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\hsize 13.2cm \hoffset0mm \vsize 20cm \voffset-4mm 
\def\\{\hfil\break}

\font\goth=eufm10

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  \textfont\Calfam=\tenCal
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\def\Cal{\fam\Calfam\tenCal}

\font\tenBbb=msbm10
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\newfam\Bbbfam
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\def\Bbb{\fam\Bbbfam\tenBbb}

% Usual sets of numbers  
\def\bB{{\Bbb B}}
\def\bC{{\Bbb C}}
\def\bD{{\Bbb D}}
\def\bH{{\Bbb H}}
\def\bK{{\Bbb K}}
\def\bN{{\Bbb N}}
\def\bP{{\Bbb P}}
\def\bQ{{\Bbb Q}}
\def\bR{{\Bbb R}}
\def\bT{{\Bbb T}}
\def\bZ{{\Bbb Z}}

\def\cC{{\Cal C}}
\def\cL{{\Cal L}}
\def\cM{{\Cal M}}
\def\cO{{\Cal O}}

\def\gS{{\goth S}}

\def\Id{\mathop{\rm Id}}
\def\Im{\mathop{\rm Im}}
\def\pr{\mathop{\rm pr}}
\def\card{\mathop{\rm card}}
\def\Aut{\mathop{\rm Aut}}
\def\Sk{\mathop{\rm Sk}}
\def\Langle{\langle\!\langle}
\def\Rangle{\rangle\!\rangle}
\def\ssm{\mathop{\hbox{\Bbb r}}}

\def\bu{$\scriptstyle\bullet$\ }

\line{\bf Magistère M1\hfil Université Grenoble Alpes\hfil année 2018-2019}
\vskip5mm
\centerline{\bf Surfaces de Riemann (Jean-Pierre Demailly),
feuille n${}^\circ$4, 14/02/2019}

\vskip5mm

{\bf 1.} {\it Propriétés universelles du produit tensoriel}\\
Soit $A$ un anneau commutatif et $M,N$ des $A$-modules. On considère
les applications $A$-bilinéaires $\varphi:M\times N\to E$ dans un
$A$-module~$E$. On dit qu'une telle application $A$-bilinéaire
$\varphi_U:M\times N\to U$ est universelle si pour tout
$\varphi:M\times N\to E$ il existe un unique morphisme $A$-linéaire
$\psi:U\to E$ tel que $\psi\circ\varphi_U=\varphi$.

(a) Montrer qu'un tel $A$-module universel $U$ est unique à
isomorphisme près.

(b) Montrer que l'application $M\times N\to M\otimes_A N$ est universelle
et en déduire l'existence et l'unicité du $A$-module universel.

(c) Si $f:M\to M'$ et $g:N\to N'$ sont $A$-linéaires, montrer à l'aide
de ce qui précède qu'on peut construire un morphisme naturel
$A$-linéaire, noté $f\otimes_A g$, de $M\otimes_A N$
dans~$M'\otimes_A N'$.
\medskip

{\bf 2.} {\it Complexifié d'un espace vectoriel réel}\\
Si $E$ est un espace vectoriel réel, on pose
$E^\bC:=\bC\otimes_\bR E$.

(a) Montrer que $E^\bC$ possède une structure naturelle
d'espace vectoriel complexe obtenue en posant
$\lambda\cdot (\alpha\otimes_\bR v)=(\lambda\alpha)\otimes_\bR v$
pour tous $\lambda,\alpha\in\bC$ et $v\in E$, puis que $1\otimes_\bR E$ et
$i\otimes_\bR E$ sont des sous-espaces vectoriels réels de $E^\bC$
isomorphes à $E$, et enfin que $E^\bC=(1\otimes_\bR E)\oplus (i\otimes_\bR E)$.
Quelle est la dimension réelle de $E^\bC$~?

(b) Plus généralement si $L\supset K$ est une extension d'un corps
$K$, montrer que tout $K$-espace vectoriel $E$ s'étend de manière
naturelle en un $L$-espace vectoriel $E^L=L\otimes_K E$, que
$\dim_L E^L=\dim_K E$ et $\dim_K E^L=[L:K]\times\dim_KE$.
\medskip

{\bf 3.} Montrer que dans l'anneau $A=\cC^\infty_{\bR^n}(U)$ (resp.\
$A=\cO_{\bC^n}(U))$ les dérivations $\bR$-linéaires (resp.\
$\bC$-linéaires) commutant aux restrictions d'ouverts sont celles
que l'on attend [et que l'on n'a donc pas besoin de l'hypothèse
de continuité].

\end

% Local Variables:
% TeX-command-default: "TeX"
% End: