\magnification 1095 \parindent 0cm \parskip 3pt plus 1pt minus 1pt \hsize 15.5cm \hoffset=-4mm \vsize 23cm \voffset-8mm \nopagenumbers \def\\{\hfil\break} \font\goth=eufm10 \font\tenCal=eusm10 \font\sevenCal=eusm7 \font\fiveCal=eusm5 \newfam\Calfam \textfont\Calfam=\tenCal \scriptfont\Calfam=\sevenCal \scriptscriptfont\Calfam=\fiveCal \def\Cal{\fam\Calfam\tenCal} \font\tenBbb=msbm10 \font\sevenBbb=msbm7 \font\fiveBbb=msbm5 \newfam\Bbbfam \textfont\Bbbfam=\tenBbb \scriptfont\Bbbfam=\sevenBbb \scriptscriptfont\Bbbfam=\fiveBbb \def\Bbb{\fam\Bbbfam\tenBbb} % Usual sets of numbers \def\bB{{\Bbb B}} \def\bC{{\Bbb C}} \def\bD{{\Bbb D}} \def\bH{{\Bbb H}} \def\bK{{\Bbb K}} \def\bN{{\Bbb N}} \def\bP{{\Bbb P}} \def\bQ{{\Bbb Q}} \def\bR{{\Bbb R}} \def\bT{{\Bbb T}} \def\bZ{{\Bbb Z}} \def\cB{{\Cal B}} \def\cC{{\Cal C}} \def\cF{{\Cal F}} \def\cG{{\Cal G}} \def\cL{{\Cal L}} \def\cM{{\Cal M}} \def\cO{{\Cal O}} \def\cT{{\Cal T}} \def\gS{{\goth S}} \def\SL{\mathop{\rm SL}\nolimits} \def\Id{\mathop{\rm Id}} \def\Re{\mathop{\rm Re}} \def\Im{\mathop{\rm Im}} \def\Hom{\mathop{\rm Hom}} \def\pr{\mathop{\rm pr}} \def\card{\mathop{\rm card}} \def\Aut{\mathop{\rm Aut}} \def\Sk{\mathop{\rm Sk}} \def\Langle{\langle\!\langle} \def\Rangle{\rangle\!\rangle} \def\ssm{\mathop{\hbox{\Bbb r}}} \def\sump{\mathop{\sum\nolimits'}} \def\bu{$\scriptstyle\bullet$\ } \line{\bf Magistère M1\hfil Université Grenoble Alpes\hfil année 2018-2019} \vskip5mm \centerline{\bf Surfaces de Riemann (Jean-Pierre Demailly), feuille n${}^\circ$8, 21/03/2019} \vskip5mm {\bf 1.} Soit $(X,\cO_X)$ une surface de Riemann, et $z$ une coordonnée locale sur un ouvert de carte $U$ de~$X$. Si $f\in\cC^1(U,\bC)$, on définit $\partial f={\partial f\over\partial z}dz$ et $\overline\partial f={\partial f\over\partial\overline z}d\overline z$, de sorte que $df=\partial f+\overline\partial f$. De m\^eme, si $\alpha(z)=v(z)dz+w(z)d\overline z$ est une $1$-forme de classe $\cC^1$, on définit $$ \partial\alpha(z)={\partial w(z)\over \partial z}dz\wedge d\overline z,~~~ \overline\partial\alpha(z)={\partial v(z)\over\partial\overline z} d\overline z\wedge dz, $$ de sorte que $d\alpha=\partial\alpha+\overline\partial\alpha$. (a) Pour toute fonction $f\in\cC^2(U,\bC)$, montrer que l'on a $d(df)=0$, $\partial(\partial f)=0$, $\overline\partial(\overline\partial f)=0$, et que $$ id\overline\partial f(z)=-id\partial f(z)= i\partial\overline\partial f(z)= -i\overline\partial\partial f(z)= {\partial^2f\over \partial z\partial\overline z}\,idz\wedge d\overline z ={1\over 2}\Big({\partial^2f\over\partial x^2}+ {\partial^2f\over\partial y^2}\Big) dx\wedge dy $$ si l'on écrit $z=x+iy$. Montrer que pour tout fonction holomorphe $g\in\cO_X(U)$ ne s'annulant pas, on a $i\partial\overline\partial\log|g|^2=0$ (dans tout ce qui suit, $\log$ désigne le logarithme népérien. On pourra remarquer que $|g|^2=g\overline g$~!) (b) Soit $K$ est un domaine compact à bord $\cC^1$ par morceaux dans $X$. On rappelle la convention d'orientation usuelle du bord $\partial K$~: si $p$ est un point non anguleux du bord et si $z=x+iy$ est une coordonnée locale holomorphe choisie de sorte que la direction réelle $Ox$ soit une direction tangente à $\partial K$ et $Oy$ une direction normale pointant vers {\it l'intérieur de $K$}, alors $\partial K$ est orienté dans le sens de la demi-tangente $Ox$ (noter qu'on peut toujours se ramener à ce cas en ``tournant'' la coordonnée locale et en prenant une nouvelle coordonnée $\tilde z=\lambda(z-p)$ avec $|\lambda|=1$, si nécessaire). Alors on a la formule de Stokes $$ \int_K d\alpha=\int_{\partial K}\alpha $$ pour toute $1$-forme de classe $\cC^1$ sur $K$. (La première est une intégrale en 2 variables. Par découpage de $K$ en en nombre fini de morceaux, on se ramène à la situation où $K$ est contenu dans un ouvert de carte, auquel cas il s'agit de la formule de Green-Riemann usuelle pour un ouvert du plan $\bC\simeq \bR^2$). En déduire que si $X$ est compacte et $K=X$, on a $\int_Xd\alpha=0$, puis que $\int_Xi\partial\overline\partial u=0$ pour toute fonction $u\in\cC^2(X)$. (c) Soit $\cF$ un $\cO_X$-module inversible muni d'une métrique hermitienne $h$ de classe $\cC^2$ au moins. On définit la forme de courbure de $(\cF,h)$ comme étant la 2-forme $$ \Theta_{\cF,h}=-{i\over 2\pi}\partial\overline\partial \log|e|^2_h $$ où $e$ est un générateur local quelconque du faisceau $\cF$ (qui, par hypothèse, est localement libre de rang $1$). Montrer que ceci a un sens, i.e.\ que $\Theta_{\cF,h}$ ne dépend pas du générateur local $e$ choisi (si $\tilde e$ est une autre base sur $\cO_X$, on a $\tilde e=g e$ avec $g$ holomorphe inversible). (d) On suppose ici $X$ compacte. Montrer que l'intégrale $$ \int_X\Theta_{\cF,h} $$ ne {\it dépend pas} de la métrique hermitienne $h$ choisie sur $\cF$.\\ {\it Indication}~: si $\tilde h$ est une autre métrique, on peut écrire $\tilde h=he^{-u}$ avec $u=-\log{\tilde h\over h}\in\cC^2(X)$. Exprimer la relation qui existe entre $\Theta_{\cF,\tilde h}$ et $\Theta_{\cF,h}$. \medskip {\bf 2}. On suppose ici que la surface de Riemann $X$ est compacte. Le but du présent exercice est de montrer que $\int_X\Theta_{\cF,h}$ co\"{\i}ncide avec le degré $\deg(\cF)$ (et en particulier que $\int_X\Theta_{\cF,h}\in\bZ$). On admettra qu'il existe toujours un diviseur $D$ sur $X$ tel que $\cF\simeq\cO_X(D)$. (a) Si $\varphi:\cF\to\cG$ est un isomorphisme de $\cO_X$-modules, montrer que l'on a $$ \int_X\Theta_{\cF,h}=\int_X\Theta_{\cG,\tilde h} $$ quelles que soient les métriques $h$ sur $\cF$ et $\tilde h$ sur $\cG$ de classe $\cC^2$.\\ {\it Indication}~: considérer le cas où $h$ et $\tilde h$ se correspondent par l'isomorphisme~$\varphi$. (b) Montrer que si $(\cF,h_\cF)$ et $(\cG,h_\cG)$ sont des faisceaux inversibles munis de structures hermitiennes, on a $$ \int_X\Theta_{\cF\otimes\cG,h_\cF\otimes h_\cG}=\int_X\Theta_{\cF,h_\cF}+ \int_X\Theta_{\cG,h_\cG}, $$ où $h_\cF\otimes h_\cG$ désigne la structure hermitienne sur $\cF\otimes \cG$ telle que $|s\otimes t|^2_{h_\cF\otimes h_\cG}= |s|^2_{h_\cF}|t|^2_{h_\cG}$. (c) Soit $p\in X$ un point fixé. On considère ici le cas $\cF=\cO_X([p])\subset\cM_X$, faisceau des fonctions méromorphes ayant au plus un p\^ole simple en $p$. On choisit une coordonnée locale $z$ sur un voisinage $V$ de $p$ telle que $p$ corresponde au point $z=0$, de sorte que $e(z)={1\over z}$ est un générateur local de $\cF$ sur~$V$ et $\tilde e(z)=1$ un générateur de $\cF$ sur $X\ssm\{p\}$. On considère le voisinage $V_\varepsilon:=\{|z|<\varepsilon\}\subset V$ pour $\varepsilon>0$ assez petit, et on définit une métrique $h_\varepsilon$ sur $\cF$ en posant, $\forall f\in\cF(U)$, $$ \cases{ |f|^2_{h_\varepsilon}=|f(z)|^2&pour $z\in U\ssm V_\varepsilon$, \cr |f|^2_{h_\varepsilon}=|f(z)|^2\exp\Big(\theta_\varepsilon(z)\log|z|^2\Big) &pour $z\in U\cap V_\varepsilon$,\cr} $$ où $\theta_\varepsilon$ est une fonction de classe $\cC^\infty$ sur $V$, à support compact dans $V_\varepsilon$, égale à $1$ sur $V_{\varepsilon/2}$. Vérifier qu'il y a bien recollement et que $h_\varepsilon$ est une métrique de classe $\cC^\infty$ pour $\cF$ (i.e., par exemple, que $|e|^2_{h_\varepsilon}$ est de classe $\cC^\infty$ sur $V$ et $|\tilde e|^2_{h_\varepsilon}$ de classe $\cC^\infty$ sur $X\ssm\{p\}$), et que $$ \int_X\Theta_{\cF,h_\varepsilon}=\int_{V_\varepsilon} {i\over 2\pi}\partial\overline\partial \Big((1-\theta_\varepsilon(z))\log|z|^2\Big) =\int_{\partial V_\varepsilon}\! {1\over 2\pi i}\partial \Big((1-\theta_\varepsilon(z))\log|z|^2\Big) =\int_{\partial V_\varepsilon}\! {1\over 2\pi i}\partial\Big(\log|z|^2\Big)=1 $$ à l'aide de la formule de Stokes et de la formule de Cauchy (ou d'un calcul en coordonnées polaires). (d) Conclure pour $\cF\simeq\cO_X(D)$ quelconque. \end % Local Variables: % TeX-command-default: "UpTeX" % End: