$ qui correspond au
produit des matrices $2\times 2$ associées).\vskip3pt
(b) Réciproquement, soit $f\in\Aut(\bC\cup\{\infty\})$. Montrer qu'il
existe une homographie $h$ telle que $g=h\circ f$ satisfasse
$g(\infty)=\infty$. En déduire que $g$ est affine et que $f$ est une
homographie.
\medskip

{\bf 5.} {\it Détermination des automorphismes du disque unité $\bD=\{z\in\bC\,/\;|z|<1\}$.}\\
Pour tout $\lambda\in\bC$, $\lambda=1$, et $a\in\bD$, on pose
$$
r_\lambda(z)=\lambda z,\quad{et}\quad
\varphi_a(z)={z-a\over 1-\overline az}.
$$
(a) Montrer que
$$
1-|\varphi_a(z)|^2=1-\varphi_a(z)\overline{\varphi_a(z)}=
{(1-|a|^2)(1-|z|^2)\over |1-\overline az|^2},
$$
et en déduire que $r_\lambda,\varphi_a\in\Aut(\bD)$, avec $\varphi_a^{-1}=
\varphi_{-a}$.\vskip3pt
(b) Réciproquement, soit $f\in\Aut(\bD)$ un automorphisme. Si $f(0)=0$,
montrer que $f$ est une rotation~$r_\lambda$ (pour le voir,
on appliquera le lemme
de Schwarz). Sinon, montrer qu'il existe $a\in\bD$ tel que
$g=f\circ\varphi_{-a}$ vérifie $g(0)=0$, et en déduire que
$f$ est de la forme $r_\lambda\circ\varphi_a$.\vskip3pt
(c) Déterminer $\Aut(\bD)$ et montrer qu'il s'agit d'un sous-groupe du
groupe des homographies.
\medskip
{\bf 6.} {\it Détermination des automorphismes du demi-plan de Poincaré
$\bH=\{z\in\bC\,/\;\Im z>0\}$.}\\
On considère les homographies de la forme
$$
h(z)={az+b\over cz+d},\quad a,b,c,d\in\bR,~~ad-bc\neq 0.\leqno(*)
$$
(a) Vérifier que
$$
\Im h(z)={(ad-bc)\Im z\over |cz+d|^2}
$$
et en déduire que $h\in \Aut(\bH)$ si $ad-bc>0$. Que se passe-t-il si
$ad-bc<0$~? Dans le cas $ad-bc>0$ montrer qu'on peut se ramener à ce que
$ad-bc=1$ sans changer $h$.\vskip3pt
(b) Montrer que l'ensemble $G$ des homographies $(*)$ de coefficients réels
tels que $ad-bc=1$ forment un sous-groupe $G$
de $\Aut(\bH)$. Quelle est l'action d'un élément $h\in G$ sur le
demi-plan conjugué $-\bH$~? Pour tout $x_0\in\bR\cup\{\infty\}$,
montrer qu'il existe $h_0\in G$ telle que $h(x_0)=\infty$.
\vskip3pt
(c) Montrer que les homographies
$$
u(z)={z-i\over z+i},\quad v(z)=i\;{1+w\over 1-w}
$$
définissent des isomorphismes $u:\bH\to\bD$, $v:\bD\to\bH$ inverses l'un
de l'autre.\vskip3pt
(d) Déduire de (c) et de l'exercice 5 que $\Aut(\bH)$ est un sous-groupe
du groupe des homographies (avec des coefficients a priori complexes),
et que ce groupe est isomorphe à $\Aut(\bD)$.\vskip3pt
(e) Soit $f(z)={az+b\over cz+d}$ une homographie à coefficients complexes
induisant un automorphisme de $\bH$. Montrer qu'il existe $\lambda\in\bC^*$
tels que $\alpha=\lambda a$, $\beta=\lambda b$, $\gamma=\lambda c$,
$\delta=\lambda d$ soient réels et satisfassent $\alpha\delta-\beta\gamma=1$,
de sorte que $f\in G$.\\
{\it Indication}. Démontrer d'abord le résultat lorsque $f(\infty)=\infty$
(i.e.\ $c=0$). En général, par passage au complémentaire dans la sphère
de Riemann,
montrer que $f$ induit un automorphisme du demi-plan conjugué $-\bH$,
et une bijection de $\bR\cup\{\infty\}$ sur $\bR\cup\{\infty\}$. Montrer
qu'il existe $h_0\in G$ telle que $g=h_0\circ f$
satisfasse $g(\infty)=g(\infty)$, et conclure.

\end

% Local Variables:
% TeX-command-default: "TeX"
% End: