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\def\\{\hfil\break}

\font\goth=eufm10

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\def\Bbb{\fam\Bbbfam\tenBbb}

% Usual sets of numbers  
\def\bB{{\Bbb B}}
\def\bC{{\Bbb C}}
\def\bD{{\Bbb D}}
\def\bH{{\Bbb H}}
\def\bK{{\Bbb K}}
\def\bN{{\Bbb N}}
\def\bP{{\Bbb P}}
\def\bQ{{\Bbb Q}}
\def\bR{{\Bbb R}}
\def\bT{{\Bbb T}}
\def\bZ{{\Bbb Z}}

\def\cB{{\Cal B}}
\def\cC{{\Cal C}}
\def\cF{{\Cal F}}
\def\cL{{\Cal L}}
\def\cM{{\Cal M}}
\def\cO{{\Cal O}}
\def\cT{{\Cal T}}

\def\gS{{\goth S}}

\def\SL{\mathop{\rm SL}\nolimits}
\def\Id{\mathop{\rm Id}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}}
\def\Im{\mathop{\rm Im}}
\def\Hom{\mathop{\rm Hom}}
\def\pr{\mathop{\rm pr}}
\def\card{\mathop{\rm card}}
\def\Aut{\mathop{\rm Aut}}
\def\Sk{\mathop{\rm Sk}}
\def\Langle{\langle\!\langle}
\def\Rangle{\rangle\!\rangle}
\def\ssm{\mathop{\hbox{\Bbb r}}}
\def\sump{\mathop{\sum\nolimits'}}

\def\bu{$\scriptstyle\bullet$\ }

\line{\bf Magistère M1\hfil Université Grenoble Alpes\hfil année 2018-2019}
\vskip5mm
\centerline{\bf Surfaces de Riemann (Jean-Pierre Demailly),
feuille n${}^\circ$6, 07/03/2019}

\vskip5mm

{\it Rappels (?) d'algèbre linéaire et de calcul différentiel 
extérieur}. Le produit extérieur
$\alpha_1\wedge\ldots\wedge\alpha_p$ de formes linéaires $\alpha_i\in V^*$ sur
un espace vectoriel $V$ est par définition la $p$-forme multilinéaire
alternée sur $V$ telle que
$$
\alpha_1\wedge\ldots\wedge\alpha_p(u_1,\ldots,u_p)=\det(\alpha_i(u_j)).
$$
Ainsi, si $\cB=(e_1,\ldots,e_n)$ est une base de $V$ 
et $\cB^*=(e^*_1,\ldots,e^*_n)$ la base duale dans $V^*$, alors
$$
e^*_1\wedge\ldots\wedge e^*_n(u_1,\ldots,u_n)=\det\nolimits_\cB(u_1,\ldots,u_n).
$$
Cette quantité représente le volume (compté algébriquement, i.e.\ avec 
signe) du paréllélépipède oblique
$P_{u_1,\ldots,u_n}=\{\sum x_iu_i/x_i\in[0,1]\}$. Dans $\bR^n$ avec
sa base canonique $(e_1,\ldots,e_n)$ et $(x_1,\ldots,x_n)$ comme coordonnées,
on a $dx_i=e_i^*$, et
$$
e^*_1\wedge\ldots\wedge e^*_n=dx_1\wedge\ldots\wedge dx_n
$$
est la forme volume associée à la mesure de Lebesgue. En dimension $2$,
avec $(x,y)\in\bR^2$ comme coordonnées, on a donc $dx\wedge dx=dy\wedge dy=0$ et
$dx\wedge dy=-dy\wedge dx$ est la forme volume standard (à savoir,
l'aire dans ce cas~!). Dans un ouvert $\Omega\subset\bR^n$, on utilisera
une notation avec des multi-indices~: pour $I=(i_1,\ldots,i_p)$ de longueur
$|I|=p$, on écrira les $p$-formes différentielles comme
$$
\alpha(x)=\sump_{|I|=p}\alpha_I(x)\,dx_I=
\sum_{i_1<\ldots<i_p}\alpha_{i_1\ldots i_p}(x_1,\ldots,x_n)\,dx_{i_1}\wedge\ldots
\wedge dx_{i_p}
$$
où $\sump$ désigne la somme restreinte aux multi-indices {\it croissants}.
Par définition, la {\it différentielle extérieure} de $\alpha$ est
$$
d\alpha:=\sump_{|I|=p}d\alpha_I\wedge dx_I=
\sump_{|I|=p}\sum_{j=1}^n{\partial\alpha_I\over dx_j}dx_j\wedge dx_I.
\leqno(*)
$$
On a la formule dite de Leibniz
$$
d(\alpha\wedge\beta)=(d\alpha)\wedge \beta +(-1)^p\alpha\wedge (d\beta)
$$
(pas très difficile à démontrer à partir de $(*)$).\medskip

{\bf 1.} {\it Formule de Green-Riemann} (connue~?)
Soit $\alpha=P(x,y)dx+Q(x,y)dy$
une $1$-forme différentielle réelle ou complexe de classe $C^1$ sur
un domaine compact
$\overline\Omega\subset\bR^2$ à bord $\partial\Omega$ de classe $C^1$
par morceaux. On note
$$d\alpha:=dP\wedge dx+dQ\wedge dy=\Big({\partial Q\over \partial x}-
{\partial P\over\partial y}\Big)dx\wedge dy
$$
sa différentielle extérieure (une 2-forme sur $\overline\Omega$).
Alors
$$
\int_{\partial\Omega}\alpha=\int\!\!\!\int_{\Omega}d\alpha
~~\Longleftrightarrow~~
\int_{\partial\Omega}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=
\int\!\!\!\int_{\Omega}
\Big({\partial Q\over \partial x}-{\partial P\over\partial y}\Big)dx\,dy
$$
où le bord $\partial\Omega$ est muni de son orientation ``naturelle''.\\
{\it Preuve possible}~: Par approximation polygonale du bord
$\partial\Omega$ (et passage à la limite uniforme), on se ramène au cas où
$\Omega$ est un domaine à bord polygonal. Par découpage de $\Omega$,
il suffit de traiter le cas d'un triangle, puis par rotation
et découpage éventuel du triangle, au cas où $\Omega$ est un triangle
rectangle dont les côtés de l'angle droit dont des segments $OA$ et $OB$
sur les axes $Ox$ et $Oy$. Démontrer alors la formule en utilisant Fubini
et les formules d'intégration élémentaires.
\vskip3pt

{\bf 2.} {\it Formule de Cauchy-Pompeiu} (c'est une généralisation, publiée par
Pompeiu en 1905, de la formule classique énoncée par Cauchy en 1825). Soit $\Omega\subset\bC$ un
ouvert d'adhérence compact dont le bord $\partial\Omega$ est de classe
$C^1$ par morceaux, et $f:\overline\Omega\to\bC$ une fonction de
classe $C^1$ sur l'adhérence de $\Omega$. Alors\vskip2pt
{\parindent=6.5mm
\item{(a)}\kern50pt
$\displaystyle \int_{\partial\Omega}f(z)\,dz=
2i\int\!\!\!\int_{\Omega}{\partial f\over\partial \overline z}\,d\lambda
$~~~~et\vskip2pt
\item{(b)}\kern50pt
$\displaystyle
f(z_0)={1\over 2\pi i}\int_{\partial\Omega}{f(z)\over z-z_0}dz
-{1\over\pi}\int\!\!\!\int_{\Omega}{1\over z-z_0}{\partial f\over\partial \overline z}\,
d\lambda$}\vskip2pt
pour tout $z_0\in\Omega$, où $d\lambda=dx\wedge dy$ est la mesure de
Lebesgue sur $\bC$ (avec $z=x+iy$).\vskip2pt

{\it Indication.} Pour (a), appliquer la formule de Green-Riemann avec
$\alpha=f(z)\, dz$, et calculer $d\alpha$. Pour (b), remplacer $f$ par
$g(z)={f(z)\over z-z_0}$ et $\Omega$ par $\Omega_\varepsilon=
\Omega\ssm\overline D(z_0,\varepsilon)$, et passer à la limite quand
$\varepsilon\to 0$, en utilisant un changement de variable
$z=z_0+\varepsilon e^{i\theta}$ sur le bord orienté du disque
$D(z_0,\varepsilon)$. On s'assurera que la fonction $z\mapsto {1\over z-z_0}$
est bien intégrable pour la mesure de Lebesgue au voisinage de $z_0$.
\vskip3pt

{\bf 3.} {\it Surface de Riemann conjuguée d'une surface de Riemann}

(a) Soit $(X,\cO_X)$ une surface de Riemann, et 
$\tau_j:U_j\to\Omega_j\subset\bC$, $j\in I$, un atlas holomorphe. Montrer que 
l'espace annelé $(X,\overline{\cO_X})$ obtenu en remplaçant les
fonctions holomorphes par les fonctions anti-holomorphes est encore
une surface de Riemann, pour laquelle un atlas (holomorphe~!) est 
constitué du système de cartes $\overline\tau_j:U_j\to\overline{\Omega_j}$,
où $\overline{\Omega_j}$ désigne ici l'ouvert de $\bC$ symétrique de
$\Omega_j$ par conjugaison (et non pas l'adhérence...). On note en général 
$\overline{X}$ cette surface de Riemann, de sorte que $\cO_{\overline{X}}=
\overline{\cO_X}$. On dit que $\overline X$ est la surface de Riemann 
conjuguée de $X$.

(b) Donner une définition raisonnable de ce qu'est une application anti-holomorphe $\varphi:X\to Y$ entre surfaces de Riemann, et montrer que les applications anti-holomorphes renversent l'orientation (par définition, l'orientation d'une surface de Riemann est donnée par l'orientation usuelle de 
$\bC\simeq\bR^2$ relativement aux cartes holomorphes).

(c) Montrer que la sphère de Riemann $S=\bC\cup\{\infty\}$ est isomorphe à 
sa conjuguée $\overline S$, et déterminer quels sont les isomorphismes
$S\to\overline S$.

(d) Soit $X=E_{\alpha,\beta}$ une courbe elliptique. Montrer que 
$\overline X$ est encore une courbe elliptique dont on précisera le 
réseau de périodes. On cherche maintenant à déterminer les courbes
elliptiques $X$ qui sont isomorphes à leurs conjuguées. Montrer que
l'on a toujours $X\simeq E_{1,\tau}$ avec $|\tau|\geq 1$ et
$-{1\over 2}\leq\Re\tau\leq {1\over 2}$, d'où $\Im\tau\geq {\sqrt{3}\over 2}$,
ce qu'on suppose désormais. Dans ce cas, la conjuguée de $X$ est donnée par
$E_{1,-\overline\tau}$ et $X$ est isomorphe à sa conjuguée si et
seulement si il existe une matrice $\pmatrix{ a & b \cr c & d\cr}
\in\SL_2(\bZ)$ telle que $-\overline\tau ={a\tau+b\over c\tau+d}$,
et que ceci implique $|c\tau+d|=1$. En prenant les parties réelles
et imaginaires, montrer que cette condition implique
$|c|\leq 2/\sqrt{3}$, d'où $|c|\leq 1$, puis $|d|\leq 3/2$. Ceci laisse
les possibilités $c=0$, $d=\pm 1$,
ou bien $c=\pm 1$, $d=0$, ou bien $c=\pm 1$, $d=\pm 1$.
En déduire qu'une condition nécessaire et suffisante pour que $X=E_{1,\tau}$
soit isomorphe à $\overline X$ est que $|\tau|=1$ ou $\Re\tau=0$ ou
$\Re\tau=\pm{1\over 2}$. Vérifier qu'un domaine fondamental précis des
courbes elliptiques dans le demi-plan supérieur (ne contenant pas
de paires de courbes isomorphes) est le domaine
$$
\Big\{|\tau|>1,~-{1\over 2}<\Re\tau\leq{1\over 2}\Big\}\cup
\Big\{|\tau|=1,~0\leq\Re\tau\leq{1\over 2}\Big\}.
$$
Schéma~!\vskip3pt
\end

% Local Variables:
% TeX-command-default: "UpTeX"
% End: