\magnification 1200 \parindent 0cm \parskip 3pt plus 1pt minus 1pt \hsize 13.2cm \hoffset0mm \vsize 20cm \voffset-4mm \def\\{\hfil\break} \font\goth=eufm10 \font\tenCal=eusm10 \font\sevenCal=eusm7 \font\fiveCal=eusm5 \newfam\Calfam \textfont\Calfam=\tenCal \scriptfont\Calfam=\sevenCal \scriptscriptfont\Calfam=\fiveCal \def\Cal{\fam\Calfam\tenCal} \font\tenBbb=msbm10 \font\sevenBbb=msbm7 \font\fiveBbb=msbm5 \newfam\Bbbfam \textfont\Bbbfam=\tenBbb \scriptfont\Bbbfam=\sevenBbb \scriptscriptfont\Bbbfam=\fiveBbb \def\Bbb{\fam\Bbbfam\tenBbb} % Usual sets of numbers \def\bB{{\Bbb B}} \def\bC{{\Bbb C}} \def\bD{{\Bbb D}} \def\bH{{\Bbb H}} \def\bK{{\Bbb K}} \def\bN{{\Bbb N}} \def\bP{{\Bbb P}} \def\bQ{{\Bbb Q}} \def\bR{{\Bbb R}} \def\bT{{\Bbb T}} \def\bZ{{\Bbb Z}} \def\cC{{\Cal C}} \def\cL{{\Cal L}} \def\cM{{\Cal M}} \def\cO{{\Cal O}} \def\gS{{\goth S}} \def\Id{\mathop{\rm Id}} \def\Im{\mathop{\rm Im}} \def\pr{\mathop{\rm pr}} \def\card{\mathop{\rm card}} \def\Aut{\mathop{\rm Aut}} \def\Sk{\mathop{\rm Sk}} \def\Langle{\langle\!\langle} \def\Rangle{\rangle\!\rangle} \def\ssm{\mathop{\hbox{\Bbb r}}} \def\bu{$\scriptstyle\bullet$\ } \line{\bf Magistère M1\hfil Université Grenoble Alpes\hfil année 2018-2019} \vskip5mm \centerline{\bf Surfaces de Riemann (Jean-Pierre Demailly), feuille n${}^\circ$3, 07/02/2019} \vskip5mm {\bf 1.} {\it Revêtements}\\ On appelle revêtement de base $Y$ et de fibre $F$ (où $Y,F$ sont des espaces topo\-logiques, $F$ étant supposé {\it discret}), un espace topologique $X$ muni d'une application continue surjective $\rho:X\to Y$ possédant la propriété suivante, dite de {\it locale trivialité au dessus de $Y$}~: {\it tout point $y_0\in Y$ possède un voisinage ouvert $V$ de sorte qu'il existe un homéomorphisme $h_V:\rho^{-1}(V)\to V\times F$ tel que $\pr_1\circ h_V=\rho_{|\rho^{-1}(V)}$, où $\pr_1$ désigne la première projection $V\times F\to V$.}\\ L'homéomorphisme $h_V$ est appelé trivialisation de $\rho$ au dessus de $V$. (a) Montrer que $\pr_1:X=Y\times F\to Y$ est un revêtement (et que $X$ n'est jamais connexe si $\card F\geq 2$)~: on l'appelle {\it revêtement trivial} de base $Y$ et de fibre $F$. (b) Si $j\in F$ est vu comme un indice, montrer que les $U_j=h_V^{-1}(V\times\{j\})$ sont des ouverts disjoints de $X$ et que $\rho$ induit un homéomorphisme de $U_j$ sur $V$. {\it Définitions} \bu On dit que $U_j$ est le feuillet d'indice $j\in F$ au dessus de $V$.\\ \bu On dit que le revêtement est {\it fini} si $F$ est fini, {\it connexe} si $X$ est connexe (ce qui entraîne automatiquement que $Y$ est connexe).\\ \bu On dit que $\rho$ est un {\it revêtement holomorphe} si de plus $X$ et $Y$ sont des variétés holomorphes (nécessairement de même dimension), et $\rho$ une application holomorphe de $X$ dans $Y$. Le cas qui nous intéresse est celui des surfaces de Riemann ($\dim_\bC X=\dim_\bC Y=1$). (c) Si $\rho:X\to Y$ est un revêtement et $h_V$, $h_W$ des trivialisations de $\rho$ au dessus d'ouverts $V,W\subset Y$, montrer que $h_W\circ h_V^{-1}$ définit un homéomorphisme\break $(V\cap W)\times F\to (V\cap W)\times F$ de la forme $(y,j)\mapsto (y,\sigma_y(j))$ où $\sigma_y$ est une permutation de $F$, qui en outre reste constante lorsque $y$ parcourt les composantes connexes de~$V\cap W$. (d) Montrer que $\exp:\bC\to \bC^*$ est un revêtement holomorphe de fibre $\bZ$, et décrire explicitement les trivialisations $h_V$ lorsqu'on considère l'ouvert $V=V_\alpha=\bC\ssm\bR_+ e^{i\alpha}$ de $\bC^*$, $\alpha\in \bR$, et les feuillets associés $U_{\alpha,j}=\{z\in\bC\,/\; \alpha+2j\pi<\Im z<\alpha+2(j+1)\pi\}$, $j\in\bZ$. Déterminer dans ce cas $h_{V_\beta}\circ h_{V_\alpha}^{-1}$ au dessus de $V_\alpha\cap V_\beta$, d'abord lorsque $\beta\equiv\alpha$ mod $2\pi$, puis lorsque $\beta\not\equiv\alpha$ mod $2\pi$. (e) Pour $m\in\bN^*$, montrer de même que $\mu_m:\bC^*\to\bC^*$, $z\mapsto z^m$, définit un revêtement holomorphe connexe à $m$ feuillets, et expliciter les $h_{V_\beta}\circ h_{V_\alpha}^{-1}$ comme ci-dessus, en posant cette fois $$ U_{\alpha,j}=\{z\in\bC^*\,/\; (\alpha+2j\pi)/m<\arg z<(\alpha+2(j+1)\pi)/m\},~~~j=0,1,\ldots,m-1. $$ (f) Montrer que $z\mapsto z^m$ définit un morphisme de la sphère de Riemann $\bC\cup\{\infty\}$ dans elle-même, et qu'il s'agit d'un revêtement ramifié ayant en général $0$ et $\infty$ comme seuls points de ramification [$\,=$ points critiques]. (g*) Décrire la situation lorsque $P(z)=az^2+bz+c$ est un polynôme du second degré $(a\neq 0)$, vu comme revêtement ramifié de la sphère de Riemann sur elle-même. Quelle est la condition sur $a,b,c$ pour que ce revêtement ramifié soit équivalent à $\zeta\mapsto\zeta^2$~comme morphisme, resp.\ comme endomorphisme, modulo les automorphismes de la~sphère~? \eject {\bf 2.} {\it Morphismes entre courbes elliptiques}\\ Ce problème est destiné à étudier les morphismes $\varphi:E_{a,b}\to E_{a',b'}$ entre deux courbes elliptiques, associées respectivement à des réseaux $\Lambda=\bZ a+\bZ b$ et $\Lambda'=\bZ a'+\bZ b'$. (a) Montrer que les fonctions méromorphes $f\in\cM(E_{a,b})$ peuvent s'identifier aux fonctions méromorphes $F$ sur $\bC$ qui sont périodiques de périodes $\Lambda$, c'est-à-dire telles que $F(z+pa+qb)=F(z)$ si $p,q\in\bZ$. Montrer que $\cO(E_{a,b})$ se réduit aux constantes. (b) On note $\dot z\in E_{a,b}$ la classe d'équivalence de $z\in\bC$ mod~$\Lambda$. Montrer que pour tout entier $m\in\bZ$ et tout $\dot w\in E_{a,b}$, l'application $\dot z\mapsto m\dot z+\dot w$ (induite par l'application affine $z\mapsto mz+w$) définit un endomorphisme $E_{a,b}\to E_{a,b}$, et que pour $m\neq 0$, il s'agit d'un revêtement non ramifié de degré $m^2$. (c) Soit $\varphi:E_{a,b}\to E_{a',b'}$ un morphisme. Pour $z\in\bC$, on pose $\Phi(z)=\varphi(\dot z)\in E_{a',b'}$.\break Lorsque $h\in\bC$ est petit, montrer qu'il existe un unique représentant dans $\bC$ de\break $\Phi(z+h)-\Phi(z)$ mod $\Lambda'$ appartenant au parallélogramme $\{ua'+vb'\,/u,v\in{}]-{1\over 2},{1\over 2}[\}$, et qu'on peut définir sans ambiguïté une dérivée holomorphe $$ \Phi'(z)=\lim_{h\to 0}{\Phi(z+h)-\Phi(z)\over h}\in\bC $$ en choisissant ce représentant au numérateur [on travaillera pour cela dans des cartes adaptées]. Déduire de (a) que $\Phi'$ est une constante, puis que $\varphi$ est nécessairement induit par une application affine $z\mapsto \eta z+c$ où $\eta,c\in\bC$ sont des constantes. Montrer en outre que $\eta$ doit être tel que $\eta\Lambda\subset\Lambda'$, c'est-à-dire que $\eta a,\eta b\in\Lambda'$. (d) Montrer qu'une condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'un morphisme $\varphi:E_{a,b}\to E_{a',b'}$ non constant est que les rapports $\tau={b\over a}$, $\tau'={b'\over a'}$ soient reliés par une relation de la forme $\tau={\alpha \tau'+\beta\over \gamma \tau'+\delta}$ avec $\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\bZ$, $\alpha\delta-\beta\gamma\neq 0$. En déduire que pour $\tau'\in\bH$ donné, il y a seulement une famille dénombrable de valeurs de $\tau\in\bH$ pour lesquels ceci se produit -- on montrera explicitement que si $\tau=i t$ et $\tau'=i t'$ avec $t,t'\in\bR_+^*$, les morphismes $\varphi$ non constants existent si et seulement si $t'/t\in\bQ_+^*$ ou $tt'\in\bQ_+^*$. (e) Déterminer tous les endomorphismes de $E_{a,b}$ lorsque $\tau={b\over a}=i$, resp.\ lorsque $\tau=j=e^{2\pi i/3}$. (f*) On suppose que $\tau={b\over a}$ est une racine non réelle d'une équation quadratique de la forme $p\tau^2+q\tau+r=0$, $p,q,r\in\bZ$, $q^2-4pr< 0$. Montrer que $E_{a,b}$ possède alors un endomorphisme autre que ceux décrits en~(b), et que c'est le seul cas où ceci peut se produire [on dit alors que la courbe elliptique $E_{a,b}$ possède une {\it multiplication complexe}, et on veut dire par là qu'il existe un endomorphisme induit par $z\mapsto\eta z$ avec $\eta\in\bC$ non~entier]. \end % Local Variables: % TeX-command-default: "TeX" % End: