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% Usual sets of numbers  
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\def\gS{{\goth S}}

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\def\Im{\mathop{\rm Im}}
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\def\card{\mathop{\rm card}}
\def\Aut{\mathop{\rm Aut}}
\def\Sk{\mathop{\rm Sk}}
\def\Langle{\langle\!\langle}
\def\Rangle{\rangle\!\rangle}
\def\ssm{\mathop{\hbox{\Bbb r}}}

\def\bu{$\scriptstyle\bullet$\ }

\line{\bf Magistère M1\hfil Université Grenoble Alpes\hfil année 2018-2019}
\vskip5mm
\centerline{\bf Surfaces de Riemann (Jean-Pierre Demailly),
feuille n${}^\circ$5, 21/02/2019}

\vskip3mm

{\bf 1.} {\it Faisceaux tangents et cotangents}\\
Soit $(X,\cO_X)$ une variété holomorphe de dimension complexe~$n$.
Rappelons qu'on appelle faisceau tangent $\cT_X$ le $\cO_X$-module des
$\bC$-dérivations de $\cO_X$, et faisceau cotangent
son dual $\cT^*_X=\Hom_{\cO_X}(\cT_X,\cO_X)$. Si $f\in\cO_X(U)$, on
appelle différentielle de $f$, notée~$df$, l'élément de $\cT^*_X(U)$ tel que
que $(df)_{|V}(\xi)=\xi\cdot f_{|V}$ pour tout champ de vecteurs
$\xi\in\cT_XV)$ avec $V\subset U$.

(a) Si $\tau:U\to\Omega\subset\bC^n$, $x\mapsto z=(z_1,\ldots,z_n)$ est
une carte holomorphe, on sait que la restriction
$\cT_{X|U}$ est un $\cO_X$-module libre de base
$({\partial\over\partial z_1},\ldots,{\partial\over\partial z_n})$.
Montrer que la base duale dans $\cT^*_{X|U}$ est précisément
$(dz_1,\ldots,dz_n)$.

(b) Soit $\tilde\tau:\widetilde U\to\widetilde \Omega$ une autre carte,
et
$$
h=\tilde\tau\circ\tau^{-1}:z=(z_1,\ldots,z_n)\mapsto w=(w_1,\ldots z_n)=
h(z_1,\ldots,z_n)
$$
l'application de changement de cartes, définie sur l'ouvert
$\tau(U\cap\widetilde U)\subset\Omega$, et dont les composantes seront
notées $h=(h_1,\ldots,h_n)$. Dans le cas $n=1$, expliciter
$dw$ en fonction de $h'(z)$ et $dz$, et ${d\over dw}$ en
fonction de ${d\over dz}$. Plus généralement, pour
$n$ quelconque, exprimer $dw_i$ en fonction des $dz_j$
(resp.\ ${\partial\over\partial z_j}$ en fonction des
${\partial\over\partial w_i}$) et des dérivées partielles de $h$.
\medskip

{\bf 2.} Soit $X=E_{a,b}=\bC/\bZ a+\bZ b$ une courbe elliptique.
Montrer que $\cT_X$ et $\cT^*_X$ sont globa\-lement libres, avec
${d\over dz}$ et $dz$ comme bases globales
sur le faisceau d'anneau~$\cO_X$.
En déduire que les espaces de sections globales
$V=\cT_X(X)$ et $W=\cT^*_X(X)$ sont des espaces vectoriels complexes
de dimension~$1$, duaux l'un de l'autre.
\medskip

{\bf 3.} Les espaces $\cT_X(X)$ et $\cT^*_X(X)$ décrits ci-dessus
étant des invariants fondamentaux d'une surface de Riemann, on
se pose ici le problème de calculer ces espaces lorsque
$X=\bC\cup\{\infty\}$ est la sphère de Riemann.

(a) Montrer qu'un champ de vecteurs $\xi(z)=f(z){d\over dz}$ sur $\bC$
se prolonge en un champ de vecteurs holomorphe à l'infini si et seulement
si ${f(z)\over z^2}$ est holomorphe à l'infini. En déduire que
$V=\cT_X(X)$ est un espace vectoriel de dimension complexe $3$ que
l'on précisera.

(b) Montrer qu'une forme différentielle $\alpha(z)=g(z)\,dz$ sur $\bC$
se prolonge en une forme difféentielle holomorphe à l'infini si et seulement
si $g(z) z^2$ est holomorphe à l'infini, ce qui implique en particulier
que $\lim_{z\to\infty}g(z)=0$. En déduire quel est l'espace
$W=\cT^*_X(X)$ (et observer que ce n'est pas le dual de $V$~!).
\medskip

{\bf 4.} {\it Théorème de finitude}\hfil\break
Soit $(X,\cO_X)$ une surface de Riemann {\it compacte} et $\cF$ un $\cO_X$-module
localement libre sur $X$. On choisit un recouvrement fini $(U_k)$ de $X$
par des ouverts tels que $\cF_{|U_k}\simeq \cO_{X|U_k}^{\oplus r}$ soit libre,
et pour $f\in \cF(V)$ avec $V\subset U_k$, on note
$f_k=(f_{k,i})_{1\leq i\leq r}\in \cO_X(V)^{\oplus r}$ le $r$-uplet qui
lui correspond dans l'isomorphisme précédent, considéré comme matrice colonne
à $r$ lignes de fonctions holomorphes.

(a) Montrer (c'est presque par définition...) qu'il existe une matrice
$a_{k\ell}$ inversible $r\times r$ de fonctions holomorphes sur $U_k\cap U_\ell$,
telle que $f_k=a_{k\ell}f_\ell$ pour tout $f\in\cF(X)$, et qu'on a la relation
$a_{km}=a_{k\ell}a_{\ell m}$ sur $U_k\cap U_\ell\cap U_m$ pour tous indices
$k,\ell,m$.

(b) On fixe des recouvrements ouverts finis
$U''_k\subset U'_k\subset U_k$ tels que $\overline U''_k\subset U'_k$ et
$\overline U'_k\subset U_k$ (on observera que
$\overline U'_k$ et $\overline U''_k$ sont des parties compactes de $X$).
Montrer que la norme
$$
\Vert f\Vert'=\max_k\max_{1\leq i\leq r}\sup_{z\in\overline U'_k}
|f_{k,i}(z)|
$$
munit $\cF(X)$ d'une structure d'espace de Banach complexe, et que si on définit
de même une norme $\Vert f\Vert''$ à partir des ouverts $U''_k$, on obtient une
norme équivalente.

(c) Montrer à l'aide du théorème de Montel que pour toute suite
$f_\nu\in\cF(X)$ dont les normes vérifient $\Vert f_\nu\Vert'\leq C={\rm Const}$, il existe une sous-suite qui converge pour la norme $\Vert~~\Vert''$. En
déduire que la boule unité fermée de $\cF(X)$ est compacte et que
$\cF(X)$ est un $\bC$-espace vectoriel de dimension finie.

\end

% Local Variables:
% TeX-command-default: "TeX"
% End: