\magnification 1095 \parindent 0cm \parskip 3pt plus 1pt minus 1pt \hsize 15.5cm \hoffset=-4mm \vsize 23cm \voffset-8mm \nopagenumbers \def\\{\hfil\break} \font\goth=eufm10 \font\tenCal=eusm10 \font\sevenCal=eusm7 \font\fiveCal=eusm5 \newfam\Calfam \textfont\Calfam=\tenCal \scriptfont\Calfam=\sevenCal \scriptscriptfont\Calfam=\fiveCal \def\Cal{\fam\Calfam\tenCal} \font\tenBbb=msbm10 \font\sevenBbb=msbm7 \font\fiveBbb=msbm5 \newfam\Bbbfam \textfont\Bbbfam=\tenBbb \scriptfont\Bbbfam=\sevenBbb \scriptscriptfont\Bbbfam=\fiveBbb \def\Bbb{\fam\Bbbfam\tenBbb} % Usual sets of numbers \def\bB{{\Bbb B}} \def\bC{{\Bbb C}} \def\bD{{\Bbb D}} \def\bH{{\Bbb H}} \def\bK{{\Bbb K}} \def\bN{{\Bbb N}} \def\bP{{\Bbb P}} \def\bQ{{\Bbb Q}} \def\bR{{\Bbb R}} \def\bT{{\Bbb T}} \def\bZ{{\Bbb Z}} \def\cB{{\Cal B}} \def\cC{{\Cal C}} \def\cF{{\Cal F}} \def\cG{{\Cal G}} \def\cL{{\Cal L}} \def\cM{{\Cal M}} \def\cO{{\Cal O}} \def\cT{{\Cal T}} \def\gS{{\goth S}} \def\SL{\mathop{\rm SL}\nolimits} \def\Id{\mathop{\rm Id}} \def\Re{\mathop{\rm Re}} \def\Im{\mathop{\rm Im}} \def\Ker{\mathop{\rm Ker}} \def\Hom{\mathop{\rm Hom}} \def\pr{\mathop{\rm pr}} \def\card{\mathop{\rm card}} \def\Aut{\mathop{\rm Aut}} \def\Sk{\mathop{\rm Sk}} \def\Langle{\langle\!\langle} \def\Rangle{\rangle\!\rangle} \def\ssm{\mathop{\hbox{\Bbb r}}} \def\sump{\mathop{\sum\nolimits'}} \def\bu{$\scriptstyle\bullet$\ } \line{\bf Magistère M1\hfil Université Grenoble Alpes\hfil année 2018-2019} \vskip5mm \centerline{\bf Surfaces de Riemann (Jean-Pierre Demailly), feuille n${}^\circ$10, 18/04/2019} \vskip5mm On s'appuiera sur les notions et résultats de la feuille d'exercices n${}^\circ$8.\\ Si $\varphi:X\to Y$, $x\mapsto y=\varphi(x)$, est une application de classe $C^k$, $k\geq 1$, entre variétés différentielles, et si $\alpha(y)=\sum_{|I|=p}\alpha_I(y)\,dy_I$ est une $p$-forme différentielle continue sur $Y$ (avec la notation multi-indice usuelle $dy_I=dy_{i_1}\wedge\ldots\wedge dy_{i_p}$), l'image réciproque $\varphi^*\alpha$ est par définition la $p$-forme différentielle sur~$X$ obtenue en effectuant la substitution $y=\varphi(x)$ dans $\alpha(y)$, c'est-à-dire $$ \varphi^*\alpha(x)=\sum_{|I|=p}\alpha_I(\varphi(x))\,d\varphi_I(x),\quad d\varphi_I(x)=d\varphi_{i_1}(x)\wedge\ldots\wedge d\varphi_{i_p}(x). $$ Si $\varphi$ est un difféomorphisme de variétés de dimension $n$ et si $\alpha$ est une $n$-forme intégrable (par exemple à support compact), on a $d\varphi_I(x)={\rm Jac}(\varphi)(x)\,dx_I$ pour $I=(1,2,\ldots,n)$, et la formule du jacobien équivaut à $\int_X\varphi^*\alpha=\pm\int_Y\alpha$, avec un signe $\pm$ qui est celui de ${\rm Jac}(\varphi)$ (donc $+$ si $\varphi$ préserve l'orientation).\medskip {\bf 1.} On revient ici à l'étude de la fonction $\wp$ de Weierstrass et au plongement des courbes elliptiques $\bC/\Lambda\hookrightarrow\bP^2_\bC$, où $\Lambda=\bZ a\oplus\bZ b$. Nous avons montré en cours que $\wp$ est une fonction méromorphe paire, périodique de groupe de périodes $\Lambda$, ayant des pôles doubles en chaque point $\lambda\in\Lambda$, avec $\wp(z)=(z-\lambda)^{-2}+O(1)$ au voisinage de $\lambda$, de sorte que $\wp$ (resp.\ $\wp'$) définit un morphisme $\wp:\bC/\Lambda\to\bP^1_\bC$ de degré $2$ (resp.\ $\wp':\bC/\Lambda\to\bP^1_\bC$ de degré~$3$). On a montré en outre que $\wp$ satisfait l'équation différentielle algébrique $$ (\wp')^2=4\wp^3+\alpha\wp+\beta,\quad\alpha=-60\sigma_2,~~\beta=-140\sigma_3 $$ où les $\sigma_k:=\sum_{\lambda\in\Lambda^*}\lambda^{-2k}$ sont les {\it séries d'Eisenstein}. (a) Montrer que $\wp'$ s'annule avec multiplicité $1$ aux points $a/2$, $b/2$ et $(a+b)/2$. (b) Déduire de (a) que l'équation $4X^3+\alpha X+\beta=0$ admet comme racines les nombres complexes $\wp(a/2)$, $\wp(b/2)$, $\wp((a+b)/2)$, et que ces 3 nombres sont 2 à 2 distincts. En conséquence, le discriminant $\Delta=\alpha3+27\beta^2$ est non nul.\\ {\it Indication.} De manière générale, tout point $w\in\bP^1_\bC$ admet deux préimages $\dot z$ et $-\dot z$, qui sont confondues si et seulement si $z\in{1\over 2}\Lambda$. Si on avait $w=\wp(a/2)=\wp(b/2)$, compter combien $w$ aurait de préimages (en tenant compte des multiplicités). (c) La courbe algébrique affine $y^2=4x^3+\alpha x+\beta$ admet un seul point à l'infini, et sa compactication $\Gamma\subset\bP^2_\bC$ est lisse. De plus $\bC\ssm\Lambda\ni z\mapsto (\wp(z),\wp'(z))\in\bC^2$ se prolonge en un biholomorphisme $\varphi:\bC/\Lambda\to\Gamma\subset\bP^2_\bC$.\\ {\it Indication.} Vérifier que $\varphi$ est de degré $1$ en considérant par exemple les préimages du point à l'infini. (d) la différentielle $dz$ peut-être vue comme une $1$-forme partout non nulle sur la courbe elliptique~$\bC/\Lambda$, trivialisant donc son faisceau cotangent, et le biholomorphisme $\varphi$ est tel que $\varphi^*(dx/y)=dz$. En conséquence, le réseau de périodes $\Lambda$ peut être obtenu comme l'ensemble des intégrales $\int_\gamma dx/y$ où $\gamma$ décrit l'ensemble des lacets de classe $C^1$ par morceaux tracés dans $\Gamma$ (mais on peut toujours se ramener au cas où $\gamma$ ne croise pas les 4 points de ramification où $y\in\{0,\infty\}$). (e) Réciproquement, si on considère $\alpha,\beta\in\bC$ tels que $\alpha^3+27\beta^2\neq 0$ et la courbe $\Gamma_{\alpha,\beta}$ définie comme la cubique affine $y^2=4x^3+\alpha x+\beta$ complétée par son point à l'infini, on obtient une surface de Riemann difféomorphe à n'importe quelle courbe elliptique $\bC/\Lambda_0$.\\ {\it Indication.} Il existe un difféomorphisme de $\bC$ qui envoie un triplet de points quelconques 2 à 2 distincts $(x_1^0,x_2^0,x_3^0)$ sur un autre triplet quelconque $(x_1,x_2,x_3)$ et qui est l'identité au voisinage de $\infty$. (f) Pour tout $u\in\bC^*$, les courbes $\Gamma_{\alpha,\beta}$ et $\Gamma_{u^2\alpha,u^3\beta}$ sont isomorphes. De plus, la courbe $\Gamma_{\alpha,\beta}$ est isomorphe à la courbe $\bC/\Lambda$ obtenue en prenant pour $\Lambda$ un certain réseau de $\bC$, égale à l'ensemble des ``périodes'' $\int_\gamma dx/y$ lorsque $\gamma$ décrit les lacets tracés dans $\Gamma_{\alpha,\beta}$. {\it Indication.} Si $X=\Gamma_{\alpha,\beta}$, le faisceau cotangent $\cT^*_X$ est un $\cO_X$-module engendré globalement par la forme $\omega=dx/y$, et il existe donc un champ de vecteur global $\xi$ sur $X$ tel que $\omega(\xi)=1$. On considère l'application $\psi:\bC\to X$, $z\mapsto p=\psi(z)$ solution du problème de Cauchy holomorphe ${dp\over dz}=\xi(p)$, i.e.\ $\psi'(z)=\xi(\psi(z))$, avec condition initiale $\psi(0)=p_0 \in \Gamma_{\alpha,\beta}={}$point à l'infini (disons). Alors $\psi$ définit un revêtement holomorphe de $X$, qui coïncide nécessairement avec le revêtement universel de~$X$, et les automorphismes du revêtement constituent nécessairement un réseau $\Lambda$ de translations de $\bC$ (les automorphismes holomorphes de $\bC$ sont affines, et les seuls n'ayant pas de points fixes sont les translations). Par suite $\psi$ coïncide avec la fonction $\wp$ associée au réseau $\Lambda$ et $\Gamma_{\alpha,\beta}\simeq\bC/\Lambda$. \medskip {\bf 2.} Soit $\varphi:X\to Y$ une application holomorphe de degré $d$ entre surfaces de Riemann compactes connexes. (a) Pour toute forme différentielle $\alpha$ de degré $2$ sur $Y$, montrer que $\int_X\varphi^*\alpha=d\times\int_Y\alpha$.\\ {\it Indication.} Si $C$ est l'ensemble des points critiques et si $V=\varphi(C)$ est l'ensemble des valeurs critiques, on peut se ramener à des intégrales sur $Y\ssm V$ et $X\ssm \varphi^{-1}(V)$ respectivement, là où $\varphi$ est un revêtement de degré $d$. On peut alors utiliser un recouvrement fini de $Y\ssm V$ formés par des ouverts au dessus desquels le revêtement est trivial. (b) Soit $\cF$ un $\cO_Y$-module inversible sur $Y$. Par définition tout point de $Y$ admet un voisinage $V$ sur lequel $\cF_{|V}$ est le $\cO_Y$-module de rang $1$ engendré par un certain générateur $g_V\in\cF(V)$. On définit le $\cO_X$-module inversible $\varphi^*\cF$ comme étant le $\cO_X$-module inversible engendré par $g_V\circ\varphi$ sur $\varphi^{-1}(V)$, de sorte que $(\varphi^*\cF)_{|\varphi^{-1}(V)}=\cO_{X|\varphi^{-1}(V)}\cdot (g_V\circ\varphi)$. Si $\cF=\cO_Y([p])$ pour un certain point $p\in Y$, décrire $\varphi^*\cO_Y([p])$ en termes de diviseurs, et calculer le degré de $\varphi^*\cO_Y([p])$. En général, si $\cF=\cO_Y(\Delta)$ pour un certain diviseur $\Delta$ sur $Y$, quelle est la relation entre $\deg\varphi^*\cF$ et $\deg\cF$~? (c) On redémontre ici (b) d'une autre manière. Soit $h$ est une métrique hermitienne de classe $C^\infty$ sur~$\cF$. Montrer que $\varphi^*h:=h\circ\varphi$ définit une métrique hermitienne sur $\varphi^*\cF$ et que sa courbure est telle que $\Theta_{\varphi^*\cF, \varphi^*h}=\varphi^*\Theta_{\cF,h}$ (voir la feuille 8 pour la définition de la courbure). En déduire la relation attendue entre $\deg\varphi^*\cF$ et $\deg\cF$. \medskip {\bf 3.} Soient $X,Y,\varphi$ comme dans l'exercice {\bf 1}. On désigne par $c_j$ les points critiques de $\varphi$ et par $r_j$ les indices de ramification associés (de sorte que $r_j-1$ est l'ordre d'annulation de $\varphi'$ au point ~$c_j$). (a) Montrer qu'il existe un morphisme injectif de faisceaux inversibles $$ \cT_X\to \varphi^*\cT_Y,\quad\xi\mapsto d\varphi(\xi). $$ (b) Ce morphisme n'est pas surjectif au voisinage des points critiques, et son image coïncide avec $\cO_X(-\sum(r_j-1)[c_j])\otimes_{\cO_X}\varphi^*\cT_Y \subset \varphi^*\cT_Y$. (d) Déduire de ce qui précède la formule générale de Riemann-Hurwitz $$ \deg\cT_X = d\deg\cT_Y-\sum_j(r_j-1), $$ et la relation qui existe entre le genre $g_X$ et le genre $g_Y$ (on admettra que l'on a $\deg\cT_X=2-2g$, ce qui est une propriété de topologie différentielle des surfaces, impliquée par la formule de Gauss-Bonnet). \medskip {\bf 4.} On considère la courbe de Fermat projective $\Gamma:x^d+y^d-z^d=0$, dont la partie affine est $\Gamma^\circ:x^d+y^d-1=0$. Montrer que la projection $\varphi:\Gamma\to\bP^1_\bC$, $[x:y:z]\to[x:z]$ (soit $(x,y)\mapsto x$ dans la version affine), est un revêtement ramifié de degré $d$ dont les points de ramification $c_j$ sont au nombre de $d$ et d'indice de ramification égaux à $d$. En déduire que le genre de $\Gamma$ est $g={(d-1)(d-2)\over 2}$. \medskip {\bf 5.} ({\it Points d'inflexion des courbes projectives planes}) On considère dans le plan projectif $\bP^2_\bC$ une courbe $X$ définie en coordonnées homogènes $z=(z_0,z_1,z_2)$ par $P(z_0,z_1,z_2)=0$ où $P$ est un polynôme homogène de degré $d$. (a) On se place au voisinage d'un point lisse $[m]\in X$ tel que $P(m)=0$ et $dP(m)\neq 0$. Montrer, quitte à permuter les coordonnées, que $X$ admet une paramétrisation holomorphe locale $z=f(t)$, $t\in D(0,r)$, avec $[f(0)]=[m]$ et, disons, $f_0(t)\equiv 1$, $(f'_1(0),f_2'(0))\neq(0,0)$ [supposer $m_0\neq 0$ et appliquer le théorème des fonctions implicites avec par exemple $t=z_1/z_0$.] (b) Montrer, avec les notations de (a), que les autres paramétrisations holomorphes locales $\tau\mapsto g(\tau)$ de $P(g(\tau))=0$ avec $[g(0)]=[m]$ et $g'(0)\neq 0$ sont données par $g(\tau)=g_0(\tau)f(\varphi(\tau))$, où $g_0$ est holomorphe non nulle et $\varphi$ est un biholomorphisme d'un voisinage de $0$ sur un voisinage de $0$ dans~$\bC$. Montrer que la condition $f''(0)=0$ équivaut à ce que $g''(0)$ soit colinéaire à $g'(0)$. On dit alors que $[m]\in X$ est un point d'inflexion de~$X$. [Le cas modèle est celui de la courbe $y=x^3$ à l'origine, mais pour $y=x^d$, $d\geq 4$, on a un point osculateur d'ordre plus élevé qui n'est pas toujours un point d'inflexion au sens strict.] (c) On note $H(P)(z)$ la forme quadratique hessienne sur $\bC^3$ définie par la matrice des dérivées secondes $(\partial^2P/\partial z_j\partial z_k)$, de sorte que $$H(P)(z)(v)=\sum_{j,k}{\partial^2P\over\partial z_j\partial z_k}(z)\,v_jv_k.$$ On suppose que $[m]$ est un point d'inflexion. En prenant les 4 dérivées partielles secondes (holomorphes) de la relation $P(uf(t))=0$ par rapport aux variables $u,t$, en $(u,t)=(1,0)$, montrer $H(P)(m)$ est identiquement nulle sur le plan vectoriel de $\bC^3$ engendré par $f(0)$ et $f'(0)$. En déduire que l'on a $\det(H(P))(m)=0$, où $Q=\det(H(P))= \det(\partial^2P/\partial z_j\partial z_k)$ est un polynôme de degré $3(d-2)$. (d) Réciproquement, on suppose que l'on a un point $m\in\bC^3\ssm\{0\}$ tel que $P(m)=0$, $\det(H(P))(m)=0$ et $dP(m)\neq 0$. Il existe alors un vecteur $v\in\bC^3\ssm\{0\}$ tel que $v\in\Ker(H(P))$ [on entend par là le noyau de la matrice $H(P)$]. Montrer en utilisant la relation d'Euler pour les dérivées de $P$ que $m\notin\Ker(H(P))$, de sorte que $v$ et $m$ sont indépendants, et enfin que $v\in\Ker(dP(m))$. Conclure de là que $[m]$ est un point d'inflexion de $X$. (e) On admet ici le théorème classique de Bézout qui affirme que l'intersection de deux courbes algébriques projectives planes $Q(z)=0$, $R(z)=0$ de degrés respectifs $d_1$, $d_2$ admet $d_1d_2$ points d'intersection comptés avec multiplicités, sauf si $Q$ et $R$ admettent un facteur commun $F$ de degré${}>0$, auquel cas il y a une infinité de points d'intersection. Déduire du théorème de Bézout que si $d\geq 3$, l'ensemble algébrique $\{[m]\in\bP^2_\bC\,;\; P(m)=\det(H(P))(m)=0\}$ est non vide, et que toute courbe algébrique lisse de degré $d\geq 3$ admet au moins un point d'inflexion, et en fait $3d(d-2)$ tels points si on les compte avec multiplicités. \medskip {\bf 6.} On appelle cubique du plan projectif $\bP^2_\bC$ l'ensemble $X$ des points $[x:y:z]\in\bP^2_\bC$ tels que $P(x,y,z)=0$ où $P\in\bC[x,y,z]$ est un polynôme homogène de degré~$3$, non nul. L'objet de cette question est de montrer qu'une cubique lisse quelconque $X=\{P(x,y,z)=0\}$ peut se ramener à la forme dite ``de Weierstrass'' $y^{\prime 2}z'=x^{\prime3}+ax'z^{\prime2}+bz^{\prime3}$ par un changement linéaire de variable $(x,y,z)\mapsto(x',y',z')$ de ${\rm PGL}_3(\bC)$. On choisit $m,v\in\bC^3$ comme dans la question 5~(d) [en s'appuyant sur le résultat de 5~(e)], et on change les coordonnées en sorte que $v=(1,0,0)$ et $m=(0,1,0)$, où $t\mapsto m+tv$ est la tangente d'inflexion. (a) Vérifier qu'il existe $\alpha\in\bC$ tel que $P(m+tv)=P(t,1,0)=\alpha t^3$, si bien que $P$ est de la forme $$ P(x,y,z)=\alpha x^3+zQ(x,y,z) $$ où $Q$ est un polynôme homogène de degré $2$, c'est-à-dire une forme quadratique. (b) On a nécessairement $\alpha\neq 0$, sinon les points d'intersection de $z=0$ et $Q(x,y,z)=0$ seraient des points singuliers. (c) Quitte à diagonaliser $Q(0,y,z)$ et à changer de nouveau les coordonnées dans le plan $0yz$ (sans toucher à $x$~!), on peut supposer $Q(0,y,z)=\beta y^2+\gamma z^2$, de sorte que $Q(x,y,z)=\beta y^2+\gamma z^2+\delta x^2+\varepsilon xy+\theta xz$. (d) On a $\beta\neq 0$, sinon le point $[0:1:0]$ ne serait pas lisse, et un changement $\tilde y= y+(\varepsilon/2\beta)x$ permet de supprimer le terme $\varepsilon xy$ dans $Q$. (e) Un changement $x'=\alpha^{1/3}x+\lambda z$, $y'=\beta^{1/2}y$ permet de se ramener à la forme de Weierstrass. \end % Local Variables: % TeX-command-default: "UpTeX" % End: