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\def\Cal{\fam\Calfam\tenCal}

\def\hexnumber#1{\ifnum#1<10 \number#1\else
 \ifnum#1=10 A\else\ifnum#1=11 B\else\ifnum#1=12 C\else
 \ifnum#1=13 D\else\ifnum#1=14 E\else\ifnum#1=15 F\fi\fi\fi\fi\fi\fi\fi}

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\def\msbtype{\hexnumber\msbfam}

% Usual sets of numbers  
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\def\bP{{\Bbb P}}
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\def\bZ{{\Bbb Z}}

\def\cC{{\Cal C}}
\def\cL{{\Cal L}}
\def\cM{{\Cal M}}
\def\cO{{\Cal O}}

\def\gS{{\goth S}}

\def\Id{\mathop{\rm Id}}
\def\Sk{\mathop{\rm Sk}}
\def\Langle{\langle\!\langle}
\def\Rangle{\rangle\!\rangle}

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\line{\bf Magistère M1\hfil Université Grenoble Alpes\hfil année 2018-2019}
\vskip3mm
\centerline{\bf Surfaces de Riemann (Jean-Pierre Demailly),
feuille n${}^\circ$1, 17/01/2019}
\vskip6pt

On désignera ici par $\cO$ désigne le faisceau des fonctions holomorphes, et
par $\cM$ celui des fonctions méromorphes sur $\bC$.\smallskip

{\bf 1.} {\it Le but de cet exercice est de $($re$)$démontrer le
théorème de factorisation de Weierstrass}~: {\it si
$(a_j)_{j\in I}$ est une famille de points distincts localement finie dans
l'ouvert~$\Omega$, et si les $p_j\in\bN^*$ sont des entiers donnés,
il existe une fonction $v\in\cO(\Omega)$ telle que les zéros de $v$ soient
exactement les points $a_j$ avec les multiplicités~$p_j$.} 

(a) Démontrer le théorème de Weierstrass lorsque la famille $(a_j)$ est finie.

{\it On supposera donc désormais que la famille $(a_j)$ est infinie. On se
ramènera également au cas où les $a_j$ sont non nuls $($en montrant comment
on peut aisément ajouter un point $a_0=0$ si besoin$)$.}

(b) Montrer que $K_p=\{z\in\Omega\,;\;|z|\leq 2^p$ et
$d(z,\complement\Omega)\geq 2^{-p}\}$ est une suite croissante de
compacts de $\Omega$ telle que $\Omega=\bigcup K_p$, et en déduire
que $(a_j)$ est une suite infinie dénombrable et que l'on a
que $\max(|a_j|,1/d(a_j,\complement\Omega))\to+\infty$ quand $j\to+\infty$
(on convient que
$d({\scriptscriptstyle\bullet},\complement\Omega)=+\infty$ si $\Omega=\bC$).

{\it On décompose alors la suite $a_j$ en deux sous-suites disjointes suivant que
$|a_j|\geq 1/d(a_j,\complement\Omega)$ ou $|a_j|<1/d(a_j,\complement\Omega)$,
et on réindexe ces suites sous la forme $(b_k)$ et $(c_k)$ respectivement,
de sorte que $|b_k|\to+\infty$ et $d(c_k,\complement\Omega)\to 0$ $($seule
la suite $(b_k)$ existe si $\Omega=\bC)$. Pour $a\neq 0$ et $s\in\bN$, on
introduit les ``facteurs élémentaires de Weierstrass''
$$
E_{a,s}(z)=\Big(1-{z\over a}\Big)\exp\bigg(\sum_{j=1}^s{1\over j}
\Big({z\over a}\Big)^j\bigg).
$$
On choisit enfin des points $\gamma_k\in\partial\Omega$ $($bord de $\Omega)$,
tels que $|c_k-\gamma_k|=d(c_k,\gamma_k)=d(c_k,\complement\Omega)>0$, de sorte que
$|c_k-\gamma_k|\to 0$ quand $k\to+\infty$.}

(c) Si $p_k$ et $q_k$ sont les multiplicités prescrites aux points $b_k$ et $c_k$, montrer qu'il existe un choix d'entiers $s_k$ tels que le produit infini
$$
v(z)=\prod_k\big(E_{b_k,s_k}(z)\big)^{p_k}\prod_k\Big(E_{{1\over c_k-\gamma_k},s_k}
\Big({1\over z-\gamma_k}\Big)\Big)^{q_k}
$$
soit convergent sur tout compact de $\Omega$, et en déduire le théorème de factorisation de Weierstrass en toute généralité.\\
{\it Indication}. On peut s'arranger pour que
$\big|\big(E_{b_k,s_k}(z)\big)^{p_k}-1\big|\leq 2^{-k}$ sur
le ``grand'' disque $|z|\leq {1\over 2}|b_k|$, et
$\big|(E_{{1\over c_k-\gamma_k},s_k}
\big({1\over z-\gamma_k}\big)\big)^{q_k}-1\big|\leq 2^{-k}$ dans le
complémentaire du ``petit'' disque $|z-\gamma_k|\leq 2|c_k-\gamma_k|$.
\medskip

{\bf 2.} {\it Extraction de racines $m$-ièmes holomorphes ou méromorphes}

(a) Soit $\Omega\subset\bC$ un ouvert simplement connexe et $g\in\cO(\Omega)$.
Si $g$ ne s'annule pas dans~$\Omega$, montrer qu'il existe une fonction
$h\in \cO(\Omega)$
telle que
$e^h=g$.\\
{\it Indication}\/: on pourra par exemple considérer l'intégrale curviligne
$I(z)=\int_{z_0}^z{dg\over g}=\int_{z_0}^z{g'(\zeta)\over
g(\zeta)}\,d\zeta$
où l'intégrale est prise le long d'un chemin de classe $C^1$ par morceaux
reliant un point $z_0\in \Omega$ à un point quelconque $z\in\Omega$ -- et on
rappelle que la simple connexité de $\Omega$ montre que cette intégrale
ne dépend pas du chemin choisi.

(b) Sous la même hypothèse que $g\in\cO(\Omega)$ ne s'annule pas, montrer
que pour tout $m\in\bN^*$, il~existe $u\in\cO(\Omega)$ telle que
$u^m=g$.

(c) Lorsque $\Omega=\bC^*$, a-t-on existence de la fonction $u$ dans la
question (b), lorsque $g(z)=z$~?

(d) Soit $f\in\cM(\Omega)$ une fonction méromorphe non identiquement
nulle. \`A quelle condition nécessaire portant sur les multiplicités
des zéros et des pôles de $f$ peut-il exister une fonction $u\in\cM(\Omega)$
telle que $u^m=f$~?

(e) Si $f\in\cM(\Omega)$ est une fonction méromorphe (resp.\ holomorphe) dont
les multiplicités
des zéros et des pôles sont multiples de~$m$, montrer qu'il existe
$v_1,v_2\in\cO(\Omega)$ telles que $g=f({v_1\over v_2})^m$ soit holomorphe
sans zéros ni pôles. En déduire, lorsque $\Omega$ est simplement
connexe, que $f$ possède une racine $m$-ième méromorphe (resp.\ holomorphe).
\medskip


\end

% Local Variables:
% TeX-command-default: "TeX"
% End: