\magnification 1095 \parindent 0cm \parskip 4pt plus 1pt minus 1pt
\hsize 15.5cm \hoffset=-4mm \vsize 23cm \voffset-6mm 
\def\\{\hfil\break}

\font\goth=eufm10

\font\tenCal=eusm10
\font\sevenCal=eusm7
\font\fiveCal=eusm5
\newfam\Calfam
  \textfont\Calfam=\tenCal
  \scriptfont\Calfam=\sevenCal
  \scriptscriptfont\Calfam=\fiveCal
\def\Cal{\fam\Calfam\tenCal}

\font\tenBbb=msbm10
\font\sevenBbb=msbm7
\font\fiveBbb=msbm5
\newfam\Bbbfam
  \textfont\Bbbfam=\tenBbb
  \scriptfont\Bbbfam=\sevenBbb
  \scriptscriptfont\Bbbfam=\fiveBbb
\def\Bbb{\fam\Bbbfam\tenBbb}

% Usual sets of numbers  
\def\bB{{\Bbb B}}
\def\bC{{\Bbb C}}
\def\bD{{\Bbb D}}
\def\bH{{\Bbb H}}
\def\bK{{\Bbb K}}
\def\bN{{\Bbb N}}
\def\bP{{\Bbb P}}
\def\bQ{{\Bbb Q}}
\def\bR{{\Bbb R}}
\def\bT{{\Bbb T}}
\def\bZ{{\Bbb Z}}

\def\cB{{\Cal B}}
\def\cC{{\Cal C}}
\def\cF{{\Cal F}}
\def\cG{{\Cal G}}
\def\cL{{\Cal L}}
\def\cM{{\Cal M}}
\def\cO{{\Cal O}}
\def\cT{{\Cal T}}
\def\cV{{\Cal V}}

\def\gS{{\goth S}}

\def\SL{\mathop{\rm SL}\nolimits}
\def\Id{\mathop{\rm Id}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}}
\def\Im{\mathop{\rm Im}}
\def\Ker{\mathop{\rm Ker}}
\def\Hom{\mathop{\rm Hom}}
\def\pr{\mathop{\rm pr}}
\def\card{\mathop{\rm card}}
\def\Aut{\mathop{\rm Aut}}
\def\Sk{\mathop{\rm Sk}}
\def\Langle{\langle\!\langle}
\def\Rangle{\rangle\!\rangle}
\def\ssm{\mathop{\hbox{\Bbb r}}}
\def\sump{\mathop{\sum\nolimits'}}

\def\bu{$\scriptstyle\bullet$\ }

\line{\bf Magistère M1\hfil Université Grenoble Alpes\hfil année 2018-2019}
\vskip6mm
\centerline{\bf Surfaces de Riemann (Jean-Pierre Demailly),
feuille n${}^\circ$9, 11/04/2019}

\vskip5mm
Soit $V$ un espace vectoriel sur un corps $\bK$ (commutatif).
On rappelle qu'un espace affine $\cV$ de direction $V$ est un ensemble
tel qu'on ait une opération du groupe additif $(V,+)$ sur $\cV$,
fidèle et transitive, $V\times\cV\to\cV$, $(\overrightarrow{u},p)\mapsto
p'=\overrightarrow{u}+p$ (dans ce cas on note aussi
$\smash{\overrightarrow{pp'}}=\overrightarrow{u}$, et on omettra parfois
les flèches sur les vecteurs). On rappelle également qu'étant donné un
ensemble~$A$, l'ensemble $\bK^{(A)}$ des familles presque nulles
$(x_p)_{p\in A}$ est un $\bK$-espace vectoriel ayant pour base
``canonique'' $(\langle p\rangle)_{p\in A}$ où $\langle p\rangle$
est le vecteur ayant les composantes $x_p=1$ et
$x_q=0$ pour $q\in A\ssm\{p\}$. Le but des deux premiers exercices
est de construire {\it l'espace vectoriel universel} $\smash{\widehat\cV}$ qui
contient $V$ comme sous-espace vectoriel de codimension~$1$, et
$\cV$ comme sous-espace affine de direction~$V$.
\medskip
{\bf 1.} {\it Première construction de l'espace vectoriel universel}
(on suppose ici $V\neq\{0\}$)\\
On désigne par $\widehat{\cV}$ l'ensemble des applications $f:\cV\to V$
ayant la propriété suivante~: pour tous $m,m'\in\cV$, on a
$f(m)-f(m')=\alpha\overrightarrow{mm'}$ pour un certain scalaire unique
$\alpha\in\bK$, qu'on appelle le ``poids'' de~$f$, noté $\alpha=\varphi(f)$.

(a) Montrer que $\widehat{\cV}$ est un $\bK$-espace vectoriel et que
$\varphi:\widehat{\cV}\to\bK$ est une forme linéaire.

(b) Montrer que si $(p_i,\alpha_i)$ est un système de points pondérés,
l'application $f(m)=\sum \alpha_i\overrightarrow{mp_i}$ définit
un élément $f\in\widehat{\cV}$ de poids $\varphi(f)=\sum\alpha_i$
(c'est ce qu'on appelle la fonction vectorielle de Leibniz associée
au système de points pondérés).

(c) Si $f\in\widehat{\cV}$ et $\alpha=\varphi(f)\neq 0$, il existe un
unique point $g\in \cV$, appelé
barycentre de $f$, tel que $f(g)=0$, et on a alors
$f(m)=\alpha \overrightarrow{mg}$.

(d) On a une injection canonique $V\hookrightarrow\widehat{\cV}$,
qui à un vecteur $u\in V$ associe la fonction constante $f_u(m)=u$,
et $\Ker(\varphi)$ est l'ensemble de ces fonctions constantes $f_u$.

(e) On a une injection canonique $\cV\hookrightarrow\widehat{\cV}$ qui
à un point $p\in\cV$ associe la fonction $f_p:m\mapsto\overrightarrow{mp}$,
vérifiant $\varphi(f_p)=1$.

(f) Si $a\in\cV$ est une origine fixée, $\widehat{\cV}$ est l'ensemble
des fonctions de la forme $f=\alpha f_a+u$, $u\in V$, cette écriture
étant unique, de sorte que $\widehat{\cV}=\bK f_a\oplus V$ et
$\dim \widehat{\cV}=\dim V+1$.

(g) En identifiant $\cV$ à un sous-espace affine de $\widehat{\cV}$, on
a la formule $\sum \alpha_i p_i=(\sum\alpha_i)g$ pour tout système
de points pondérés $(p_i,\alpha_i)$ de masse $\sum\alpha_i\neq 0$
et de barycentre $g$, tandis que
\hbox{$\sum \alpha_i p_i\in \Ker(\varphi)=V$} si
$\sum\alpha_i=0$.

\medskip
{\bf 2.} {\it Deuxième construction $($équivalente$)$
de l'espace vectoriel universel}\\
Avec les notations du préambule, les éléments de $\bK^{(\cV)}$ sont en
bijection avec les sommes formelles finies $\sum\alpha_i\langle p_i\rangle$,
$\alpha_i\in\bK$, $p_i\in\cV$, qu'on peut voir aussi comme des systèmes de
points pondérés. On introduit la forme linéaire ``poids''
$$
\psi:\bK^{(\cV)}\to\bK,\qquad \sum \alpha_i\langle p_i\rangle\mapsto
\sum \alpha_i.
$$
On considère le sous-espace vectoriel $S$ de $\bK^{(\cV)}$
engendré par les éléments de $\bK^{(\cV)}$ de la forme\break
$\langle \lambda u+p\rangle -\langle p\rangle-
\lambda\langle u+q\rangle +\lambda\langle q\rangle$,
pour tous $\lambda\in\bK$, $u\in V$ et $p,q\in\cV$, et on pose
$\widehat{\cV}=\bK^{(\cV)}/S$.

(a) Soit $p\in\cV$ un point fixé. Montrer que l'application
$j_V:V\to\bK^{(\cV)}/S$, $u\mapsto \langle u+p\rangle -\langle p\rangle$
mod~$S$ ne~dépend pas du choix du point $p$ et que $j_V$ est linéaire.
Vérifier que $\widehat{\cV}=\Im(j_V)+\bK\langle p\rangle$ pour tout $p\in\cV$
(en notant encore par abus $\langle p\rangle$ l'image de cet élément
de $\bK^{(\cV)}$ dans $\widehat{\cV}$), de sorte que $\dim\widehat\cV\leq \dim V+1$.

(b) Montrer que $S\subset}\Ker(\psi)$ et en déduire par passage au quotient
une forme linéaire poids $\varphi:\widehat{\cV}\to\bK$. Vérifier aussi
que $\Im(j_V)\subset\Ker(\varphi)$ et en déduire que l'on a en fait
$\widehat{\cV}=\Im(j_V)\oplus\bK\langle p\rangle$ pour tout $p\in\cV$.

(c) Pour $m\in\cV$ fixé, on considère l'application linéaire
$\ell_m:\bK^{(\cV)}\to V$,~
$\sum\alpha_i\langle p_i\rangle\mapsto \sum\alpha_i
\overrightarrow{mp_i}$. Montrer que $S\subset\Ker(\ell_m)$ et que l'on
a donc une application linéaire induite $\widehat \ell_m:\widehat{\cV}\to V$ qui
vérifie $\widehat \ell_m\circ j=\Id_V$.
En déduire que $j_V$ est injective et que l'on a
$\dim\widehat\cV=\dim V+1$ (on utilisera cette injection $j_V$
pour identifier $V$ à un hyperplan vectoriel de $\widehat{\cV}$).
Quel est le noyau de $\ell_m$~?

(d) Montrer que l'application $\cV\to \widehat{\cV}$,
$p\mapsto\langle p\rangle$, induit un isomorphisme
de l'espace affine $\cV$ sur l'hyperplan affine $\{\varphi=1\}$ de
$\widehat{\cV}$, dont la direction vectorielle est l'hyperplan
$\Ker(\varphi)=j_V(V)\simeq V$.

(e) Montrer que l'application
$$
L:\bK^{(\cV)}\to {\rm Appl}(\cV,V),\quad
\sum \alpha_i\langle p_i\rangle
\mapsto f,\quad f(m)=\sum\alpha_i\overrightarrow{mp_i}
$$
induit un isomorphisme $\widehat L:\bK^{(\cV)}/S\to
\widehat{\cV}\subset{\rm Appl}(\cV,V)$ de
la deuxième construction sur la première cons\-truction.
\medskip

{\bf 3.} On considère dans $\bC^2$ la courbe affine $\Gamma:y^m=P(x)$
où $m\in\bN$, $m\geq 2$, et où $P(x)=\sum_ {j=0}^da_jx^j$ est
un polynôme de degré $d>m$ à coefficients dans $\bC$, $a_d\neq 0$.

(a) Montrer que $\Gamma$ est lisse dans $\bC^2$ dès que $P$ a toutes
ses racines simples.

(b) On désigne par $\widetilde P(x,t)=t^d P(x/t)$ l'homogénéïsé de $P$.
Déterminer l'équation de la courbe projective $\widetilde\Gamma\subset
\bP^2_\bC$ associée à $\Gamma$, et montrer que $\widetilde\Gamma$
admet un seul ``point à l'infini'' que l'on déterminera.

(c) Montrer que ce point à l'infini est lisse si (et seulement si) $d=m+1$.

(d) On considère l'application $\rho:\widetilde\Gamma\to \bP^1_\bC=\bC\cup\{\infty\}$ qui envoie le point à l'infini de $\widetilde\Gamma$ sur $\infty$, et
$(x,y)\in\Gamma$ sur $x\in\bC$ (ou, si on veut $[x:y:1]$ sur $[x:1]$).
Montrer, si $\widetilde\Gamma$ est lisse (i.e.\ si $P$ est à racines simples et
$d=m+1$), qu'il s'agit d'une application holomorphe entre surfaces de
Riemann, et que cette application est un revêtement de degré $m$,
ramifié au dessus des zéros de $P$ et du point  $\infty\in\bP^1_\bC$.

(e) Le revêtement $\rho$ est ``galoisien de groupe $\bZ/m\bZ$'', c'est-à-dire
qu'on a un groupe d'automorphismes holomorphes $\varphi_\zeta:(x,y)\mapsto
(x,\zeta y)$ associés aux racines $m$-ièmes de l'unité, tels que
$\rho\circ f_\zeta=\rho$.
\end

% Local Variables:
% TeX-command-default: "UpTeX"
% End: