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\title{Université Joseph Fourier \\
École d'été de mathématiques 1996 : \\[1ex]
 Analyse complexe \\ \normalsize
Cours de géométrie différentielle et holomorphe}
\date{17--22 Juin}
\author{Thierry Bouche (Institut Fourier)}


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Université Joseph Fourier \\
École d'été de mathématiques 1996 : \\[1ex]
Analyse complexe \\ \normalsize
Cours de géométrie différentielle et holomorphe}\\[\stretch{1}]
\begin{center}
\Large  Thierry Bouche \\[1.2cm]
Introduction à la géométrie différentielle des variétés analytiques
complexes\\[\stretch{3}]
\end{center}

\end{titlepage}
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%\maketitle
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\bibliographystyle{fralpha}
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\section{Variétés, applications différentiables, fibrés vectoriels} \label{sec:diff}

\subsection{Variété} \label{sec:variete}
Une variété $\,\ci$ est un objet sur lequel on souhaite pouvoir faire
les mêmes calculs différentiels que sur  $\mathbb{R} ^{n}$. Pour
calculer une dérivée, il suffit de connaître la fonction
dans un voisinage du point considéré, donc on va munir une
variété d'une structure {\em locale\/} héritée de  celle de $\mathbb{R}^{n}$.
Par exemple, sur la figure \ref{fig:variete}, %p. \pageref{fig:variete}, 
on observe que la courbe de gauche se recoupe en $p$ donc ce n'est pas une
variété : en effet, un voisinage même petit
du point double $p$ n'a pas la topologie d'un intervalle de $\mathbb{R}$. Par contre la courbe
de droite est une variété : tout point admet un petit voisinage qu'on
peut identifier avec un intervalle de $\mathbb{R}$ (remarquer à cette
occasion que ceci n'est plus vérifié pour les \emph{grands}
voisinages : il y a toujours une dialectique entre
phénomènes locaux et aspects globaux qui font apparaître la topologie
ou la géométrie de la variété).

\begin{figure}[htb]
%  \begin{picture}(0,0)%
%    \put(3,-1.7){\large $p$}
%  \end{picture}%
   \begin{center}%
%    \scalebox{.5}[.3]{%
      \includegraphics[width=.7\textwidth,height=5cm]{courbes}%
    \end{center}%
    \begin{picture}(0,0)%
      \put(3,4.6){\large $p$}
    \end{picture}%
    \caption{À gauche : ce n'est pas une variété ;
      à droite, c'est une variété} 
    \label{fig:variete}
  \end{figure}

\subsubsection{Définitions} \label{sec:var}

%\paragraph{Cartes \& atlas} 
Étant donné un espace topologique $M$ une
\emph {carte} (ou \emph{application de
  coordonnées locales}) est la donnée d'un ouvert $U\subset M$, d'un ouvert
$V\subset\RR{n}$ et d'un homéomorphisme $\varphi : U\to
V$. L'application réciproque s'appelle une  paramétrisation de
$U$. Un \emph{atlas} est une collection 
de cartes $(U_\alpha ,\varphi _\alpha )$ 
 qui recouvrent $M$. La régularité de l'atlas est donnée par la
régularité des \emph{applications de recollement} (ou \emph{changements
  de cartes}). Formellement, on donne la
\begin{defi} \label{def:atlas}
Un atlas de classe $\,\mathcal{C}^p$ de $M$ est un recouvrement de $M$
par des ouverts $U_{\alpha }$ sur lesquels sont définies des cartes
$\varphi _{\alpha }$ telles que :
\begin{enumerate}
\item $M\subset \bigcup\limits_\alpha  U_{\alpha }$ (les $U_{\alpha }$ recouvrent $M$) ;
\item $\varphi _{\alpha }: U_{\alpha } \rightarrow V_{\alpha }$
est un homéomorphisme de $U_{\alpha }$ sur un ouvert $V_{\alpha }$
de $\mathbb{R}^{n}$ ;
\item Si $U_{\alpha \beta }=U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \emptyset$, alors
$\varphi _{\alpha \beta }= (\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1})_{
|\varphi _{\alpha }(U_{\alpha\beta } )}$ est un difféomorphisme
de classe $\,\mathcal{C}^p $ sur $\varphi _{\beta  }(U_{\alpha \beta })$
(ce qui a bien un sens car $\varphi _{\alpha \beta }$
est définie d'un ouvert de $\mathbb{R}^{n}$ dans un autre ouvert
de $\mathbb{R}^{n}$).
\end{enumerate}
\end{defi}

Deux atlas sont équivalents si leur concaténation produit un nouvel
atlas de même classe, ce qui revient à demander que les changement de
cartes d'une carte d'un atlas vers une carte de l'autre atlas aient la
bonne régularité. 
\begin{defi}\label{def:var}
Une variété (\,$\ci $) de
dimension $n$ est la donnée d'un espace topologique $M$, et d'une
classe d'équivalence d'atlas\footnote{On voit facilement qu'il existe
  un atlas \emph{maximal} dans 
lequel on a mis tous les atlas compatibles entre eux. La donnée d'une
classe d'équivalence d'atlas est par conséquent équivalente à celle
d'un atlas maximal.} (de classe $\,\ci $). 
\end{defi}

Les variétés que je considérerai dans la suite seront en outre
localement compactes, et dénombrables à l'infini --- cette hypothèse
technique ayant pour seul but de m'assurer l'existence de partitions
de l'unité lorsque j'en aurai besoin\label{hyp:paracompact}.
Si on préfère l'analyse complexe à l'analyse réelle, on peut
choisir  $\CC{n}$ comme modèle local, et demander que les
changements de carte soient holomorphes. On définit ainsi une
\emph{variété analytique complexe}. Pour fixer les idées, nous
considérerons ici une application de $\CC n$ dans $\CC p$ comme
holomorphe si les $p$ applications coordonnées sont
complexe-analytiques, i.e. si elles se développent localement en
séries entières dans les $n$ coordonnées de $\CC n$.\\[1ex]

%En toute rigueur, on ne devrait pas donner le nom de variété
%à $M$ mais à $(M,(\varphi _{\alpha }),n)$. C'est pourtant ce qui
%sera toujours fait.

\noindent\emph {Exemples :}\\[-2.5ex]
\begin{enumerate}\label{exp:var}
\item Tout ouvert $\Omega$ de $\mathbb{R}^{n}$ est une variété de
  dimension $n$, avec comme 
atlas l'application identité définie sur l'ouvert $\Omega$.
\item $\SSS{1}=\mathbb{R}/(2\pi \mathbb{Z})$ le cercle est une variété
de dimension 1, avec comme atlas $U_{0}=\{ \theta \neq 0 ~[2\pi ] \}$
et $U_{\pi }=\{ \theta \neq \pi ~[2\pi ] \}$, les applications
$\varphi_{\alpha } $ 
consistant à prendre la détermination de l'angle respectivement
dans les intervalles $]0,2\pi [$ et $]-\pi ,\pi [$. Le changement
de carte est une application affine, donc $\,\ci $.
\item Le tore $\TT2=\mathbb{R}^{2}/\mathbb{Z}^{2}$ est une variété de dimension
2, avec par exemple comme atlas :
$$\begin{array}{ll} U_{--}=\{ (x,y) :  x\neq 0 ~[1], y \neq 0 ~[1] \} &
U_{-+}=\{ (x,y) : x\neq 0 ~[1], y \neq 0\dec5 ~[1] \}\\
U_{+-}=\{ (x,y) : x\neq 0\dec5 ~[1], y \neq 0 ~[1] \} &
U_{++}=\{ (x,y) : x\neq 0\dec5 ~[1], y \neq 0\dec5 ~[1] \}
\end{array}$$
les applications $\varphi $ consistant à prendre le représentant
de la classe d'équivalence de $(x,y)$ respectivement dans les intervalles
\[ ]0,1[\times ]0,1[, \quad ]0,1[\times ]0\dec5,1\dec5[, \quad
]0\dec5,1\dec5[\times ]0,1[, \quad ]0\dec5,1\dec5[\times ]0\dec5,1\dec5[\]
donc les changement de cartes sont des translations. 
En identifiant $\CC{}$ à $\RR2$, on constate que $\TT2$ admet une
structure complexe car les similitudes de $\RR2$ (ici des
translations) sont évidemment holomorphes.
\item La sphère $\SSS{2}=\{ x=(x^{1},x^{2},x^{3})
\in \mathbb{R}^{3} : ||x||^{2}=1 \}$
est une variété de dimension 2. On prend par exemple comme atlas les 6
ouverts $U_{i}^{\pm}=\{x\in \SSS{2} : \pm x^{i}>0 \}$ qui recouvrent $\SSS{2}$
puisque $||x||^{2}=1$ entraîne que l'une au moins des coordonnées $x_{i}$
de $x$ soit non nulle, et on définit les homéomorphismes $\varphi _{i}^{\pm}$
par :
\[ \begin{array}{rrcl}
\varphi _{i}^{\pm} :& U_{i}^{\pm} & \rightarrow & \{ (x,y)\in
                  \mathbb{R}^{2}    :   x^{2}+y^{2}<1 \}\\
& x&\rightarrow & (\dots ,\hat{x}_{i},\dots ) 
 \end{array}        \]
c'est-à-dire que l'on projette sur l'hyperplan défini par l'annulation
de la  $i$-ème coordonnée de $x$.
Montrons par exemple que les cartes $\varphi _{3}^{+}$ et $\varphi _{2}^{-}$
sont compatibles sur
\[ U_{3}^{+}\cap U_{2}^{-}=\{ x\in \mathbb{R}^{3} :  ||x||=1, x_{3}>0, x_{2}<0 \}.\]
On a ici $\varphi _{3}^{+}(x)=(x_{1},x_{2})$ et $\varphi _{2}^{-}(x)=(x_{1},x_{3})$
donc :
\[ (\varphi _{2}^{-})^{-1} (x,y)=(x,-\sqrt{1-x^{2}-y^{2}},y) \]
et :
\[ \varphi _{3}^{+}\circ (\varphi _{2}^{-})^{-1}(x,y)=(x, -\sqrt{1-x^{2}-y^{2}} ) \]
avec rappelons-le $x^{2}+y^{2}<1$. Donc 
$\varphi _{3}^{+}\circ (\varphi _{2}^{-})^{-1}$
est un difféomorphisme $\ci $ de
\[ \varphi _{2}^{-}(\SSS{2}\cap \{ x_{2}<0, x_{3}>0\})=\{ (x,y) :   x^{2}+y^{2}<1 \}\]
sur
\[ \varphi _{3}^{+}(\SSS{2}\cap \{ x_{2}<0, x_{3}>0\})=\{ (x,y) :  x^{2}+y^{2}<1 \}.\]
Bien que $\SSS2$ soit de dimension paire, l'atlas ci-dessus ne nous
fournit pas  de structure complexe. 
\end{enumerate}

\noindent\emph{Exercices :}\\[-2.5ex]
\begin{enumerate}\label{exc:var}
\item Un autre atlas de $\SSS n$ est donné par les deux projections
  stéréographiques définies comme suit : la \emph{projection
    stéréographique de pôle nord} $\pi _+$ est l'application qui envoie
  tout point $p$ de $\SSS n$ excepté le pôle nord sur le point du plan
  équatorial aligné avec le pôle nord et $p$. On définit de même la
  projection stéréographique de pôle sud. C'est un exercice facile de
  donner les expressions en coordonnées de ces deux applications. Il y
  a un seul recollement. Il est antiholomorphe : peut-on pourtant
  donner une structure holomorphe à $\SSS n$ ? Peut-on trouver un atlas
  de $\SSS n$ comportant moins de cartes que celui qui vient d'être
  construit ?
\item $\mathbb{RP}^{n}=\{$ droites de $\mathbb{R}^{n+1}\}
=\mathbb{R}^{n+1}\setminus \{0\}/\mathbb{R}^{*}$,
%c'est-à-dire le quotient de l'anneau $\mathbb{R}^{n+1}$ par l'idéal
% multiplicatif donné  par les scalaires non nuls,
est une variété de dimension $n$. $\RP n$ est recouvert par les $n+1$ ouverts
$U_{k}=\{ [x_{0}:\dots :x_{n}] :  x_{k}\neq 0 \}$ ($0\leq k\leq n$),
où $[x_{0}:\dots :x_{n}]$ désigne la classe d'équivalence de (c'est-à-dire
la droite engendrée par)  $(x_{0},\dots ,x_{n})$,
et les cartes
\[ \varphi _{k} : (x_{0},\dots ,x_{n}) \rightarrow (\frac{x_{1}}{x_{k}},
\cdots , \frac{x_{k-1}}{x_{k}},\frac{x_{k+1}}{x_{k}},\cdots ,\frac{x_{n}}{x_{k}}).\]
 Vérifier que les cartes sont compatibles.

{\small \textit{Remarque :} $\mathbb{RP}^{1}$, l'ensemble des droites du plan, 
s'identifie au cercle $\SSS{1}$, il suffit de multiplier
les angles par 2. Par contre $\mathbb{RP}^{2}$ ne s'identifie pas
à $\SSS{2}$, on peut voir $\mathbb{RP}^{2}$ comme un hémisphère
dont on identifie les points diamétralement opposés sur l'équateur.}

Vérifier qu'on définirait de même les variétés complexes $\CP
n=\CC{n+1}\setminus \{0\}/\CC *$. 

\end{enumerate}


\subsubsection{Applications $\,\ci $} \label{sec:appcinfty}

On peut étendre la notion d'applications $\,\ci $ ou holomorphes
à des variétés en regardant l'expression de  l'application dans les
coordonnées locales données sur toute carte de l'atlas. En d'autres
termes, on considère que les applications de coordonnées locales sont
des difféomorphismes locaux, et que les théorèmes de composition
restent valides dans ce contexte.

\begin{defi} \label{def:diff}
Soient $M$ et $N$ deux variétés de dimension $m$ et $n$, munies
d'atlas respectifs $\phi  _{\alpha }$ et $\varphi  _{\beta }$.

Une application $f$ de $M$ dans $N$ est dite $\,\ci $ si et
seulement si les applications
$\varphi _{\beta  }\circ f \circ \phi _{\alpha }^{-1}$
sont $\,\ci $ lorsqu'elles ont un sens (rappelons que
ces applications sont définies d'un ouvert de $\mathbb{R}^{m}$
dans un ouvert de $\mathbb{R}^{n}$).

Une bijection $f$ entre $M$ et $N$ est un difféomorphisme $\,\ci $
si $f$ et $f^{-1}$ sont des applications $\,\ci $. En particulier,
s'il existe un difféomorphisme entre $M$ et $N$ alors $m=n$.

On note $\,\ci (M,N)$ (resp. $\,\ci (M)$) l'ensemble des applications $\,\ci $ 
de $M$ à valeur dans $N$ (resp. $\RR{}$).

Si $M$ et $N$ sont des variétés complexes, on définira de même les
applications holomorphes entre $M$ et $N$. On notera $\Hol (M,N)$
(resp. $\Hol (M)$) l'ensemble des applications holomorphes de $M$ vers
$N$ (resp. $\CC{}$).
\end{defi}

On vérifie que deux atlas sont compatibles si et seulement si
l'application identité est un difféomorphisme de $M$ muni d'un des
deux atlas  sur elle-même muni de l'autre.

\paragraph{Expressions en coordonnées locales}Si on se donne une
application $f : M \to \RR{}$, et un atlas $(U_\alpha ,\varphi _\alpha
)$ sur $M$, on a une collection d'applications $f_\alpha=f\circ
\varphi^{-1}  : V_\alpha 
\to \RR{}$ avec $V_\alpha=\varphi _\alpha (U_\alpha)\subset \RR n$ qui
vérifient 
\begin{equation}
  \label{eq:compat_app}
f_\alpha =f_\beta \circ\varphi _{\alpha \beta }\mbox{ si } U_{\alpha
  \beta }\not= \emptyset.  
\end{equation}

Réciproquement, la donnée d'une collection d'applications $(f_\alpha
)$ vérifiant les conditions (\ref{eq:compat_app}) détermine de façon
unique une application de $M$ dans $\RR{}$.


%\begin{rema} \label{rem:Ck}
%On peut définir de même des structures de variété $C^{k}$ ou
%analytiques.
%\end{rema}

\noindent{\em Exemples :}\\[-2.5ex]
\begin{enumerate}\label{exp:app}
\item \[ f: \left\{ \begin{array}{rcl}
\SSS{2} &\rightarrow& \RP{2} \\
x & \rightarrow  &[x] 
\end{array}\right. \]
est $\,\ci $, localement inversible, mais pas globalement
inversible (puisque deux points diamétralement opposés de la sphère 
définissent la même droite). Par  exemple, on a :
\[ \varphi _{2} \circ f \circ (\varphi _{1}^{+})^{-1}(x,y)
=\varphi _{2}(f(\sqrt{1-x^{2}-y^{2}},x,y))
=(\frac{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}{x},\frac{y}{x}) \]
qui est bien $\,\ci $ sur $x^{2}+y^{2}<1, x\neq 0$.
\item Toute application méromorphe sur $\CC{}$ définit une application
  holomorphe de $\CC{}$ dans $\CP1$. En effet, si $F$ est méromorphe
  sur $\CC{}$, elle s'écrit comme le quotient de deux applications
  holomorphes sur $\CC{}$ : $F=\frac f g$ qui ne s'annulent pas
  simultanément. L'application  
\[ \begin{array}{lrcl}
    \tilde{F} : & \CC{}& \to&\CP1\\
                   &x&\mapsto&[f(x):g(x)]
  \end{array}\]
est donc bien définie. On a évidemment (avec les notations de la page
\pageref{exc:var}) $\varphi _1\circ\tilde{F} = F$ pour les points
d'image finie par $F$. Vérifier que réciproquement la donnée d'une
application de $\Hol(\CC{},\CP1)$ est équivalente à celle d'une
fonction méromorphe.
\end{enumerate}

\noindent{\em Exercices :}\\[-2.5ex]
\begin{enumerate}\label{exc:app}
\item En identifiant habilement les 2
cartes de $\CP1$ et celles de $\SSS2$ (projections stéréographiques),
construire un difféomorphisme, et une application biholomorphe entre ces deux variétés .
\item Montrer que l'ensemble des matrices inversibles 
$ GL_{n}(\mathbb{R})$ est une variété.
Soit $A$ une matrice $n\times n$ et :
\[ f_{A} : G \rightarrow f_{A}(G)=G^{-1}AG \]
montrer que $f_{A}$ est $\,\ci $ de $GL_{n}(\mathbb{R})$ 
dans $M_{n}(\mathbb{R})$.
\item Montrer que tous les tores $\TT n$ sont difféomorphes entre eux,
  mais qu'il y a une infinité de structures complexes sur chaque tore
  réel de dimension paire. {\small [Indication : les  applications
    holomorphes sont conformes.]}
\end{enumerate}

%\end{document}
\subsection{Fibré tangent} \label{sec:fib_tangent}

\subsubsection{Espace tangent}\label{sec:tangent}
On va donner une définition abstraite de l'espace tangent à une
variété en commençant par interpréter les vecteurs de $\mathbb{R}^{n}$
comme des  dérivations de fonctions de $\,\ci (\mathbb{R}^{n})$.
 
 
Soit $f :\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ une fonction $\,\ci $ dans
un voisinage de $m\in \mathbb{R}^{n}$ et soit $v\in \mathbb{R}^{n}$
un vecteur, on leur associe la dérivée de $f$ selon $v$ en $m$ :
\[ v(f)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(m+tv)-f(m)}{t},\]
soit, en coordonnées locales : 
\[ v(f)=\sum _{i=1}^{n} v_i \frac{\partial  f}{\partial  x_i} (m)=d_mf(v). \]
On peut voir l'action de $v$ comme celle d'une fonctionnelle 
(que l'on note encore $v$)
de $f$ (en fait sur les germes de fonctions $\,\ci$ au point $m$),
 qui vérifie les propriétés de linéarité et de Leibniz (au point $m$) :
\begin{equation} \label{eq:linearite}
v(\lambda f+\mu g)=\lambda v(f)+\mu v(g)
\end{equation}
\begin{equation} \label{eq:Leibniz}
v(fg)=f(m) v(g)+g(m) v(f).
\end{equation}

On appelle \emph{dérivation} une telle fonctionnelle. %Observons que,
Réciproquement,  si une dérivation $\varphi $ vérifie les propriétés
(\ref{eq:linearite}) et (\ref{eq:Leibniz}), alors montrons que
 $\varphi $ s'interprète comme l'action d'un vecteur $v$.

On observe d'abord que $\varphi (1^{2})=2\varphi (1)$ donc $\varphi (1)=0$
puis par linéarité $\varphi $ est nulle sur les constantes.
Soit maintenant $f :\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ une fonction $\,\ci $
dans un voisinage $V=B(m_0,\varepsilon )$ 
de $m_0\in \mathbb{R}^{n}$, posons pour $m\in V$ :
\[ g(t)=f(m_0+t(m-m_0)). \]
La fonction $g$ est $\,\ci $ sur $[0,1]$, donc
\begin{eqnarray*}
f(m) = g(1) &=& g(0)+\int _{0}^{1}g'(t)dt\\
     & = & f(m_0)+\sum _{i=1}^{n} (m-m_0)_{i} \int _{0}^{1}
     \frac{\partial  f}{\partial  x_{i}}(m_0+t(m-m_0)) dt.
\end{eqnarray*}
Donc, par linéarité et en appliquant Leibniz :
\[ \varphi (f)=\sum _{i=1}^{n}\varphi ( (m-m_0)_{i} ) \{ \int _{0}^{1}
     \frac{\partial  f}{\partial  x_{i}}(m_0+t(m-m_0)) dt \}_{|m=m_0} .
\]
Finalement :
\[ \varphi (f)(m_0)= \sum _{i=1}^{n} \varphi (m_{i})
\frac{\partial  f}{\partial  x_{i}}(m_0) = v(f), \]
où $v$ a pour coordonnées $\varphi \bigl(m_{i}\bigr)$ dans la base canonique.


\paragraph{Notation}
On note $\frac{\partial  }{\partial  x_{i}}$ le $i$-ème
vecteur de la base canonique. Ce qui se justifie par le fait que
\[ v=\sum _{k=1}^{n}v_{i}\frac{\partial  }{\partial  x_{i}} \quad
\Rightarrow v(f)=\sum _{k=1}^{n}v_{i}\frac{\partial  f}{\partial  x_{i}}(m).\]

Revenons maintenant au cas d'une variété quelconque.
On note $\,\ci_m (M)$ l'ensemble des fonctions\footnote{Plus rigoureusement, on
  préférerait parler de l'espace des \emph{germes} de fonctions
  $\,\ci$ sur $M$ au point $m$ : ce sont les classes d'équivalence de
  couples $(U,f)$ où $u$ est un voisinage ouvert de $m$, et $f\in \ci
  (U)$ ; avec la relation $(U,f) \sim (V,g) \Leftrightarrow \exists W
  \subset U\cap V : f_{|W}=g_{|W}$.} de $M$ dans $\RR{}$ qui sont
$\,\ci $ sur un voisinage de $m$.
\begin{defi} \label{def:tangent}
L'espace tangent $T_{m}M$ en un point $m$ de $M$ est l'ensemble
des dérivations au point $m$  sur $\,\ci _m(M)$.
\end{defi}


\begin{prop} \label{prop:tangent}
$T_{m}M$ est un espace vectoriel de dimension $n=\dim M$. De plus
  le fibré tangent $TM=\cup_{m\in M} \{m\}\times T_{m} M$, est 
muni canoniquement d'une structure de variété de dimension $2n$.
\end{prop}

\emph{Remarque\pointir}L'identification entre vecteurs de $\RR n$ et
dérivations sur $\,\ci_{m_0}(\RR n)$ qui vient d'être discutée revient
à identifier canoniquement $T_{m_0}\RR n$ et $\RR n$ en tout point $m_0$.

\Preuve Les dérivations étant des formes linéaires sur $\,\ci_m(M), $
elles héritent des lois d'espace vectoriel correspondantes. Il suffit
de voir que la condition de Leibniz (\ref{eq:Leibniz}) est préservée par
combinaison linéaire. 
%On définit la structure d'espace vectoriel sur $T_{m}M$ par la
%somme de fonctionnelles et le produit d'une fonctionnelle par
%un scalaire.
Considérons la carte $(U,x)$ de $M$ avec $m\in U$, à valeurs dans
l'ouvert $V$ de $\mathbb{R}^{n}$. 
On peut lui associer l'application $x_* : T_mM\to \RR n$ qui applique
$v$  sur :
$$x_{*}(v) : \left\{ \begin{array}{ccl}
\,\ci _{x(m)}(\RR n)  &\rightarrow & \mathbb{R}\\
   f                    &\rightarrow & x_{*}(v)(f)=v(f\circ x).
                                %^{-1} !!?? 
 \end{array}\right.$$
On observe  que $x_{*}$ est un isomorphisme entre
 $T_{m}M$ et $T_{x(m)}\RR n\simeq \RR n$ car $x$ fournit une
 identification entre $\,\ci_m(M)$ et $\,\ci_{x(m)}(\RR n)$ (par
 définition même des applications $\,\ci$ sur une variété : définition \ref{def:diff}).
Donc $\dim T_{m}M=n$.
À la carte $x$ est associée canoniquement une base de $T_{m}M$ dont
le $i$-ème vecteur est $(x_{*})^{-1}(\frac{\partial  }{\partial  x_{i}})$.
Lorsqu'il n'y a pas de confusion possible, on note encore cette
base $\frac{\partial  }{\partial  x_{i}}$. Ceci est justifié par le fait
que pour les fonctions coordonnées $ x_{i}$ la valeur de $v(x_{i})$
est $v_{i}$ si $v=\sum _{k=1}^{n}v_{k}\frac{\partial  }{\partial  x_{k}} $.
On peut d'ailleurs exprimer $x_*$ en coordonnées par :
\[ x_* : v\rightarrow ( v(x_{1}),\dots ,v(x_{n}) ). \]


\emph{Structure de variété sur $TM$ :}
À tout couple $(m,v)$ de $TM$, on associe :
\[ Tx (m,v)=(x(m),x_{*}(v)),\]
$Tx$ définit une application de coordonnées locales sur les couples
$(m,v)$ pour $m\in U, v\in T_mM$, à valeurs dans $\RR {2n}$. Ces
ouverts recouvrent entièrement $TM$, l'union disjointe de tous les
espaces tangents. Montrons que les changement de cartes sont $\,\ci$,
ce qui achèvera de démontrer la proposition.
On considère maintenant deux cartes  $x$ et $y$ définies simultanément
sur un ouvert $U$ de $M$. 
%montrons que $Tx$ et $Ty$ sont compatibles.
On se donne donc $(x_{m},\alpha )$ dans l'image de $Tx$ et on calcule
$Ty\circ Tx^{-1}(x_{m},\alpha )=(y_{m},\beta )$.
Notons $(m,v)=(Tx)^{-1}(x_{m},\alpha )$, donc $m=x^{-1}(x_{m})$ et :
\[ Ty\circ Tx^{-1}(x_{m},\alpha )=
( (y\circ x^{-1}) (x_{m}), v(y_{1}),\dots ,v(y_{n})). \]
Comme $M$ est une variété, il est clair que $y\circ x^{-1}$ est
$\,\ci $ en $x_{m}$. Il reste à exprimer les $\beta _{k}=v(y_{k})$ 
en fonction des $\alpha _{i}=v(x_{i})$. Pour $m\in M$ voisin de $m_0$ 
d'image $x_{m}$ par la carte  $x$, on a :
 
\begin{eqnarray*}
\displaystyle y_{k}(m)-y_{k}(m_0)%
&\displaystyle=(y\circ x^{-1})_{k} (x_{m}) - (y \circ x^{-1})_{k}(x_{m_0})\hspace*{3cm}\\
&\displaystyle=\sum _{i=1}^{n}(x_{m}-x_{m_0})_{i} \int _{0}^{1}
\frac{\partial  (y\circ x^{-1})_{k} }{\partial  x_{i}}( (1-t)x_{m}+ tx_{m_0
}) \ dt   .
\end{eqnarray*}

Donc :
\[ \beta _{k}= v(y_{k})=
\sum _{i=1}^{n} v(x_{i}) \frac{\partial  (y\circ x^{-1})_{k}}{\partial  x_{i}}
=\sum _{i=1}^{n}  \frac{\partial  y_{k}}{\partial  x_{i}} \alpha _{i}.
\]
Finalement $\beta _{k}=v(y_{k})$ est une combinaison linéaire à coefficients
$\,\ci $ des $\alpha _{i}$, la matrice de l'application linéaire
qui permet de passer du vecteur $\alpha $ au vecteur $\beta $ est la matrice :
\begin{equation} \label{eq:alpha_beta}
 \frac{Dy}{Dx} =\left(\frac{\partial  y_{i}}{\partial  x_{k}} \right)_{ik} 
\end{equation}
qui est inversible car $x\rightarrow y(x)$ est un difféomorphisme
$\,\ci $.

Si $v$ a pour coordonnées $\alpha $ dans la base $\partial  /\partial  x_{j}$ 
et $\beta $ dans la base $\partial  /\partial  y_{j}$, $\alpha $ et $\beta $
sont reliés par la formule (\ref{eq:alpha_beta}) donc en faisant
$\alpha =(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)$ 
(i.e. $\alpha _{i}=\delta _{ij}$ pour $i\in [1,n]$),
on obtient :
\begin{equation} \label{eq:change_vect}
\beta _{k}=\frac{\partial  y_{k}}{\partial  x_{j}} \quad 
\mbox{ soit }\quad \frac{\partial  }{\partial  x_{j}} =\sum _{k=1}^{n}
\frac{\partial  y_{k}}{\partial  x_{j}}
\frac{\partial  }{\partial  y_{k}}  .
\end{equation}
 

\begin{rema} \label{rem:vect}
Lorsque la variété est représentée comme sous-variété de $\RR N$, on
peut également voir un vecteur tangent à $M$ comme la dérivée d'une
courbe sur $M$ en un point $m$. L'action sur les fonctions est alors évidente
(on dérive la restriction de la fonction à la courbe), mais 
la structure d'espace vectoriel est  un peu moins naturelle. 
\end{rema}

\subparagraph{Exemple} %
Les groupes classiques de matrices (inversibles, orthogonales,
 unitaires)
ont des structures de variété, ce sont d'ailleurs des sous-variétés
de $\mathbb{R}^{n^{2}}$ ou $\CC {n^2}$. Les espaces tangents en l'identité
sont alors respectivement toutes les matrices, les matrices 
antisymétriques et les matrices antihermitiennes. La structure de
groupe permet d'identifier les espaces tangents en d'autres matrices
avec ces espaces vectoriels de matrices.

\begin{defi} \label{def:lin_tan}
Soient $X$ et $Y$ deux variétés,
soit $f :X\rightarrow Y$ une application $\,\ci $ dans un voisinage
de $x\in X$ et soit $y=f(x)$.
On définit l'\emph{application linéaire tangente à $f$ en $x$} : 
$T_{x}f : T_{x}X\rightarrow T_{y}Y$ en posant pour $v\in T_{x}X$ 
et $g\in \,\ci _y(Y)$ :
$(T_{x}f(v))\ (g)=v(g\circ f)$.
\end{defi}

On vérifie en effet aisément que $T_{x}f(v)\in T_{y}Y$.

\begin{prop} \label{prop:lin_tan}
$T_{x}f$ est une application linéaire de $T_{x}X$ dans $T_{y}Y$.
Lorsque $f$ est $\,\ci $ de $X\rightarrow Y$, on peut définir
l'application tangente $Tf :TX\rightarrow TY$ par :
\[ Tf : \quad (x,v)\in TX \quad \rightarrow \quad (f(x),T_{x}f(v))\in TY .\]
\end{prop}

La linéarité est évidente et le caractère $\,\ci $ se montre
en coordonnées locales. Signalons la propriété suivante qui résulte
trivialement de la définition.

\begin{prop}\label{prop:comp_tg}
Si $X, Y$ et $Z$ sont trois variétés, et $f : X\to Y$, $g : Y\to Z$
deux applications $\,\ci$, on a :
$$T_x(g\circ f)=T_{f(x)}g\circ T_xf.$$
  \end{prop}


\subparagraph{Exemple} %
L'application $f_{A}$ définie sur $GL_{n}(\mathbb{R})$ 
par $f_{A}(G)=G^{-1}AG$ admet pour application tangente en $G$:
\[ T_{G}f_{A}(M)=G^{-1}AM-G^{-1}MG^{-1}AG. \]

\begin{defi} \label{def:differentielle}
Lorsque $Y=\mathbb{R}$ c'est-à-dire lorsque $f:X\rightarrow \mathbb{R}$,
la composante linéaire de $Tf$ se note $df$ et est appelée \emph{différentielle} de $f$.
\end{defi}

\begin{rema}
  Il faut garder à l'esprit que l'espace tangent en $m$ dépend du point
 $m$. Il est donc en général impossible d'isoler la composante
 linéaire  de l'application linéaire tangente. Dans le cas de $\RR
 {}$, l'espace tangent ne dépend pas du point, ce qui permet de
 définir la différentielle : ce serait possible plus généralement si
 $Y=\RR n$ ou même si $TY$ est un fibré trivial (cf. section \ref{sec:fibrés}).
\end{rema}

\noindent\emph{Exercices :}\\[-2.5ex]
\begin{enumerate}%
\item Retrouver les deux propriétés bien connues du calcul différentiel
usuel : une application dont la différentielle est identiquement nulle
est localement constante ; la différentielle s'annule en un point ou
$f$ admet un extremum.
\item Si $\varphi : V\to U \subset M$ est une paramétrisation, montrer
  que $T_x\varphi$ est surjective sur $T_\varphi (x) M$ pour tout
  $x$.
\item Si $f$ est une application $\,\ci$ de $\RR n$ dans $\RR {}$,
  constante sur une variété $M\subset \RR n$, montrer que $TM \subset
  \ker df$.
\end{enumerate}


\subsubsection{Espace cotangent} \label{sec:cotangeant}
Soit $m\in M$. On définit\footnote{Il existe une définition plus algébrique du
  cotangent $T^*_mM$. Notons $\,\ci_{m,0}(M)$ l'espace des germes de
fonctions $\,\ci$ en $m$ qui s'annulent en $m$. C'est l'idéal maximal
de $\,\ci_{m}(M)$. Son carré est l'espace des germes dont la dérivée
s'annule en $m$ (à cause de la relation (\ref{eq:Leibniz})). Le
quotient $\,\ci_{m,0}(M)/\left(\ci_{m,0}(M)\right)^2$ s'identifie
donc naturellement aux développements de Taylor à l'ordre 1 des germes
de $\,\ci_{m,0}(M)$, donc à l'espace $T^*_mM$ que nous avons
défini. Cette définition-ci a l'avantage de conserver un sens dans un
contexte où la différentielle n'est pas bien définie. Le tangent en
 $m$ est alors \emph{défini} comme l'espace vectoriel dual.} 
l'espace cotangent en $m$ à $M$ : 
\[T^{*}_{m}M=\{ d_{m}f, f\in \,\ci _m(M) \} .\]
C'est également le dual de $T_{m}M$ car toute forme linéaire de $T_{m}M$ 
est la différentielle d'une fonction $\,\ci _m(M)$ (il
suffit de le montrer en coordonnées locales, et dans le cas d'un
ouvert de $\mathbb{R}^{n}$, il suffit de prendre pour $f$ la forme linéaire
elle-même).

%\begin{figure}[htb]
%%\placerfig{eem2}{0}
%\caption{Représentation d'une 1-forme dans $\mathbb{R}^{2}$} 
%\label{fig:1forme}
%\end{figure}

%On représente la forme linéaire par ses lignes de niveaux ({\em cf.\/}
%figure \ref{fig:1forme}, \pageref{fig:1forme}).
%La valeur de la forme linéaire sur un vecteur se calcule en regardant
%à quelle courbe de niveau appartient l'extrémité du vecteur.
%Ici $f(v_{2})=0$ et $f(v_{1})\approx 1\dec2$.

\begin{prop} \label{prop:cotangent}%
$T^{*}_{m}M$ est un espace vectoriel de 
dimension $n=\dim M$. De plus\break $T^{*}M=\cup _{m\in  M}\{m\}\times T^{*}_{m}M$,
le fibré cotangent de $M$, est muni canoniquement d'une structure
de variété de dimension $2n$.
\end{prop}

\begin{rema}
  \label{rem:dif_cpx} Si $f$ est à valeurs \emph{complexes}, sa
  différentielle $d_mf$ a un sens en tant que qu'élément de
  $T_m^*M\otimes _{\RR{}}\CC{}$. Si l'on décompose $f$ en parties
  réelle et imaginaire, la différentielle « complexifiée » se
  décompose de la façon correspondante. 
\end{rema}
\Preuve
Soit $(U,x)$ une carte  de $M$ contenant $m$. On en déduit
une carte  dite carte naturelle de $T^{*}M$ définie sur
$\cup _{m\in U} \{m\}\times T^{*}_{m}M$ :
\[ T^{*}x: ~ (m, d_{m}f)\in T^{*}M ~
\mapsto ~
\left(x(m), d_{m}f\right(\frac{\partial  }{\partial  x_{1}}),\dots ,
d_{m}f(\frac{\partial  }{\partial  x_{n}} \left) \right) 
=(x(m),d_{x(m)}(f\circ x^{-1})).\]
Il reste à vérifier que deux cartes naturelles sont $\,\ci $
compatibles sur leur domaine commun de définition. Soit donc
$y$  une autre carte de $M$ et déterminons $T^{*}y \circ (T^{*}x)^{-1}$.
Soit $(x(m),\alpha )\in \mathbb{R}^{2n}$, $(m,d_{m}f)$ son image
réciproque par $T^{*}x$, et $(y(m),\beta )$ l'image de $(m,d_{m}f)$ 
par $T^{*}y$. On a :
\[ y(m)=(y\circ x^{-1}) (x(m)), \quad
\beta =(d_{m}f(\frac{\partial  }{\partial  y_{1}}),\dots ,
d_{m}f (\frac{\partial  }{\partial  y_{n}})) .\]
Comme les cartes $x$  et $y$ sont compatibles, $y\circ x^{-1}$ est 
$\,\ci $. Il reste à exprimer $\beta $ de manière $\,\ci $
en fonction de $\alpha $  et de $x(m)$. Pour cela, on utilise la
linéarité de $d_{m}f$ et le changement de carte pour un vecteur
tangent (\ref{eq:change_vect}) :
\[ \frac{\partial  }{\partial  y_{k}} = 
\sum _{i=1}^{n}\frac{\partial  x_{i}}{\partial  y_{k}} 
\frac{\partial  }{\partial  x_{i}} \]
d'où l'on tire :
\[ \beta_{k} =\sum _{i=1}^{n} \frac{\partial  x_{i}}{\partial  y_{k}} \alpha _{k}
\]
ou encore :
\[ \beta =\ ^{t}\!\left(\frac{Dy}{Dx}\right)^{-1}\!\!\! \!\!\!\! (x)\cdot \alpha \]
qui est bien une fonction $\,\ci $ de $\alpha $ et de $m$.


\subparagraph{Exercice} \label{rem:notation}%
Nous avons donc donné un sens bien précis aux notations $dx_i$ et
$\partial  /\partial  x_{i} $ sur un ouvert de cartes : la première
signifie la différentielle de l'application de $i$-ème coordonnée
locale, tandis que la seconde s'interprète comme un vecteur tangent en
$m$. Justifier la relation suivante :
\begin{equation} \label{eq:change_df}
d_{m}f=\sum _{i=1}^{n} \frac{\partial  }{\partial  x_{i}}\cdot f\, dx_{i}. 
% = \sum _{i=1}^{n} d_{m}f(\frac{\partial  }{\partial  x_{i}}) dx_{i}.
\end{equation}
En particulier, montrer que
la base duale de $\partial  /\partial  x_{i} $ est donnée par les
$dx_{i}$, et qu'on retrouve la « dérivée partielle »  de $f$ sous cette
forme :
\[ \frac{\partial  f}{\partial  x_{i}} = d_{m}f(\frac{\partial 
  }{\partial  x_{i}})= \frac{\partial  }{\partial  x_{i}}\cdot f.
\]


\subsubsection{Dualité tangent-cotangent} \label{sec:dualite}
Par définition de $df$ on a $d_{x}f(v)=v(f)$, ce  qui
définit\footnote{Le second membre ne dépend que de $d_yf$ car $f$ est
  déterminée à une constante près, $v$ étant une dérivation, elle
  annule la constante. Cette observation est utilisée dans tous les
  calculs qui suivent.}   la dualité
entre $TM$ et $T^{*}M$.
 %Graphiquement ({\em cf.\/} figure \ref{fig:dualite},
%p. \pageref{fig:dualite}), on obtient la base duale de $\{v_{1},v_{2}\}$ 
%de la façon suivante:
%on construit le réseau de base $\{v_{1},v_{2}\}$, on prend
%les deux formes linéaires $\{f_{1},f_{2}\}$  dont les lignes de niveau
%entières sont le réseau.

%\begin{figure}[htb]
%%\placerfig{eem1}{0}
%\caption{Une base de vecteurs et sa base duale} \label{fig:dualite}
%\end{figure}
En général, il n'y a pas d'isomorphisme canonique entre $TX$ et $T^{*}X$.
Il est nécessaire de disposer d'une donnée supplémentaire qui
est une forme bilinéaire non dégénérée sur $T_{x}X$ (par
exemple une forme symétrique dans le cas des variétés
riemanniennes ou une forme antisymétrique pour une variété
symplectique).

On a vu qu'étant donnée une application $\varphi :X\rightarrow Y$, on peut définir
$T_{x}\varphi :T_{x}X\rightarrow T_{y}Y$. Par dualité, on peut définir
$T^{*}_{y}\varphi : T^{*}_{y}Y\rightarrow T^{*}_{x}X$ : si 
$d_{y}f\in T^{*}_{y}Y$, on pose
\[ T^{*}_{y}\varphi (d_{y}f)=d_{x}(f\circ \varphi ). \]
On vérifie que $T_{x}\varphi $ et $T^{*}_{y}\varphi $ sont bien
duales l'une de l'autre : si $v\in T_{x}X$, 
\begin{equation} \label{eq:dualite}
[T^{*}_{y}\varphi (d_{y}f)](v)=d_{x}(f\circ \varphi )(v)
=v(f\circ \varphi )=T_{x}\varphi (v) (f)=d_{y}f[T_{x}\varphi (v)].
\end{equation}
Mais il n'est pas possible de définir une application 
$T^{*}\varphi: T^{*}Y\rightarrow T^{*}X $  en général car si $y\in Y$,
on ne sait pas s'il admet un antécédent unique par $\varphi $. Lorsque
$\varphi $ est injective, on peut définir $T^{*}\varphi $   sur
\[T^*Y= \cup _{y\in \varphi (X)} \{ y \} \times T^{*}_{y}Y .\]

\subsubsection{Sous-variétés} \label{sec:ssvar}

\begin{defi} \label{def:ssvar}
Soit $M$ une variété de dimension $n$. On dit que $N$ est une sous-variété
de $M$ si on peut choisir un atlas $(U_\alpha ,\varphi_\alpha  )$ de $M$ tel que pour
tout ouvert de carte $U_\alpha$ 
 l'image de $N\cap U_\alpha$
par $\varphi _\alpha$ soit l'intersection d'un sous-espace affine de $\mathbb{R}^{n}$
avec $\varphi _\alpha(U_\alpha)=V_\alpha$. En d'autres termes, il
existe pour tout point $p\in N$ un ouvert de carte  $U\subset M$ contenant
 $p$ et des coordonnées locales $(x_1,\dots,x_n)$ sur $U$ telles que
 $N\cap U$ soit donné par l'équation $x_{m+1}=\cdots = x_n=0$. 
\end{defi}

\noindent{\em Exemples :}\\[-2.5ex]
\begin{enumerate}\label{exp:ssvar}
 \item Tout ouvert d'une variété $M$ est une sous-variété de $M$ de
   même dimension (prendre $m=n$ dans la définition ci-dessus !).
 \item la sphère $\SSS{n}$ est une sous-variété de $\mathbb{R}^{n+1}$. On prend
 comme carte  de $\mathbb{R}^{n+1}$ sur l'ouvert :
 \[ U_i^{\pm}=\{ \pm x_\alpha>0 : \sum _{j\neq i} x_{j}^{2} <1 \} \]
la fonction :
\[ \varphi _i^{\pm}(x)=(x_{1},\dots ,x_{i-1},
x_i\mp \sqrt{1-\sum_{j\neq i}x_{j}^{2}},x_{i+1},\dots ,x_{n}) \]
et sur $U_{0}=\{ ||x||^{2}\neq 1 \}$ on prend la carte identité. On
recouvre bien $\mathbb{R}^{n+1}$ et l'image par $\varphi _i^{\pm}$
de $U_i^{\pm}\cap \SSS{n}$ est :
\[ (\mathbb{R}\times \dots  \times \mathbb{R}\times \{0\} \times \mathbb{R}\times \dots 
\times \mathbb{R}) \cap \varphi _i^{\pm}(U_i^{\pm}). \]
\end{enumerate}


\begin{rema} \label{rema:ssvar}
La dimension de l'espace affine est indépendante du point de la
sous-variété considéré, elle dépend uniquement de la composante
connexe. En effet, la dimension est localement constante, car
si on change de carte, les deux cartes permettent
d'obtenir un difféomorphisme entre deux espaces affines qui ont donc
même dimension. Donc une sous-variété d'une variété est une variété
de dimension la dimension de l'espace affine.
\end{rema}


Si on se donne deux variétés $M$ et $M'$ de dimensions $m$ et $m'$,
le produit cartésien $M\times M'$ est encore une variété de dimension
$m+m'$ ($M$ est alors une sous-variété de $M\times M'$). On peut ainsi
construire de nombreuses variétés.  L'énoncé suivant permet de
fabriquer la plupart des exemples %\newpage
 courants : 
\begin{theo} \label{th:injsurj}
Soit $f :U \subset \mathbb{R}^{n}\ \rightarrow \ \mathbb{R}^{p}$ une application
de classe $\,\ci $.
Si la différentielle de $f$ est surjective, alors ses fibres $X_{b}=f^{-1}(b)$ 
non vides sont des sous-variétés de $\mathbb{R}^{n}$. On dit dans ce
cas que $f$ est une \emph{submersion}.

Si la différentielle de $f$ est injective (auquel cas on dira que $f$
est une \emph{immersion}) et $f$ est  ouverte sur son image, alors l'image $f(U)$ est
une sous-variété de $\mathbb{R}^{p}$. On dira que $U$ est
\emph{plongé} dans $\mathbb{R}^{p}$ : $f$ réalise alors un plongement. 
\end{theo}
\begin{demo}
La première propriété est une conséquence immédiate du théorème des
fonctions implicites. En effet, l'hypothèse nous dit que, le long de
 $X_{b}$, la différentielle de $f$ est de rang $p$ : il y a donc au
voisinage de chaque point de $X_{b}$ $p$ dérivées partielles de $f$
linéairement indépendantes. Grâce au théorème des fonctions implicites, on peut alors
écrire les $p$ coordonnées correspondantes comme fonction des $n-p$
restantes, ce qui revient à paramétrer cet ouvert par un ouvert de
 $\RR{n-p}$. Sur un ouvert où deux systèmes de coordonnées «
 implicites » existent,  le théorème des fonctions implicite permet de
 voir chaque coordonnée comme fonction $\,\ci$ des $n-p$ choisies pour
 le paramétrer : il est par conséquent évident que le changement de
 carte est $\,\ci$. Maintenant, quitte à renuméroter les $f_i$, on
 peut définir l'application 
$$
\begin{array}{rccl}
F :& \RR n& \to &\RR n\\
    & (x_1,\ldots , x_n)& \mapsto &(x_1,\ldots
    ,x_{n-p},f_1((x_1,\ldots , x_n))-b_1,\ldots , f_p((x_1,\ldots , x_n))-b_p)
\end{array}
$$
qui est un difféomorphisme local de $\RR n$ car sa différentielle ne
s'annule nulle part. $F$ définit donc une carte sur chaque ouvert où
elle est injective, et dans les coordonnées $(y_1,\ldots,y_n)$
correspondantes, on a bien que $M$ est donnée par les équations
$y_{n-p+1}=\cdots=y_n=0.$

La deuxième propriété est plus simple : si $d_xf$ est injective, on
peut compléter le système libre $(d_xf_1,\ldots,d_xf_n)$ en une base
de $T^*_x\RR p$ (l'hypothèse implique $p\ge n$). Pour ce faire, on
utilisera $p-n$ combinaisons linéaires $df_{n+1},\ldots,df_p$ des $dx_i, i=1,\ldots,p$ qui
s'étendent naturellement en différentielles au voisinage de $x$. Si
$f$ est ouverte sur son image, $f(\RR n)$ est localement homéomorphe à
$\RR n$, d'autre part, le 
théorème d'inversion locale appliqué à $(f_1,\ldots,f_p)$ nous permet
d'affirmer que la fonction $\hat f$ ainsi définie est une carte sur
$\RR p =\RR n \times \RR {p-n}$. Dans les coordonnées locales induites
sur $\RR p$, on aura $f(\RR n)$ donné par les équations $f_{n+1}=\cdots=f_p=0$.
\end{demo}

Par exemple, le cercle est une sous-variété de $\mathbb{R}^{2}$ comme
image réciproque de 1 par :
\[ f:\mathbb{R}^{2}\setminus\{0\}\rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x,y)=x^{2}+y^{2}. \]
Par contre, le dessin à gauche de la figure \ref{fig:variete} ne peut être
une ligne de niveau d'une fonction de rang constant car on aurait
nécessairement $df=0$ au point double ($f$ serait constante dans
\emph{deux} directions indépendantes en $p$) : un exemple simple de ce
phénomène est donné par la fonction
\[ f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x,y)=x^{3}-y^{2}. \]


Le théorème de plongement de Whitney \cite[Problème 2, p. 182]{Dieudonne} 
affirme en outre que toute variété
de dimension $n$ peut être vue comme une sous-variété de 
$\mathbb{R}^{2n+1}$.

Le théorème qui suit généralise les deux énoncés précédents.
\begin{theo}[du rang constant]\label{th:rang_cst}
Si $X,Y$ sont deux variétés et $f:  X\to Y$, on appelle \emph {rang} de
$f$ en $x\in X$ le rang de l'application (linéaire) $T_xf : T_xX\to
T_{f(x)}Y.$
Alors, si $f$ est de rang constant, ses fibres $X_y=f^{-1}(y)$ non
vides sont des sous-variétés de $X$.

De plus, si $f$ est ouverte sur son image, $f(X)$ est une sous-variété
de $X$.
\end{theo}

 Le cas où $f$ est de rang maximal se réduit facilement au
 théorème~\ref{th:injsurj}. Voir \cite[(16.8.8), p.42]{Dieudonne} ou
 \cite[p. 58]{Malliavin} pour une démonstration du cas général.

Soit $M$ une sous-variété de $N$. Alors $TM$ est canoniquement
une sous-variété de $TN$, en effet si $v\in T_{m}M$, on peut le
voir comme un vecteur de $T_{m}N$  en définissant son action sur
$f\in \,\ci _m( N )$ par restriction : $v(f_{|M})$.
Si $x$ est une carte  de $N$ dans laquelle 
$M$ a pour équation $x_{1}=\dots =x_{k}=0$ alors $Tx$ est une carte
 de $TN$ dans laquelle $TM$ a pour équations
$x_{1}=\dots =x_{k}=v_{1}=\dots =v_{k}=0$ où $(v_{k})$ désigne les
coordonnées de $v$ dans la base $(\partial  /\partial  x_{_{k}})$.

\subparagraph{Exemple} %
Considérons $\SSS{2}$  et un point $(x,y,z)\in \SSS{2}$ situé dans
l'ouvert de la carte  :
\[ \varphi _{1}^{+} : \quad (x,y,z)\ \rightarrow \ 
(x-\sqrt{1-y^{2}-z^{2}},y,z). \]
Soit $v$ un vecteur de $T_{(x,y,z)}\mathbb{R}^{3}$, alors 
$v\in T_{(x,y,z)}\SSS{2}$ si $v(x-\sqrt{1-y^{2}-z^{2}})=0$ donc si :
\[ v_{x}+v_{y}\frac{y}{\sqrt{1-y^{2}-z^{2}}} +
v_{z}\frac{z}{\sqrt{1-y^{2}-z^{2}}} =0 \]
où $(v_{x},v_{y},v_{z})$ désignent les coordonnées de $v$ dans
la base canonique $(\partial  _{x},\partial  _{y},\partial  _{z})$. 
Finalement $v\in T_{(x,y,z)}M$ si :
\[ xv_{x}+yv_{y}+zv_{z}=0\]
que l'on peut réécrire sous la forme :
\[ df(v)=0\]
où $f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ est la fonction de rang constant
au voisinage de $\SSS{2}$, telle que $\SSS{2}=f^{-1}({1})$.

Ce fait est général : si $f$ est une application de rang constant
(c.f. le théorème~\ref{th:rang_cst}), et si $m\in f^{-1}({b})$ alors
$T_mX_{b}=\ker d_{m}f$ (voir la proposition~\ref{prop:ssfib} pour le cas
de rang maximal, et \cite[(16.8.8), p.42]{Dieudonne} pour le cas
général). On peut replacer les observations de cette section dans le
contexte plus adapté des fibrés vectoriels et de leurs
morphismes. C'est ce que nous présenterons dans la section suivante.


\subsubsection{Variétés à bord}
\label{sec:var_bord}

Les variétés $\,\ci$ sont le contexte naturel pour le calcul
différentiel. On a cependant souvent besoin d'avoir des informations
sur leur \emph{bord} pour des problèmes d'intégration ou de
régularité. Par exemple un ouvert borné dans une variété est une
sous-variété, mais son bord (au sens topologique, i.e. sa frontière)
n'est a priori qu'un espace topologique fermé. La notion de variété à
bord permet de préciser la régularité du bord. Accessoirement, on
s'aperçoit ici que le recours à la  géométrie différentielle est
inévitable, même du strict point de vue de l'analyse dans $\RR n$ ou
$\CC n$ car le bord d'un ouvert d'un espace affine n'a aucune raison
d'être (difféomorphe à) un ouvert d'un autre espace affine. 

On définit une variété à bord selon le même principe que pour une
variété sans bord, mais l'espace modèle est maintenant un demi espace
de $\RR n$. On note $\HH n=\{(x_1,\ldots,x_n)\in \RR n : x_1
\le 0\}$. On dit qu'une application de $\HH n$ dans  $\RR p$ est $\,\ci$
si elle admet un prolongement $\,\ci$ à un ouvert de $\RR n$ contenant $\HH n$.
\begin{defi}
  \label{defi:var_bord}
Un espace topologique séparé $M$ est une \emph{variété à bord} $\,\ci$ de
dimension $n$ s'il existe une collection $(U_\alpha ,\varphi _\alpha
)$ où, pour chaque $\alpha $,  $U_\alpha $ est un ouvert (leur union
recouvre $M$),  $\varphi _\alpha $ un homéomorphisme de $U_\alpha $
sur un ouvert $V_\alpha $ de $\HH n$ telle que les changement de cartes
$\varphi _{\alpha \beta }= (\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1})_{
|\varphi _{\alpha }(U_{\alpha\beta } )}$ et leurs réciproque $\varphi
_{\beta \alpha }$ soient $\,\ci$ au sens ci-dessus.

On dit qu'un point de $M$ est \emph{intérieur} s'il est contenu dans
un ouvert de $M$ dont l'image par une application de carte est un
ouvert pour la topologie de $\RR n$. Le \emph{bord} de $M$ est le
complémentaire, dans $M$, des points intérieurs. On le note $\partial 
M$ (parfois aussi $bM$ dans une certaine presse).
\end{defi}

Le tangent à $M$ est défini en tout point (y compris ceux du bord)
par la remarque que les paramétrisations $\varphi _\alpha ^{-1}$ sont
$\,\ci$ donc s'étendent au voisinage des points de $\HH n$, et ${\varphi
_\alpha ^{-1}}_*(T_x\HH n)\simeq {\varphi
_\alpha ^{-1}}_*(\RR n)$ est donc bien défini. (Une autre façon de dire
la même chose est de remarquer que la jacobienne d'une application
différentiable est déterminée par l'image de deux directions
indépendantes, et qu'on dispose de ceci, même au bord d'un demi espace.)

\begin{rema}
  Une variété au sens de la définition~\ref{def:var} sera
  désormais dite variété sans bord. C'est un cas particulier de
  variété à bord dont le bord est vide (un ouvert de $\HH n$ peut très
  bien être simultanément un ouvert de $\RR n$).
\end{rema}

Les propriétés suivantes résultent de la définition :
\begin{prop}\label{prop:var_bord}
  Si $M$ est une variété à bord de dimension $n$, l'ensemble de ses
  points intérieurs a une structure naturelle de variété (sans bord)
  $\,\ci$ de dimension $n$. Le bord $\partial  M$ a quant à lui une
  structure naturelle de variété de dimension $n-1$ s'il n'est pas vide.
\end{prop}

Pour des raisons topologiques évidentes le bord de $M$ est constitué
des points qui s'envoient par les 
$\varphi _\alpha $ dans le « bord » $\{x_1=0\}$ de $H ^n$. Il est par
suite évident que la restriction des $\varphi _\alpha $ à l'intérieur
de $M$ définit un atlas sur $M\setminus \partial  \! M$. Les $\varphi
_\alpha $ définissent par restriction à $\partial  \! M$ des cartes sur
des ouverts de $\{x_1=0\}\simeq \RR {n-1}$. Les $\varphi _{\alpha
  \beta} $ induisent alors des difféomorphismes dans ces restrictions.

La proposition suivante fournit les exemples usuels de variétés à bord
:
\begin{prop}\label{prop:var_bord_surj}
  Si $M$ est une variété $\,\ci$ (sans bord) de dimension $n$, et $f :
  M\to \RR{}$ une 
  application $\,\ci$ dont la différentielle ne s'annule pas le long
  du lieu de ses zéros, alors $M_{\leq 0}=\{x\in M : f(x)\leq 0\}$ est
  une variété à bord de dimension $n$.
\end{prop}

Le fait que $ \partial  (M_{\leq 0})= \{x\in M : f(x)=0\}$  est une
variété de dimension $n-1$ est une conséquence du
théorème~\ref{th:injsurj}. La démonstration en est identique, à ceci
près qu'il faut remplacer une égalité par une inégalité.

\begin{rema}
  Toute variété à bord est définie localement comme ceci car les
  cartes fournissent des coordonnées locales pour lesquelles $M\cap
  U_\alpha \simeq \{x_1\leq 0\}$.
\end{rema}
\noindent\Exemple
La boule unité de $\RR n$ est le premier exemple qui vient à
l'esprit. Attention, il n'y a pas de notion \emph{holomorphe}
correspondante ! (le bord d'une variété de dimension \emph{réelle} $n$
est de dimension \emph{réelle} $n -1$, donc l'intérieur et le bord ne
peuvent être simultanément des variétés complexes. L'étude du bord des
variétés complexes a donné lieu à la théorie des variétés $CR$ dont il
sera un peu question au cours de cette école.

\subsection{Fibrés vectoriels}\label{sec:fibrés}

\subsubsection{Définition}\label{sec:fib_def}

La proposition~\ref{prop:tangent} nous a permis de munir la collection
de tous les espaces tangents à une variété d'une structure de
variété. Cette structure n'est pas quelconque, puisqu'elle tient
compte de la structure d'espace vectoriel de chaque $T_mM$, et la
préserve : les changements de cartes ont la forme $T_{x(m)}y\circ
x^{-1}$, ils sont donc linéaires lorsque l'on fixe le point de $M$.
Voici la définition d'un fibré vectoriel, qui est un cas particulier
d'une fibration localement triviale.


\begin{defi}\label{def:fib}
Soit $M$ une variété $\,\ci$ de dimension $n$.
Un \emph{fibré vectoriel} $E$ de rang $r$ au dessus de $M$
 est la donnée du triplet $(E,M,\pi)$ où $E$ est une variété  $\,\ci$
 de dimension $n+r$, $\pi : E \to M$ une application $\,\ci$
 surjective dont les fibres $E_b=\pi^{-1}(b)$ admettent une structure
 d'espace vectoriel (de dimension $r$), et vérifiant la condition
 suivante :
Pour tout $m\in M$, il existe un voisinage ouvert $U$ de $m$ dans $M$
et un difféomorphisme
$$\varphi : U\times \RR r \to \pi ^{-1}(U)$$
tel que $\pi(\varphi (y,t))=t$ quels que soient $y\in U$, $t\in \RR
r$, et que, pour tout $y\in U$, l'application partielle $\varphi
(y,\cdot)$ soit une bijection linéaire de l'espace vectoriel $\RR
r$ sur l'espace vectoriel $E_y$. $\varphi $ est dite
\emph{trivialisation locale} de $E$.
\end{defi}


Comme les applications partielles $\varphi
(y,\cdot)$ sont linéaires, il existe 
%une application 
$r$ applications $\,\ci$ $s_i : U
\to E$ telles que $\pi\circ s_i=\Id_U$ pour tout $i$ et 
$\varphi (y,\xi_1,\ldots,\xi_r)=\xi_1 s_1(y) + \cdots + \xi_rs_r(y).$
On appelle le $r$-uplet $(s_1,\ldots,s_r)$ un champ de repères de $E$
sur $U$. Les applications $s_i$ sont $\,\ci$ sur $U$ (en fait
$s_i(y)=\varphi (y,e_i)$ en notant $e_i$ le $i$-ème vecteur de la base
canonique de $\RR r$). 

\Notation On appelle $M$ la \emph{base} du fibré $E$. Lorsque l'on
souhaite souligner qu'on parle de $E$ en tant que variété plutôt qu'en
tant que collection d'espaces vectoriels au dessus de la base, on
parle de l'\emph{espace total} du fibré $E$. L'espace vectoriel
$E_x=\pi^{-1}(x)$ se nomme la \emph{fibre} de $E$ au dessus de $x$.
On note $E_{|U}=\pi^{-1}(U)$ la « restriction » de $E$ à
$U$. Un fibré est dit \emph{trivial} s'il  admet une trivialisation
globale, c'est-à-dire si l'on peut choisir $U=M$ dans la définition
ci-dessus. $E_{|U}$ est donc trivial. 

Si $U_\alpha $ et $U_\beta $ sont deux ouverts de trivialisation pour
$E$,  
$\varphi_\alpha $ et $\varphi_\beta $ les trivialisations locales
correspondantes, on 
obtient sur $U_\alpha \cap U_\beta =U_{\alpha \beta }$ une application 
$ \varphi _\beta ^{-1} \circ\varphi _\alpha $ qui laisse les points de
la base invariants. On en déduit pour tout $y\in U_{\alpha \beta }$ un
\emph{automorphisme de   transition} $\tau_{ \beta\alpha } (y)$ qui
agit bijectivement et linéairement %sur chaque espace 
sur $\RR r$ en écrivant $\varphi _\beta ^{-1} \circ\varphi _\alpha (y,\xi
)=(y,\tau_{ \beta\alpha }\cdot\xi)$. 
Les applications $\tau_{ \beta\alpha }$ décrivent la façon dont on
recolle les fibres d'une trivialisation locale à l'autre. Pour être
cohérentes, elles doivent vérifier la relation de cocycle $\tau
_{\gamma\beta }\circ \tau_{ \beta\alpha }= \tau _{\gamma \alpha }$ sur
les ouverts $U_\alpha \cap U_\beta \cap U_\gamma $.
En fait, un fibré vectoriel $E$ de rang $r$ au dessus de $M$ est
équivalent à la donnée d'une collection d'ouverts de trivialisation
$U_\alpha $ et à une collection d'automorphismes $\tau_{ \beta\alpha
  } : U_{\alpha \beta}\to Gl_r(\RR r)$ pour chaque couple $\alpha
,\beta $ tel que $U_\alpha \cap U_\beta  =U_{\alpha \beta }\not=
\emptyset$ qui vérifient la condition de cocycle\footnote{Ceci donne une
identification entre les classes d'isomorphismes de fibrés vectoriels
sur $M$ et la cohomologie de \v Cech du faisceau constant $Gl(\RR r)$
sur $M$ en degré 1.}.

 \begin{rema}
  En remplaçant $\,\ci$ par holomorphe, et en prenant comme espace
  vectoriel de référence $\CC r$, on définit de même un fibré
  vectoriel holomorphe au dessus d'une variété complexe. La structure
  de variété holomorphe sur l'espace total du fibré est évidente dès
  que l'on remarque qu'une application linéaire est holomorphe si et
  seulement si elle est $\CC{}$-linéaire.
\end{rema}

\noindent\Exemples \begin{enumerate}
\item Les variétés $M\times \RR r$ sont des fibrés triviaux pour tout
  $r$. Le tangent à $\RR n$ s'identifie naturellement au fibré trivial
  $\RR n\times\RR n$.
\item Les fibrés $TM$ et $T^*M$ sont triviaux sur les ouverts de
carte de $M$. En effet, on peut reformuler la démonstration de la
proposition~\ref{prop:tangent} comme ceci : si $\psi : V\to U \subset
M$ est une paramétrisation 
d'un ouvert $U$ de $M$, alors $T\psi : TV\simeq T\RR n_{|V}\simeq V\times
\RR n \to T_{\psi (x)}M_{|U}$ est une trivialisation de $TM$ au dessus
de $U$. On a de même que $T^*\psi$ est une trivialisation  de
$T^*M_{|U}$ d'après la proposition~\ref{prop:cotangent}.
\item Un fibré sur un ouvert contractile est toujours trivial. Un
  fibré sur $\SSS 1$ est par conséquent trivial sur un ouvert omettant
  au plus un point de $\SSS 1$. Par exemple, le fibré tangent à $\SSS 1$
  est trivial (Ex. 2 ci-dessous), mais le fibré tangent à $\SSS 2$ ne
  l'est pas. L'exercice 3 donne un exemple de fibré non trivial sur
  $\SSS 1$.
\end{enumerate}
\noindent\Exercices
\begin{enumerate}
\item En utilisant un atlas de $M$ et les trivialisations locales de
  $E$, exhiber un atlas de $E$. 
\item Montrer que le fibré tangent à $\TT n$ est trivial.
\item On recouvre $\SSS 1$ par les deux ouverts $U_0$ et
  $U_\pi$. Comme $U_0\cap U_\pi$ est composé de deux composantes
  connexes, on peut définir un fibré en droites $L$ sur $\SSS 1$
  trivial sur $U_0$ et $U_\pi$, de telle sorte que les automorphismes
  de transition soient $1$ sur une des composantes, $-1$ sur l'autre
  (les automorphismes de $\RR{}$ sont les multiplications par une
  constante non nulle). Montrer que ce fibré n'est pas
  trivial. Montrer que l'espace total de ce fibré est difféomorphe à
  la bande de Möbius (telle que définie par \cite[Exercice 5.9.11,
  p. 202]{Berger}).  
\end{enumerate}


\subsubsection{Sections, morphismes} \label{sec:section}

\begin{defi}\label{def:section}
  Une section du fibré $(E,M,\pi)$ est une application $\,\ci$ $s
  :M\to E$ telle que $\pi\circ s=\Id _M$. On note $\Gamma (U,E)$
  l'espace des section $\,\ci$ de $E_{|U}$. Il a une structure
  naturelle d'espace vectoriel.
\end{defi}

On peut voir une section comme une application, de $M$ dans $\RR r$,
mais dont le but bouge en même temps que l'origine. Localement, le
fibré étant trivial, une section peut toujours s'identifier à une
telle application. En composant $\varphi_\alpha ^{-1}$ avec la
projection sur le facteur $\RR r$ du produit cartésien $U_\alpha
\times  \RR r$ on définit une application $\psi_\alpha : E_{|U_\alpha
  } \to \RR r$ telle que $\tau_{ \beta\alpha }\circ \psi_\alpha =
\psi_\beta $. On en déduit qu'une collection d'applications $s_\alpha
:U_\alpha \to \RR r$ définit une section de $E$ sur $M$ si et
seulement si la condition de compatibilité suivante est vérifiée :
\begin{equation}
  \label{eq:compat_sect}
  \tau_{ \beta\alpha }\circ s_\alpha =s_\beta.
\end{equation}


\Exemples %
\begin{enumerate}
  \item Un champ de vecteurs sur une variété $M$ est par définition
    une section de $TM$. 
La dualité entre $TM$ et $T^{*}M$ permet d'identifier les applications
de $TM\rightarrow \mathbb{R}$ qui sont linéaires sur les fibres
avec les sections de $T^{*}M$ (également appelées champs de $1$-formes)
et de même les applications de
$T^{*}M\rightarrow \mathbb{R}$ qui sont linéaires avec les sections
de $TM$ (les champs de vecteurs). 
\item De même que le graphe d'une fonction de $\RR n$ dans $\RR p$
  définit une sous-variété de $\RR{n+p}$ on peut voir une section
  comme une sous-variété de $E$, à laquelle la projection $\pi$ se
  restreint en un difféomorphisme sur $M$.
\item Comme une application linéaire conserve le vecteur nul, les
  équations $s_\alpha =0$ données sur tous les
  $U_\alpha $ vérifient bien les conditions
  (\ref{eq:compat_sect}). Elles définissent par conséquent une section
  globale de $E$ sur $M$ : la \emph{section nulle}. À l'aide de cette
  remarque, on peut fabriquer des tas de sections $\,\ci$ non nulles
  d'un fibré vectoriel : il suffit de prendre une section $\,\ci$ à
  support\footnote{\label{def:support}On appelle \emph{support} d'une section l'adhérence de
  l'ensemble des points de $M$ où elle n'est pas nulle. Il faut
  prendre garde au fait que « zéro » est la seule « valeur » d'une
  section d'un fibré vectoriel arbitraire qui soit bien définie.}
compact dans un des ouverts $U_\alpha $, et de la prolonger   par 0.
  On peut ensuite prendre des combinaisons linéaires
  arbitraires de telles sections. Par contraste, de nombreux  fibrés
  vectoriels   holomorphes n'ont aucune section holomorphe non nulle !

\end{enumerate}

\Exercice
Montrer qu'un fibré en droites est trivial si et seulement s'il admet
une section globale qui ne s'annule pas. Prouver soigneusement que
toute section du fibré non trivial sur $\SSS 1$ défini au \S{} précédent
s'annule en au moins un point.

\begin{rema} \label{rem:connexion}
Les fibres d'un fibré vectoriel (par exemple le cotangent ou le tangent
à une variété) sont des espaces vectoriels de même dimension,
mais il n'existe pas d'isomorphisme naturel entre elles (c'est par
exemple la donnée d'une connexion qui permet de le faire le long de 
chemins de la base du fibré).
\end{rema}

\begin{defi}
   \label{def:morph}
Soient $E\stackrel\pi\longrightarrow M, E'\stackrel{\pi '}\longrightarrow M$ deux fibrés vectoriels
sur une même variété $M$. Un 
morphisme de fibrés vectoriels est une application $\,\ci$
$\Phi : E\to E'$ qui préserve les fibres et qui est linéaire en
restriction à celles-ci.
\end{defi}

La première condition signifie qu'il existe une application $\varphi $
de $M$ dans elle-même faisant commuter  le diagramme
$$\begin{array}{ccc}
E&\stackrel\Phi\longrightarrow &{E'}\\
\downarrow &&\downarrow\\
M&\stackrel\varphi\longrightarrow &M.
\end{array}
$$
La seconde signifie que la restriction de $\Phi $ à la fibre $E_x$ en
un point définit une application linéaire $\Phi_x : E_x\to E'_{\varphi
  (x)}$. 

Un sous-fibré $F$ d'un fibré vectoriel $E$ est un fibré dont les
fibres sont des sous-espaces vectoriels de celles de $E$ et qui est
localement engendré par $\rang F$ sections de $E$. $F$ est alors une
sous-variété fermée de $E$, et l'inclusion est un morphisme de $F$ dans $E$. 


Le rang d'un morphisme en $x$ est
défini comme le rang de $\Phi _x$, il n'est pas nécessairement
constant, mais il est toujours semi-continu inférieurement.

\begin{prop}\label{prop:ssfib}
  Si $\Phi : E \to F$ est un morphisme de fibrés vectoriels dont le
  rang  est localement constant, alors son image et son noyau sont des
  sous-fibrés de, respectivement, $F$ et $E$.
\end{prop}

C'est la version « fibrés vectoriels » du
théorème~\ref{th:rang_cst}, mais le fait que les morphismes soient
linéaires sur les fibres simplifie l'argument. En fait, le théorème du rang s'appliquant
ponctuellement, l'une ou l'autre des deux conclusions implique
l'hypothèse.

\Preuve On suppose donc $\rang \Phi _x=p\ \forall x\in M$.
Le problème est clairement local. Soit $(s_1,\ldots,s_r)$ un champ de
repères sur $U\subset M$. Alors les combinaisons de $\Phi
(s_1),\ldots,\Phi (s_r)$  engendrent l'image de $\Phi $ en chaque point de
$U$. La condition d'indépendance linéaire étant ouverte, quitte à
restreindre $U$, tous les $\Phi (E_x)$ pour $x\in U$ sont engendrés
par une sous-famille $\Phi (s_1),\ldots,\Phi (s_p)$, qui peut être
complétée (localement) en un champ de repères. Ceci prouve que
l'image $\cup_{x\in M} \Phi (E_x)$ est bien un sous-fibré de $F$.  
Maintenant, pour $k>p, \Phi (s_k)$ est une combinaison linéaire des 
$\Phi (s_j),j=1,\ldots,p$. On en déduit un champ de repères de $E$ sur
$U$ de la forme $(s_1,\ldots,s_p,s_{p+1}-\sum_{j=1}^p \sigma
_{p+1j}s_j,\ldots ,s_{r}-\sum_{j=1}^p \sigma_{rj}s_j)$. Il est clair
que le noyau de $\Phi $ est précisément le sous-fibré engendré par les
$r-p$ dernières sections.

\subsubsection{Opérations algébriques sur les fibrés vectoriels} \label{sec:fib_opé}
À toute opération algébrique sur les espaces vectoriels correspond une
opération analogue sur les fibrés. Nous donnons ici quelques exemples
: une fois assimilés, il n'est pas difficile de construire tout fibré
obtenu de la sorte.

\paragraph{Somme directe}Soient deux fibrés
$\Fib{E_1}{\pi_1}M, \Fib{E_2}{\pi_2}M$ de rang (resp.) $r_1,r_2$, on
définit la somme directe   
$E_1\oplus E_2$ de ces deux fibrés à l'aide des automorphismes de
transition de $\RR {r_1+r_2}$ donnés matriciellement par 
$$\begin{pmatrix}\tau^1_{\alpha \beta }&0\\ 0& \tau^2_{\alpha \beta }\\\end{pmatrix}.$$
\paragraph{Dual}Comme nous l'avons vu dans le cas de la dualité
tangent/cotangent, les automorphismes de transition de $E^*$ sont, en
fonction   de ceux de $E$  : $^t\tau^{-1}_{\alpha \beta }$.
\paragraph{Produit tensoriel}De même, le fibré $E_1\otimes E_2$ est
donné par les automorphismes de transition $\tau^1_{\alpha \beta
  }\otimes\tau^2_{\alpha \beta }$ sur $\RR {r_1}\otimes\RR {r_2}\simeq
\RR{r_1r_2}$. On peut ainsi interpréter un 
morphisme de fibrés comme une section du fibré des homomorphismes
$\Hom (E_1,E_2)\simeq E_2\otimes E_1^*$. 

\Exemple
On a vu que si $X$ est une sous-variété de $Y$, alors $TX$ est
de façon naturelle une sous-variété de $TY$. De plus $T_xX$ est le
sous-espace vectoriel des dérivations de $T_xY$ qui proviennent de
dérivations de restrictions à $X$ des germes de fonctions en $x$. $TX$
est donc  un sous-fibré de $TY_{|X}$. Ceci induit une suite exacte de
fibrés sur $X$ :
$$0\to TX\to TY_{|X}\to NX_{/Y}\to 0$$
où $NX_{/Y}\simeq TY_{|X}/TX$ est le fibré normal à $X$ dans $Y$.
Il n'existe pas de façon naturelle de voir $T^{*}X$
comme une sous-variété de $T^{*}Y$.  En fait, la suite exacte duale de
la précédente :
$$0\to N^*X_{/Y} \to T^*Y_{|X}\to T^*X\to 0$$
montre que $T^*X $ est un quotient de $T^*Y_{|X}$. En revanche, le
conormal $N^*X_{/Y}$ de $X$ dans $Y$
est naturellement
un sous-fibré de $T^{*}Y_{|X}$. Cette inclusion peut se voir
élémentairement : point par point, on prend l'orthogonal
pour la dualité tangent-cotangent de $T_{x}X$ vu comme sous-espace
de $T_{x}X$ :
\[ N^*X_{/Y}= \{ (x, d_{x}f), x\in X, d_{x}f\in T^{*}_{x}Y  :
T_{x}X\subset \ker  d_{x}f \}. \]

Si on prend une carte  $\varphi$ sur $Y$ telle que $X$ ait pour
équations locales $\varphi_{1}=\cdots =\varphi_{k}=0$ ($\dim X=n-k$), alors
$(x,d_{x}f)\in N^*X_{/Y} $ si et seulement si :
\begin{itemize}
\item $x\in X$,
\item $d_{x}f(\partial  /\partial  \varphi_{i})=0$ pour $i>k$.
\end{itemize}
Donc :
\[ d_{x}f=\sum _{i=1}^{k} \frac{\partial  f}{\partial  \varphi_{i}} d\varphi_{i}  \]
On en déduit que $N^*X_{/Y}$ est une sous-variété de $T^{*}Y$ de
dimension $n-k+k=n=\dim N$.


\begin{rema} \label{rem:conormal}
S'il existe un isomorphisme canonique entre $TY$ et $T^{*}Y$ issue
d'une forme bilinéaire non dégénérée, $N^*X_{/Y}$ s'identifie
à $TX^{\perp}=\cup _{x\in X} \{ x\} \times (T_{x}X)^{\perp}$
où $\perp$  désigne l'orthogonal pour la forme bilinéaire en question.
\end{rema}
\clearpage
\section{Formes différentielles} \label{sec:tenseurs}
Dans cette section on généralise le calcul différentiel de $\mathbb{R}^{n}$ 
à une variété. On se ramène donc systématiquement à $\mathbb{R}^{n}$ 
au moyen de cartes.

\subsection{Définition des tenseurs} \label{sec:def_tenseur}
On va poursuivre le point de vue développé à la section \ref{sec:section}
et considérer la variété 
\[ T_{(k,l)}M= %\cup _{m\in M} \{ m \} \times_M 
T^{*}M\times_M  \dots  \times_M 
T^{*}M\times _M TM \times_M  \dots  \times_M  TM \]
où l'on a fait $k$ produits de $T^{*}M$ et $l$ produits
de $TM$. Il s'agit ici de produits fibrés, c'est-à-dire d'une
somme directe abstraite des fibres au dessus de chaque point base, non
du produit cartésien des espaces totaux.
On appelle tenseur de type $(k,l)$ la donnée d'une
application $\,\ci $ et multilinéaire de $T_{(k,l)}M$ sur $\mathbb{R}$ 
(i.e. linéaire par rapport à chaque $T^{*}M$ 
et à chaque $TM$). Par dualité, un tenseur de type $(k,l)$ 
est une section de
\[T^{(k,l)}M
=%\cup _{m\in M} \{ m \} \times 
TM\otimes \dots  \otimes
TM\otimes T^*M \otimes \dots  \otimes T^*M .\] 
Selon ce formalisme, les champs de vecteurs sont les tenseurs de type
$(1,0)$ et les champs de $1$-forme les tenseurs de type $(0,1)$.
Les tenseurs de type $(k,0)$ sont dits contravariants, ceux de type
$(0,l)$ sont dits covariants. 

À l'aide d'un tenseur de type $(k,l)$ et d'un tenseur de type $(k',l')$ 
on peut construire un tenseur de type $(k+k',l+l')$ en en faisant
le produit (tensoriel). Grâce à la linéarité, tout tenseur
de type $(k,l)$ est une somme de produits tensoriels de $k$ champs
de vecteurs par $l$ $1$-formes, donc la dimension de $T^{(k,l)}_{m}M$ 
est $n^{k+l}$, puisque si $T$ est un tenseur de type $(k,l)$, il
existe $n^{k+l}$ réels tels que (en coordonnées locales):
\begin{equation} \label{eq:tenseur}
 T = \sum _{\mu _{1},\dots ,\mu _{k},\nu _{1},\dots ,\nu _{l}\in [1,n]}
T^{\mu _{1}\dots \mu _{k}}_{\nu _{1}\dots \nu _{l}}
\frac{\partial  }{\partial  x_{\mu _{1}}} \otimes \dots  
\otimes \frac{\partial  }{\partial  x_{\mu _{k}}}  \otimes dx^{\nu _{1}}
\otimes \dots  \otimes dx^{\nu _{l}} .
\end{equation}
Lorsqu'on change de systèmes de coordonnées, on obtient les nouvelles
composantes en fonction des anciennes en appliquant les formules
de changement de coordonnées pour les champs de vecteurs et de $1$-formes
(\ref{eq:change_vect}) et (\ref{eq:change_df}) dans (\ref{eq:tenseur}) :
\[ T^{\mu' _{1}\dots \mu' _{k}}_{\nu' _{1}\dots \nu' _{l}}
=\sum_{\mu _{1},\dots ,\mu _{k},\nu _{1},\dots ,\nu _{l}\in [1,n]} 
\frac{\partial  x_{\mu '_{1}}}{\partial  x_{\mu _{1}}} \times
\dots  \times \frac{\partial  x_{\mu '_{k}}}{\partial  x_{\mu _{k}}} \times
\frac{\partial  x_{\nu _{1}}}{\partial  x_{\nu '_{1}}} \times
\frac{\partial  x_{\mu _{l}}}{\partial  x_{\nu '_{l}}} 
T^{\mu _{1}\dots \mu _{k}}_{\nu _{1}\dots \nu _{l}}. \]


Les composantes d'un tenseur $T$ de type $(k,l)$ sont donc les
\[ T^{a_{1}\dots a_{k}}_{b_{1}\dots b_{l}} \]
avec $1\leq a_{1}\leq n,\dots ,1\leq b_{l}\leq n$.

\subparagraph{Convention}
Lorsqu'on a des égalités entre composantes de tenseurs, 
on utilise des let\-tres romaines comme
indice si l'égalité est valable dans tout système de coordonnées
(c'est alors une égalité entre tenseurs) et des lettres grecques
si l'égalité n'est valable que dans un système de coordonnées.

Par exemple, considérons le tenseur 
$dx^{1}\wedge dx^{2}=dx^{1}\otimes dx^{2}-dx^{2}\otimes dx^{1}$, on a :
\[ (dx^{1}\wedge dx^{2})_{a_{1}a_{2}}=
(dx^{1}\otimes dx^{2})_{a_{1}a_{2}}
-(dx^{2}\otimes dx^{1})_{a_{1}a_{2}} \]
car l'égalité composante par composante est vraie dans n'importe
quel système de coordonnées, pas seulement dans le système
$(x_{1},\dots ,x_{n})$. Par contre, l'égalité
\[ [(dx^{1}\otimes dx^{2})_{\alpha _{1}\alpha _{2}}]^{2}
=(dx^{1}\otimes dx^{2})_{\alpha _{1}\alpha _{2}}\]
n'est vraie que dans le système de coordonnées $(x_{1},\dots ,x_{n}) $
car ce n'est que dans ce système que toutes les composantes de ce tenseur 
sont 0 ou 1, donc on utilise les lettres grecques.

On adopte donc pour un champ
de vecteur la notation $v^{c}$ et pour un champ de $1$-formes $w_{c}$ .
\begin{defi} \label{def:crochetLie}
Soient $v$ et $w$ deux champs de vecteurs. On remarque que
l'application :
\[ f\in \,\ci (m,\mathbb{R}) \ \rightarrow \ v(w(f))-w(v(f)) \]
vérifie les critères (\ref{eq:linearite}) et (\ref{eq:Leibniz}),
il s'agit donc d'un champ de vecteurs appelé crochet de Lie
des deux champs $v$ et $w$ et noté $[v,w]$.
\end{defi}
En coordonnées, on a :
\begin{eqnarray*}
[v,w]f&=&v(w(f))-w(v(f))\\
&=& v(w^{a}\partial  _{a}f)-w(v^{a}\partial  _{a}f) \\
&=& v^{b}\partial  _{b}(w^{a}\partial  _{a}f)- w^{b}\partial  _{b}(v^{a}\partial  _{a}f)\\
&=& (v^{b}\partial  _{b}w^{a}-w^{b}\partial  _{b}v^{a})\partial  _{a}f,
\end{eqnarray*}
donc :
\begin{equation} \label{eq:Lie_coord}
[v,w]^{a}=v^{b}\partial  _{b}v^{a}-w^{b}\partial  _{b}v^{a}.
\end{equation}


\begin{rema} \label{rem:index}
Il ne faut pas confondre les indices de composantes de tenseur avec
d'éventuels indices permettant de différencier plusieurs tenseurs.
Par exemple, ci-dessus $dx^{1}$ désigne une forme différentielle
obtenue en prenant la différentielle de la première coordonnée,
ce n'est pas la première composante d'un tenseur.
\end{rema}


\subsection{Opérations sur les tenseurs} \label{sec:op_tenseur}

\subsubsection{Produit tensoriel} \label{sec:prod_tens}
Il a déjà été défini dans la section précédente, on obtient
ainsi une application de $T^{(k,l)}M \times T^{(k',l')}M$ 
dans $T^{(k+k',l+l')}M$.


\subsubsection{Contraction} \label{sec:contraction}
On suppose que $k\geq 1$ et $l\geq 1$. La contraction permet de définir
un tenseur de type $(k-1,l-1)$:
\[ T^{a_{1}\dots a_{k}}_{b_{1}\dots b_{l}} \rightarrow 
CT=T^{a_{1}\dots c\dots a_{k}}_{b_{1}\dots c\dots b_{l}}  \]
On fixe tous les indices sauf l'indice covariant et l'indice contravariant
par rapport auxquels on va effectuer la contraction. On obtient alors
un endomorphisme $\varphi $ de $TM$, 
il est défini en coordonnées locales par
\[ v^{c} \rightarrow \varphi (v^{c})=w^{d}=
\sum _{c=1}^{n} T^{a_{1}\dots d\dots a_{k}}_{b_{1}\dots c\dots b_{l}} v^{c} \]
ou plus géométriquement, un tenseur d'ordre $(1,1)$ est une application
bilinéaire de $T^{*}_{m}M\times T_{m}M$ donc si on fixe un vecteur $v$ 
de $T_{m}M$ on a une forme linéaire sur $T^{*}_{m}M$ c'est-à-dire
un vecteur $w=\varphi (v)$ de $T_{m}M=(T^{*}_{m}M)^{*}$.

On calcule alors la trace de cette application linéaire. On a ainsi
défini un tenseur d'ordre $(k-1,l-1)$. En coordonnées locales,
on a :
\[ (CT)^{\mu _{1}\dots \mu _{k-1}}_{\nu _{1}\dots \nu _{l-1}} 
=\sum _{\lambda \in [1,n]} 
T^{\mu _{1}\dots \lambda \dots \mu _{k-1}}_{\nu _{1}\dots \lambda \dots \nu _{l-1}} \]
ce qui justifie la notation que l'on a choisie pour le tenseur $CT$.

Pour les tenseurs entièrement covariants ou entièrement contravariant,
on peut définir les o\-pé\-ra\-tions de symétrisation et
d'antisymétrisation.


\subsubsection{Symétrisation} \label{sec:sym}
Si on compose un tenseur covariant (ou contravariant) avec une permutation
des $l$ espaces vectoriels $T_{m}M$ sur le produit desquels il agit,
on obtient un nouveau tenseur. On peut donc construire un tenseur
symétrique à partir d'un tenseur quelconque en faisant agir
tout le groupe des permutations de $l$ éléments :
\[ T_{(a_{1}\dots a_{l})} =\frac{1}{l\,!} \sum _{\sigma \in{\mathfrak{S}} _{l}}
T_{a_{\sigma (1)}\dots a_{\sigma (l)}} \]
les parenthèses signifient par convention que l'on a symétrisé
le tenseur. Le coefficient $1/l\,!$ assure que le symétrisé d'un
tenseur symétrique est égal à lui-même.

Par exemple, le tenseur métrique est un tenseur symétrique de type $(0,2)$.
Il est à la base de la géométrie riemannienne.

Le rang du fibré  des tenseurs symétriques covariants d'ordre $l$ 
est 
\[\mathsf{C}\mathstrut^{l}_{n+l-1}=\card \{ b :  b_{1}\leq \dots \leq b_{l}\}\]
(on rajoute $i-1$ à chacun des $b_{i}$ pour avoir des inégalités 
strictes d'où le résultat).


\subsubsection{Antisymétrisation} \label{sec:antisym}
\[ T_{[a_{1}\dots a_{l}]} =\frac{1}{l\,!} \sum _{\sigma \in{\mathfrak{S}} _{l}}
(-1)^{\varepsilon (\sigma )} T_{a_{\sigma (1)}\dots a_{\sigma (l)}} \]
où $\varepsilon (\sigma )$ désigne la parité de la permutation
$\sigma $. Le crochet signifie que l'on a antisymétrisé le
tenseur. Si $l>n$, le seul tenseur antisymétrique d'ordre $l$ est
le tenseur nul.

Un tenseur antisymétrique covariant [respectivement
contravariant] d'ordre $l$ est appelé $l$-forme différentielle
[respectivement $l$-vecteur].
Le rang du fibré  $\BigWedge^{l}T^*M $ 
des $l$-formes différentielles est
\[\mathsf{C}\mathstrut^{l}_{n}=\card \{ b : b_{1}<\dots <b_{l}\}.\]

%\subparagraph{Exemple} %{\em Exemple:\/}\\
%Le champ électromagnétique est un tenseur antisymétrique d'ordre
%2 dans l'espace-temps, en coordonnées locales:
%\[ F=(B_{1}dx_{1}+B_{2}dx_{2}+B_{3}dx_{3})\wedge dt
%+E_{1}dx_{2}\wedge dx_{3}+E_{2}dx_{3}\wedge dx_{1}+E_{3}dx_{1}\wedge dx_{2}\]

\subsection{Formes différentielles} \label{sec:formes_diff}
Les opérations de produit tensoriel et de contraction se
traduisent après antisymétrisation en produit extérieur ($\wedge$)
de formes et produit intérieur d'un vecteur par une forme.


\subsubsection{Produit extérieur} \label{sec:wedge}
On pose :
\[ (T\wedge R)_{a_{1}\dots a_{t+r}} 
=\frac{1}{t! r!} (-1)^{\varepsilon (\sigma )}\sum _{\sigma \in{\mathfrak{S}} _{r+t}}
T_{a_{\sigma (1)}\dots a _{\sigma (t)}} 
R_{a_{\sigma (t+1)}\dots a _{\sigma (t+r)}} \]

Par exemple, dans le système de coordonnées $(x^{1},\dots ,x^{n})$,
$(dx^{1})_{\alpha _{1}}=1$ si $\alpha _{1}=1$ et 0 sinon,
$(dx^{2})_{\alpha _{2}}=1$ si $\alpha _{2}=2$ et 0 sinon. Donc
\[ (dx^{1}\wedge dx^{2})_{\alpha _{1}\alpha _{2}}=
\sum _{\sigma \in{\mathfrak{S}} _{2}}
(-1)^{\varepsilon (\sigma )} (dx^{1})_{\alpha _{\sigma (1)}}
(dx^{2})_{\alpha _{\sigma (2)}} \]
est non nul si $(\alpha _{1},\alpha _{2})=(1,2)$ 
ou $(2,1)$ et vaut respectivement 1 et -1. On a donc bien
\[ dx^{1} \wedge dx^{2} = dx^{1} \otimes dx^{2} - dx^{2} \otimes dx^{1} \]
car deux tenseurs qui ont même composantes dans un système de coordonnées
sont forcément égaux.

\begin{prop} \label{prop:sym}
Le produit extérieur a les  propriétés suivantes :

Antisymétrie :
\[ R \wedge T = (-1)^{rt} T \wedge R. \]

Associativité : \label{prop:associativite}
\[ (T\wedge R)\wedge S= T \wedge (R \wedge S). \]
\end{prop}

\emph{Démonstration :}\\
$\bullet\quad$ Antisymétrie.
\[ (R \wedge T)_{a_{1}\dots a_{t+r}} 
=\frac{1}{t! r!} \sum _{\sigma \in{\mathfrak{S}} _{r+t}} (-1)^{\varepsilon (\sigma )}
T_{a_{\sigma (1)}\dots a _{\sigma (t)}} 
R_{a_{\sigma (t+1)}\dots a _{\sigma (t+r)}}. \]
On effectue le changement d'indice de sommation :
\[ \sigma = \sigma ' \circ 
\left(\begin{array}{cccccc}
1 & \dots  & r & r+1 & \dots  & r+t \\
t+1 & \dots  & t+r & 1 & \dots  & t
\end{array}\right) \]
d'où :
\[ (R \wedge T)_{a_{1}\dots a_{t+r}} 
=\frac{1}{t! r!} \sum _{\sigma' \in{\mathfrak{S}} _{r+t}}
(-1)^{\varepsilon (\sigma' )}  (-1)^{\varepsilon ((t+1\dots t+r\ 1 \dots  t))}
T_{a_{\sigma' (t+1)}\dots a _{\sigma' (t+r)}} 
R_{a_{\sigma' (1)}\dots a _{\sigma '(r)}}. \]
Comme 
\[ \varepsilon ((t+1\dots t+r\ 1 \dots  t))=
\varepsilon ((2 \dots  r+t\ 1)^{t})=[(-1)^{r+t+1}]^{t}=(-1)^{rt}, \]
on a bien
\[ (R \wedge T)_{a_{1}\dots a_{t+r}} =(-1)^{rt} (T\wedge R)_{a_{1}\dots a_{t+r}}. \]


$\bullet\quad$ Associativité.
\begin{displaymath}
\begin{split}
((T\wedge R)\wedge S)_{a_{1}\dots a_{l}} 
&=\frac{1}{(r+t)!s!} \sum _{\sigma \in{\mathfrak{S}} _{t+r+s}} 
(-1)^{\varepsilon (\sigma )}
(T \wedge R)_{a_{\sigma (1)}\dots a _{\sigma (t+r)}} 
S_{a_{\sigma (t+r+1)}\dots a _{\sigma (t+r+s)}} \\
& =  \frac{1}{(r+t)! r! t! s!} 
\sum (-1)^{\varepsilon (\sigma )+\varepsilon (\sigma ')} 
T_{a_{\sigma '\circ \sigma (1)}\dots a _{\sigma ' \circ \sigma (t)}} \\
&\phantom{=  \frac{1}{(r+t)! r! t! s!}\sum (-1)}
\times R_{a_{\sigma '\circ \sigma (t+1)}\dots a _{\sigma '\circ\sigma (t+r)}} 
S_{a_{\sigma (t+r+1)}\dots a _{\sigma (t+r+s)}} 
\end{split}
  \end{displaymath}
où la somme porte sur $ \sigma \in{\mathfrak{S}} _{t+r+s}, \sigma '\in 
\sigma (\{ \sigma (1),\dots ,\sigma (t+r)\})$.
Comme $S$ est antisymétrique :
\[ S_{a_{1}\dots a_{l}} =\frac{1}{s!} 
\sum _{\sigma '{'}\in{\mathfrak{S}} (\{ \sigma (t+r+1),\dots ,\sigma (t+r+s)\} ) }
(-1)^{\varepsilon (\sigma '{'})}
S_{a_{\sigma '{'}\circ \sigma (t+r+1)}\dots a _{\sigma '{'}\circ \sigma (t+r+s)}} .
\]
Avec $\sigma '$ et $\sigma '{'}$, on construit une permutation
$\tilde{\sigma }$ de $\{1,\dots ,t+r+1\}$ qui fixe 
$\{\sigma (1),\dots ,\sigma (t+r)\}$ et $\{\sigma (t+r+1),\dots ,\sigma (t+r+s)\}$.
Donc :
\begin{displaymath}
  \begin{split}
((T\wedge R)\wedge S)_{a_{1}\dots a_{l}} 
&=\frac{1}{(r+t)! s! r! t! s!} 
\sum 
(-1)^{\varepsilon (\sigma )+\varepsilon (\tilde{\sigma })}
T_{a_{\tilde{\sigma }\circ \sigma (1)}\dots a _{\tilde{\sigma }  \circ \sigma (t)}} \\
&\phantom{=\frac{1}{(r+t)! s! r! t! s!} \sum }
\times R_{a_{\tilde{\sigma }\circ \sigma (t+1)}\dots a _{\tilde{\sigma }\circ\sigma (t+r)}} 
S_{a_{\tilde{\sigma }\circ \sigma (t+r+1)}\dots a _{\tilde{\sigma }\circ\sigma (t+r+s)}} 
\end{split}
\end{displaymath}
où la somme porte sur $\sigma, \tilde{\sigma } \in{\mathfrak{S}} _{t+r+s},
 \tilde{\sigma } 
\mbox{ fixant } \{ \sigma (1),\dots ,\sigma (t+r)\} \mbox{ et }
\{ \sigma (t+r+1),\dots ,\sigma (t+r+s)\} $.
On change d'indice de sommation en remplaçant $\sigma $ par
 $\tau=\tilde{\sigma }\circ \sigma $, et on s'aperçoit que
 la somme obtenue ne dépend pas de $\tilde{\sigma }$: lorsqu'on somme
 sur $\tilde{\sigma }$, il apparaît le nombre de permutations
 qui fixent $\{\sigma (1),\dots ,\sigma (t+r)\}$ et $\{ \sigma (t+r+1),\dots 
,\sigma (t+r+s)\}$, c'est-à-dire $s! (r+t)!$.
 Il vient finalement :
\begin{equation} \label{eq:wedge}
 ((T\wedge R)\wedge S)_{a_{1}\dots a_{l}} 
=\frac{1}{r! t! s!} 
\sum _{\sigma \in \tau _{t+r+s} }
(-1)^{\varepsilon (\tau )}
T_{a_{\tau (1)}\dots a _{\tau (t)}} 
R_{a_{\tau (t+1)}\dots a _{\tau (t+r)}} 
S_{a_{\tau (t+r+1)}\dots a _{\tau (t+r+s)}} .
\end{equation}
La formule ci-dessus ne dépend que de $T,R, S$, elle serait donc
identique pour  $(T\wedge(R\wedge S))$, on conclut ainsi à
l'associativité. 

On généralise sans difficultés la formule (\ref{eq:wedge})
a un produit extérieur de $n$ formes différentielles de degré
quelconque. Par exemple, si $(x_{1},\dots ,x_{n})$ est un système
de coordonnées locales, on a :
\[ (dx^{i_{1}}\wedge \dots dx^{i_{k}})_{\alpha _{1}\dots \alpha _{k}}
= 0, 1 \mbox{ ou } -1 \]
le résultat est nul si deux au moins des indices $i_{k}$ 
sont égaux ou si les ensembles $\{i_{1},\dots ,i_{k}\}$ 
et $\{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{k}\}$ sont distincts et vaut 
$(-1)^{\varepsilon (\sigma )}$ dans le cas contraire, 
($\sigma $ désignant
la permutation telle que $\sigma (i_{k})=\alpha _{k}$).

\paragraph{Base des $l$-formes différentielles}
En coordonnées locales, on peut prendre les
\[ dx^{i _{1}} \wedge \dots  \wedge dx^{i_{l}}, \quad
1\leq i _{1}<\dots <i _{l}\leq n \]
(ici les $i_{k}$ sont des indices permettant de différencier des
formes différentielles, ce ne sont pas des composantes d'un tenseur).

\Notation Étant donné un multi-indice $I=(i_1,\ldots,i_l)\in [1,n]^k$ on
notera $|I|=l$ la \emph{longueur} du multi-indice, et $dx^I=dx^{i
  _{1}} \wedge \dots  \wedge dx^{i_{l}} $.
\begin{rema} \label{rem:wedge}
Les fonctions de $M$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ peuvent être
vues comme des $0$-formes, les formules précédentes sont alors
valables si on définit le produit extérieur d'une $p$-forme
par une $0$-forme comme le produit usuel.
\end{rema}


\subsubsection{Produit intérieur par un champ de vecteurs} 
\label{sec:interieur}

\begin{defi} \label{def:interieur}
Soit $T$ un tenseur antisymétrique et $v$ un champ de vecteurs.
On contracte le tenseur sur sa première composante avec le champ
de vecteurs :
\[ (i(v)T)_{a_{2}\dots a_{t}} 
=T_{a_{1}\dots a_{t}} v^{a_{1}},\]
on obtient ainsi un tenseur de type $(0,t-1)$ qui est clairement 
antisymétrique.
\end{defi}

\subparagraph{Exemple} %Exemple:\\
Si $v$ a pour coordonnées $(v_{1},v_{2})$ dans la base duale
de la base $(dx^{1},dx^{2},\dots )$ alors :
\[ i(v) (dx^{1} \wedge dx^{2}) = v^{1} dx^{2} -v^{2} dx^{1}. \]


\begin{defi} \label{def:derivation}
On appelle dérivation d'ordre $d\in \mathbb{Z}$ une application
linéaire $D_{d}$ définie de $T^{(0,l)}$ vers $T^{(0,l+d)}$ pour tout $l$ 
telle que pour toutes formes différentielles $T$ et $R$ :
\begin{equation} \label{eq:derivation}
D_{d}(T \wedge R)=(D_{d}T)\wedge R + (-1)^{dt} T \wedge D_{d}R.
\end{equation}
\end{defi}

Les dérivations que nous avons vues au \S~\ref{sec:tangent} sont donc des
dérivations d'ordre~0.
\begin{prop} \label{prop:derivation}
Le produit intérieur par un vecteur est une dérivation d'ordre -1,
i.e. :
\[ i(v)(T\wedge R)=(i(v)T)\wedge R+(-1)^{t} T\wedge (i(v)R). \]
\end{prop}

\Preuve
\begin{eqnarray}  \nonumber
(i(v)(T\wedge R))_{a_{2}\dots a_{t+r}} 
&=&(T\wedge R)_{a_{1}\dots a_{t+r}} v^{a_{1}} \\
\label{eq:interm0}
&=& \frac{1}{t! r!} \sum _{\sigma \in{\mathfrak{S}} _{t+r}}
(-1)^{\varepsilon (\sigma )}T_{a_{\sigma (1)}\dots a _{\sigma (t)}} 
R_{a_{\sigma (t+1)}\dots a _{\sigma (t+r)}} v^{a_{1}}.
\end{eqnarray}
On décompose alors la somme en regardant si $k=\sigma ^{-1}(1)\in 
\{1,\dots ,t\}$ ou à $\{t+1,\dots ,t+r\}$ . Dans le premier cas, l'indice
$a_{1}$ est dans le tenseur $T$ et dans le deuxième cas dans le
tenseur $R$.

$\bullet\quad$ Premier cas.\\
Si $k\neq 1$, on associe à $\sigma $ la permutation
$\sigma \in{\mathfrak{S}} (\{2,\dots ,t+r\})$ en posant
\[ \sigma '(k)=\sigma (1), \quad
\sigma '(j)=\sigma (j), j\neq k, j\geq 2,\]
(si $k=1$, on pose $\sigma '=\sigma $), on peut réécrire $\sigma $ 
sous la forme :
\[ \sigma =\left(\begin{array}{cccccccc}
1 & 2 & \dots  &  i & \dots  & k & \dots  & t+r \\
\sigma '(k) & \sigma '(2) &\dots  & \sigma '(i) &\dots  &1 & \dots  &\sigma '(t+r)
\end{array} \right) .\]
Si $k\neq 1$, on a $\varepsilon (\sigma )=\varepsilon (\sigma ')+1$, donc
\[ (-1)^{\varepsilon (\sigma )}T_{a_{\sigma (1)}\dots a _{\sigma (t)}} 
=(-1)^{\varepsilon (\sigma ')+1} T_{a_{\sigma '(k)}a_{\sigma '(2)}\dots 
a_{\sigma '(k-1)} a_{1} a_{\sigma '(k+1)}\dots  a _{\sigma '(t)}} 
= (-1)^{\varepsilon (\sigma ')}
T_{a_{1}a_{\sigma '(2)}\dots a _{\sigma' (l)}} \]
car $T$ est antisymétrique.
Si $k=1$, l'égalité entre les deux extrêmes est évidente.
Donc la première partie de la somme (\ref{eq:interm0}) s'écrit :
\begin{eqnarray*} 
\ &=& \frac{1}{t!r!} 
\sum _{\sigma \in{\mathfrak{S}} (\{2,\dots ,t+r\}), 1\leq k\leq t}
(-1)^{\varepsilon (\sigma ')}
(i(v)T)_{a_{\sigma '(2)}\dots a_{\sigma '(t)}} 
R_{a_{\sigma' (t+1)}\dots a _{\sigma' (t+r)}} \\
\ &=& \frac{t}{t!r!} (t-1)! r! [(i(v)T)\wedge R]_{a_{2}\dots a_{t+r}} \\
\ &=& [(i(v)T)\wedge R]_{a_{2}\dots a_{t+r}}.
\end{eqnarray*}

$\bullet\quad$ Deuxième cas.\\
On associe $\sigma '$ à $\sigma $ comme dans le premier cas, et on obtient
comme terme général de la somme :
\[ (-1)^{\varepsilon (\sigma ')+1} T_{a_{\sigma '(k)}a_{\sigma '(2)}
\dots a _{\sigma '(t)}} R_{a_{\sigma' (t+1)}\dots a_{\sigma '(k-1)}
a_{1}a_{\sigma '(k+1)}\dots a _{\sigma (t+r)}}v^{a_{1}} .\]
On fait alors le changement d'indice de sommation :
\[ \tilde{\sigma }=\sigma '\circ \left(\begin{array}{ccccc}
2 & 3&\dots &t+1 &k\\ 
k & 2 &\dots & t &t+1
\end{array}\right) .\]
Le terme général s'écrit alors :
\[ (-1)^{\varepsilon (\tilde{\sigma })+1+t}
T_{a_{\tilde{\sigma } (2)}\dots a _{\tilde{\sigma }(t+1)}} 
R_{a_{\tilde{\sigma }(k)}a_{\tilde{\sigma }(t+2)}\dots 
a_{\tilde{\sigma }(k-1)}a_{1}a_{\tilde{\sigma }(k+1)}\dots 
a_{\tilde{\sigma }(t+r)}} v^{a_{1}} .\]
On utilise enfin l'antisymétrie du tenseur $R$, la deuxième partie
de la somme s'écrit :
\[ \frac{1}{t!r!}r \sum _{\tilde{\sigma }\in{\mathfrak{S}} (\{2,\dots ,t+r\})} 
(-1)^{\varepsilon (\tilde{\sigma })+t} 
T_{a_{\tilde{\sigma } (2)}\dots a _{\tilde{\sigma }(t+1)}} 
R_{a_{1} a_{\tilde{\sigma }(t+2)}\dots 
a_{\tilde{\sigma }(t+r)}} v^{a_{1}} \]
qui est bien égal à $(-1)^{t}T \wedge (i(v)R)$.


\begin{rema} \label{rem:interieur0}
On définit le produit intérieur d'un vecteur par une fonction
comme étant nul, les formules de ce \S{} sont alors valables pour
les formes différentielles de degré quelconque.
\end{rema}

\subsection{Opérateur $d$} \label{sec:operateurd}
Si on se donne $f:M\rightarrow \mathbb{R}$, alors $df:TM\rightarrow \mathbb{R}$, on
peut aussi voir $df$ comme une section de $T^{*}M$. On passe ainsi d'une
forme différentielle de degré 0 à une forme différentielle de
degré 1. On va généraliser l'opérateur $d$ à toutes les
formes différentielles. On l'appelle l'opérateur de différentiation
extérieure. On notera dans la suite $\,\ci_p(M)$ l'espace des
$p$-formes différentielles $\,\ci$  sur $M$.


\begin{theo} \label{th:existenced}
Il existe une unique dérivation $d:\BigWedge^{l} T^*M\rightarrow
\BigWedge^{l+1}T^*M $ d'ordre 1 telle que $df$ soit la différentielle
de $f$ et telle que $d^{2}=0$. On a : 
\begin{eqnarray} \label{eq:existenced}
(dT)_{a_{1}\dots a_{t+1}} &=&\sum _{k=1}^{t+1} (-1)^{k-1}
\partial  _{a_{k}} T_{a_{1}\dots a_{k-1}a_{k+1}\dots a_{t+1}} \\
\label{eq:existenced2}
d(f dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}})
&=&df \wedge dx^{i_{1}} \wedge \dots  \wedge dx^{i_{k}}.
\end{eqnarray}
\end{theo}

\Preuve
Commençons par l'unicité. Si $d$ et $d'$ satisfont aux exigences
du théorème, alors $d=d'$ sur les fonctions, de plus
\[ d(dx^{i_{1}}\wedge \dots  \wedge dx^{i_{k}})
=0=d'(dx^{i_{1}}\wedge \dots  \wedge dx^{i_{k}}) \]
car $d^{2}={d'}^{2}=0$. Puis :
\begin{displaymath}
  \begin{split}
d(f dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}})
&=df \wedge dx^{i_{1}} \wedge \dots  \wedge dx^{i_{k}}\\
&= d'f\wedge dx^{i_{1}} \wedge \dots  \wedge dx^{i_{k}}
= d'(f dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}),
      \end{split}
\end{displaymath}
donc $d'=d$ car tout tenseur antisymétrique est localement
combinaison linéaire finie de tenseur du type 
$f dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}$.
Il suffit donc de prouver l'existence locale de $d$, donc de vérifier que
la formule (\ref{eq:existenced}) définit une dérivation d'ordre
1 telle que $d^{2}=0$.

\begin{eqnarray*}
 (d^{2}T)_{a_{1}\dots a_{t+2}}
&=&\sum _{k=1}^{t+2}(-1)^{k-1} \partial  _{a_{k}} (dT)
_{a_{1}\dots a_{k-1}a_{k+1}\dots a_{t+2}}\\
&=& \sum _{k=1}^{t+2}\sum _{1\leq j\leq t+2, j\neq k}
\partial  _{a_{k}} ( (-1)^{f(j,k)}\partial  _{a_{j}}T_{a_{1}\dots 
a_{j-1}a_{j+1}\dots  a_{k-1}a_{k+1}\dots  a_{t+2}} )
\end{eqnarray*}
où $f(j,k)=j-1$ si $j<k$ et $f(j,k)=j-2$ si $j>k$.
Ce qui donne $d^{2}T=0$ car les termes $(j,k)$ et $(k,j)$ de la somme
s'annulent.

Dernier point à vérifier : $d$ est une dérivation d'ordre 1, i.e.
\[ d(T\wedge R)=(dT)\wedge R+ (-1)^{t} T \wedge (dR). \]
Pour simplifier les notations, on adopte la convention que si on recouvre
par le signe \ $\hat{\ }$\ un indice d'un ensemble d'indice, c'est qu'il
faut le retirer de l'ensemble d'indice, par exemple : 
\[ a_{1}\dots \hat a_{k}\dots a_{t} \mbox{ signifie }
a_{1}\dots a_{k-1}a_{k+1}\dots a_{t}.\]
On a alors :
\begin{eqnarray*} 
d(T\wedge R) _{a_{1}\dots a_{t+r+1}}
&=& \sum _{k=1}^{t+r+1} (-1)^{k-1} \partial  _{a_{k}}
(T\wedge R)_{a_{1}\dots \hat a_{k}\dots a_{t+r+1}}\\
&=& \frac{1}{t!r!} \sum  (-1)^{k-1+\varepsilon (\sigma' )}
\partial  _{a_{k}}(T_{a_{\sigma' (1)}\dots \hat a_{k}\dots a _{\sigma' (t+1)}} 
R_{a_{\sigma' (t+2)}\dots a _{\sigma' (t+r+1)}} )
\end{eqnarray*}
où la somme porte sur $1\leq k\leq t+r+1$ et $\sigma' \in 
\sigma (\{ 1,\dots ,\hat{k},\dots ,t+r+1\})$. Remarquons que si $k\geq t+2$,
il faut décaler les indices du terme général de la somme en :
\[ \partial  _{a_{k}} (T_{a_{\sigma' (1)}\dots a _{\sigma' (t)}} 
R_{a_{\sigma' (t+1)}\dots \hat a_{k}\dots a _{\sigma '(t+r+1)}}) .\]
On peut décomposer ce terme général en deux, en faisant porter
la dérivation sur $T$ ou sur $R$. Il s'agit d'identifier avec
$dT\wedge R$ dans le premier cas et avec $(-1)^{t}T\wedge dR$ dans
le second. Or,
\[ (dT\wedge R)_{a_{1}\dots a_{t+r+1}}
= \frac{1}{(t+1)!r!} \sum (-1)^{\varepsilon (\sigma )+\alpha -1}
\partial  _{a_{\sigma (\alpha )}} T_{a_{\sigma (1)}\dots 
\hat a_{\sigma (\alpha )}\dots  a_{\sigma (t+1)}
}R_{a_{\sigma (t+2)}\dots a _{\sigma (t+r+1)}} \]
où la somme porte sur $\sigma \in{\mathfrak{S}} _{t+r+1}$ et sur
$\alpha \in [1,t+1]$.
À un tel couple $(\sigma ,\alpha )$, nous allons faire correspondre
un triplet $(\sigma ',k,\alpha )$ où $\sigma '$ 
est une permutation fixant $k$, qu'on identifie naturellement avec
une permutation de $\sigma (\{ 1,\dots ,\hat{k},\dots ,t+r+1\}$: on pose
$k=\sigma (\alpha )$ et $\sigma '\circ (\alpha\dots  k)=\sigma  $ 
de telle sort que $\sigma$ soit égale à :
\[ \left(\begin{array}{ccccc}
 \dots  & \alpha & \dots  & k & \dots  \\
 \dots  & k     & \dots  & \sigma (k) & \dots 
\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{ccccccc}
\dots  & k & \alpha & \dots  & k-1 & k+1 & \dots  \\
\dots  & k & \sigma (\alpha +1)&\dots  & \sigma (k) & \sigma (k+1) & \dots 
\end{array}\right) \circ (\alpha \dots  k ) .\]
Comme $(\alpha \dots  k)$ est un cycle de longueur $k-\alpha +1$, on a 
\[ \varepsilon (\sigma )=\varepsilon (\sigma ')+k-\alpha  
\Rightarrow \varepsilon (\sigma )+\alpha -1=\varepsilon (\sigma ')
+k-1.\] 
Le terme général de la somme de $dT\wedge R$ devient si $k>t+1$ 
\[ (-1)^{\varepsilon (\sigma ')+k-1}
\partial  _{a_{k}} T_{a_{\sigma '(1)}\dots a_{\sigma '(\alpha -1)}
\hat a_{k} a_{\sigma '(\alpha )}\dots  a_{\sigma '(t)}}
R_{a_{\sigma' (t+1)}\dots a_{\sigma '(k-1)}a_{\sigma '(k+1)}\dots 
a _{\sigma' (t+r+1)}} .\]
Si $k\leq t+1$, le terme général s'écrit :
\[ (-1)^{\varepsilon (\sigma ')+k-1}
\partial  _{a_{k}} T_{a_{\sigma '(1)}\dots a_{\sigma '(\alpha -1)}
\hat a_{k} a_{\sigma '(\alpha )}\dots a_{\sigma '(k-1)}a_{\sigma '(k+1)}
\dots  a_{\sigma '(t+1)}}
R_{ a_{\sigma' (t+2)}
\dots a _{\sigma' (t+r+1)} } .\]
On déplace ensuite le trou $\hat a_{k}$ à sa place entre
$a_{\sigma '(k-1)}$ et $a_{\sigma '(k+1)}$, on constate que
ce terme général ne dépend plus de $\alpha $, on somme donc par rapport
à $\alpha \in [1,t+1]$ qui donne un facteur $t+1$ que l'on simplifie
avec $1/(t+1)!$ en $1/t!$ et on obtient le terme général
de la somme de $d(T\wedge R)$ lorsqu'on fait porter la dérivation
sur $T$. 

De même,
\[ (T\wedge dR)_{a_{1}\dots a_{t+r+1}}
=\frac{1}{t!(r+1)!} \sum (-1)^{\alpha -t-1}
T_{a_{\sigma (1)}\dots a _{\sigma (t)}} 
\partial  _{a_{\sigma (\alpha )}}
R_{a_{\sigma (t+1)}\dots \hat a_{\sigma (\alpha )}a_{\sigma (t+r+1)}} \]
où la somme porte sur $\sigma \in{\mathfrak{S}} _{r+t+1}$ et sur
$\alpha \in [t+1,t+r+1]$.
On effectue la même correspondance que ci-dessus, on obtient donc
le terme général de $d(T\wedge R)$ lorsqu'on fait porter
la dérivation sur $R$ multiplié par $(-1)^{t}$.

{\em Exercices :}\\[-2.5ex]
\begin{enumerate}
\item Par l'argument d'unicité, on sait que si on change de base
la formule (\ref{eq:existenced}) détermine l'action de $d$ dans
la nouvelle base. (Ceci justifie \emph{a posteriori} l'utilisation
de lettres romaines dans la démonstration de l'existence locale
de $d$ alors qu'on aurait dû utiliser des lettres grecques).
Vérifiez-le directement.
\item Montrer que $i(v)d+di(v)$ est une dérivation d'ordre 0.
Plus généralement si $D$ et $D'$ sont deux dérivations d'ordre
respectifs $r$ et $r'$, montrer que :
\[ [D,D']=DD' - (-1)^{rr'}D'D \]
est une dérivation d'ordre $r+r'$.

Montrer que si deux dérivations d'ordre supérieur ou égal à $-1$
coïncident sur les fonctions et sur les $1$-formes, alors elles
coïncident sur toutes les formes différentielles. Montrer que si
deux dérivations d'ordre positif coïncident sur les fonctions et
commutent avec $d$ alors elles sont égales.

\item On définit le produit extérieur de vecteurs comme celui
des $1$-formes. Montrer que
\[ (\omega _{1}\wedge \dots  \wedge \omega _{k})(v_{1}\wedge\dots v_{k})
=k! \det  (\omega _{i}(v_{j})).\]
\end{enumerate}

\subparagraph{Solution du 3\fup{e} exercice}
On a :
\[ (\omega _{1}\wedge \dots  \wedge \omega _{k})_{a_{1}\dots a_{k}}
=\sum _{\sigma \in{\mathfrak{S}} _{k}} (-1)^{\varepsilon (\sigma )}
(\omega _{1})_{a_{\sigma (1)}}\dots  (\omega _{k})_{a_{\sigma (k)}} \]
et l'analogue pour le $k$-vecteur :
\[ (v _{1}\wedge \dots  \wedge v _{k})^{a_{1}\dots a_{k}}
=\sum _{\tau \in{\mathfrak{S}} _{k}} (-1)^{\varepsilon (\tau )}
(v _{1})^{a_{\tau (1)}}\dots  (v _{k})^{a_{\tau (k)}}, \]
donc :
\begin{eqnarray*} 
(\omega _{1}\wedge\dots \wedge \omega _{k})(v_{1}\wedge\dots \wedge v_{k})
&=& (\omega _{1}\wedge\dots \wedge \omega _{k})_{a_{1}\dots a_{k}}
(v_{1}\wedge\dots \wedge v_{k})^{a_{1}\dots a_{k}}\\
&=& \sum _{\sigma ,\tau} (-1)^{\varepsilon (\sigma )+\varepsilon (\tau)}
(\omega _{1})_{a_{\sigma (1)}}\dots  (\omega _{k})_{a_{\sigma (k)}}
(v _{1})^{a_{\tau (1)}}\dots  (v _{k})^{a_{\tau (k)}} \\
&=& \sum _{\sigma, \tau} (-1)^{\varepsilon (\tau ^{-1}\circ \sigma )}
\omega _{1}(v_{\tau^{-1}\circ\sigma (1)})\dots 
\omega _{k}(v_{\tau^{-1}\circ\sigma (k)}) \\
&=& k! \sum _{\sigma \in{\mathfrak{S}} _{k}}
(-1)^{\varepsilon (\sigma ')}\omega _{1}(v_{\sigma' (1)})
\dots  \omega _{k}(v_{\sigma '(k)})\\
&=& k! \det ((\omega _{i}(v_{j}))_{1\leq i,j\leq k}.
\end{eqnarray*}


\subsection{{\itshape Pull-back \& push-forward}} \label{sec:pullback}
Soit $\varphi $ une application $\,\ci $ de $M\rightarrow N$.
On rappelle qu'on a par dualité les deux applications :
\[ T_{x}\varphi : \left\{ \begin{array}{ccl}
T_{x}M & \rightarrow & T_{\varphi (x)}N \\
v &\mapsto & T_{x}\varphi (v)
\end{array}\right.,
\quad
T_{x}\varphi (v) (f)=v(f\circ \varphi ) \]
et :
\[ (T_x\varphi)^* :\left\{\begin{array}{ccl}
T^{*}_{\varphi (x)}N &\rightarrow  & T^{*}_{x}M \\
\omega =d_{\varphi (x)} f & \mapsto & T^{*}_{\varphi (x)}\varphi \cdot\omega 
=d_{x}(f\circ \varphi ).
\end{array}\right.
\]
Nous allons montrer comment $(T\varphi )^*$ s'étend aux formes
différentielles en une application $\varphi ^*$.
On définit l'action de $\varphi ^{*}$ 
sur les $1$-formes par :
\[ \varphi ^{*}(\omega )(x)=(T_{\varphi (x)}\varphi )^*\omega (\varphi (x)).\]

Observons pour commencer que, si  $f$ est  une fonction $\,\ci $ sur
$N$, et $\omega $ une $1$-forme sur $N$ on a alors :
\[ \varphi ^{*}(f\omega )(x)=(T_x\varphi )^* [ (f\omega )(\varphi (x) )]
=f\circ \varphi (x) (T_x\varphi )^* [ (\omega )(\varphi (x) )]
\]
par linéarité de l'application linéaire tangente. On pose
donc :
\[ \varphi ^{*}(f)=f\circ \varphi \]
et l'on constate qu'on peut définir $\varphi ^*\omega $ pour toute
$p$-forme ($p=0,\ldots,n$) par les relations :
\[ \varphi ^{*}(T\otimes R)=\varphi ^{*}T \otimes \varphi ^{*}R,\quad
\varphi ^{*}(T +R)=\varphi ^{*}T +\varphi ^{*}R.\] 

En coordonnées locales $(x_1,\ldots,x_n)$ sur $N$, si $\omega
=\sum\omega _I\,dx^I$ on aura $\varphi ^*\omega =\sum_I \omega \circ
\varphi \,d\varphi ^I$ où $\varphi _i$ est la $i$-ème application
coordonnée de $\varphi $.

\begin{prop}\label{prop:pullback}
Pour toute application $\,\ci$ $\varphi : M\to N$, le \emph{pull-back}
par $\varphi $ (ou image inverse, ou transposée)
$$\varphi ^* : \BigWedge ^pT^*N \longrightarrow \BigWedge ^pT^*M$$
est un homomorphisme d'algèbre.

On a en outre la relation
$$\forall \omega \in\BigWedge ^pT^*N , \quad d\varphi ^*\omega =\varphi ^*d\omega .$$
  
\end{prop}

\Preuve Par construction, $\varphi ^*$ est un homomorphisme entre les
algèbres tensorielles sur $N$ et $M$. Elle passe donc naturellement au
quotient.
Si $\omega $ est une  fonction, la seconde propriété est la définition
de $\varphi ^*$. Si $\omega $ est la différentielle d'une fonction
$f$, toujours par cette même définition, on a $\varphi ^*\omega
=d(f\circ\varphi )$, ce qui prouve que $d \varphi ^*\omega=0$. Comme le
calcul de toute différentiation extérieure 
se ramène au cas des fonctions et des différentielles de fonctions par
des opérations de l'algèbre 
extérieure, la première propriété permet de conclure. 

Lorsque $\varphi $ est un \emph{difféomorphisme local} (i.e. $T_x\varphi
$ est bijective pour tout $x$) on peut définir le \emph{push-forward}
(ou image directe) de la façon suivante : il existe un recouvrement
$(U_\alpha ,\alpha \in A)$ de
$M$ par des ouverts suffisamment petits pour que $\varphi $ soit un
difféomorphisme entre chacun de ces ouverts et son image. On définit
alors  $\varphi _{*} : \BigWedge ^pT^*M \longrightarrow \BigWedge ^pT^*N$
par $\varphi _*\omega =(\varphi _{|U_\alpha }^{-1})^*\omega $ sur
chaque ouvert $U_\alpha $. Le fait que cette définition se recolle
bien est évident puisque $\varphi $ est un difféomorphisme en
restriction à chaque $U_\alpha $, \emph{a fortiori} sur les
intersections, et que la définition ci-dessus marche \emph{globalement}
  pour un difféomorphisme.

\subsection{Intégration sur les variétés}
\label{sec:int}


\subsubsection{Orientation}
\label{sec:orient}

\begin{prop}
  \label{prop:orient}
Soit $X$ une variété différentielle de dimension $n$ ; les propriétés
suivantes sont équivalentes :
\begin{itemize}
\item Il existe sur $X$ une $n$-forme différentielle globale qui ne
  s'annule nulle part.
\item Il existe un atlas sur $X$ tel que le jacobien de tout
  changement de carte $J(\varphi _{\alpha \beta })$ soit $>0$ sur
  $U_{\alpha \beta }$. 
\end{itemize}
\end{prop}

L'équivalence de ces deux propriétés est relativement évidente dès que
l'on s'est convaincu que le fibré $\BigWedge^nT^*X$ est trivial sur
les ouverts $U_\alpha $ et que les automorphismes de transition sont
précisément donnés par $J(\varphi _{\alpha \beta })$. Comme ce fibré
est de rang~1, la première condition signifie qu'il est trivial,
tandis que la seconde permet de fabriquer une section qui ne s'annule
nulle part en recollant à partir de la fonction constante 1 dans
$U_\alpha $. 

Lorsque $X$ vérifie l'une des deux conditions équivalentes de la
proposition~\ref{prop:orient}, elle est dite \emph{orientable}. 

\Exemples
\begin{enumerate}
\item Toute variété dont le fibré tangent est trivial est orientable :
  en particulier $\RR n, \TT n$. L'orientation canonique sur ces
  variétés est donnée par la forme volume $\Vol n$.
\item Bien que le fibré tangent à $\SSS n, \CP n$ ne soit en général pas
  trivial, ces variétés sont orientables.
\item Montrer cependant que l'atlas de $\SSS 2$ défini par les
  projections stéréographiques ne préserve pas l'orientation.
\item  La bande de Möbius (Ex. 3,\S~\ref{def:fib}), les espaces projectifs
  réels de dimension paire $\RP 2p$ sont des exemples de variétés non orientables. 
\item Nous verrons plus loin que toutes les variétés holomorphes sont
  orientables.  Vérifier qu'en \emph{conjuguant} l'une des deux
  projections stéréographiques, on obtient un atlas holomorphe de $\SSS
  2$ qui l'identifie à $\CP 1$.
\end{enumerate}
\Exercice
Démontrer les affirmations ci-dessus.

Une variété \emph {orientée} est un couple $(X,dV)$ ou $X$ est une
variété de dimension pure et $dV$ une forme volume\footnote{En fait,
  deux formes volumes sont nécessairement identique à un facteur
  $\,\ci$ qui ne s'annule pas près. On forme alors deux classes
  d'équivalences de formes volumes sur les composantes connexes de $X$
  : une forme est équivalente 
  à une autre si le facteur est positif. Une \emph{orientation} est le
  choix de l'une de ces deux classes. Il faut entendre $dV$ comme un
  représentant de l'une des classes.}%
. 
\subsubsection{Intégration}
\label{sec:intégration}

Soit $V\subset \RR n$ un ouvert, muni de l'orientation canonique de
$\RR n$. On définit l'intégrale d'une $n$-forme sur $V$ par la formule
$$\int_Vf \Vol n=\int_V f d\lambda $$
où $d\lambda $ est la mesure de Lebesgue sur $V$. Comme le produit
extérieur est antisymétrique, une orientation de $\RR n$ équivaut à
une convention de signe dans  les intégrales (intervertir $x_1$ et
$x_2$ dans la formule ci-dessus revient à changer $f$ en $-f$).
Avec cette convention, la formule usuelle de changement de variable
dans une intégrale de $\RR n$ se lit :
\begin{equation}
  \label{eq:chgt_de_var}
\mbox {Si } \varphi  : V_1\to V_2 \mbox{ est un difféomorphisme,
  }\int_{\varphi (V_1)}\omega =\int_{V_1}\varphi ^*\omega  .
\end{equation}
En effet, si $\varphi =(\varphi _1,\ldots,\varphi _n)$ et $\omega =  
f\Vol n$ on a par définition
$$\varphi ^*\omega =f\circ\varphi \,\VOL \varphi n =  f\circ\varphi\,
J(\varphi )\,\Vol n.$$

Soit maintenant $X$ une variété $\,\ci$ orientée. Sur un ouvert $U$ de carte
pour $X$, on a une application $x$ de coordonnées locales vers un
ouvert $V$ de $\RR n$. On dit que $x$ préserve l'orientation de $X$ si
la forme volume $x_*dV=\varphi \Vol n$ avec $\varphi >0$. On définit
alors $\varepsilon (x)$  le coefficient d'orientation de $x$ qui vaut
1 si $x$ préserve l'orientation de $X$, $-1$ sinon.
Si $\omega $ est une $n$-forme différentielle,
on définit son intégrale sur $U$ par la formule 
$$\int_U \omega =\varepsilon (x)\int_V x_*\omega .$$

Cette définition est indépendante de la carte choisie grâce à la
formule (\ref{eq:chgt_de_var}) et une vérification immédiate. En
se restreignant  à des atlas vérifiant l'hypothèse de la
proposition~\ref{prop:orient}, on peut oublier le coefficient
$\varepsilon (x)$. 
Dans le cas où la variété $X$ admet une partition de l'unité
subordonnée à un atlas \footnote{i.e. il existe une famille de fonctions
$\,\ci$ $\chi_\alpha $ à support compact dans $U_\alpha $ telle que
$\sum_\alpha \chi _\alpha =1$ sur $X$. Nous supposons depuis la
page~\pageref{hyp:paracompact} que c'est toujours le cas.} --- en
particulier  lorsque $X$ est compacte --- on définit l'intégrale d'une
$n$-forme différentielle sur $X$ par 
$$\int_X\omega =\sum_\alpha \int_{U_\alpha } \chi_\alpha \omega .$$

\begin{defi}
  \label{def:int}
Soit $f$ une fonction $\,\ci$ sur une variété orientée
$(X,dV)$. L'intégrale de $f$ sur $X$ relativement à la forme volume
$dV$ est $$\int_XfdV.$$
\end{defi}


\paragraph{Restriction}
Si $i : X\to Y$ est un plongement de $X$ dans $Y$, et $\omega $ est
une $(\dim X)$-forme sur $Y$, l'application $i$ est un difféomorphisme
de $X$ sur son image. On appelle \emph{restriction} de $\omega $ à $X$
la forme différentielle $\omega_{|X}= i^*\omega $ sur $X$ et on notera
souvent $\int_X \omega =\int_Xi^*\omega $.  Par convention,
l'intégrale d'une $p$-forme sur une variété de dimension différente de
$p$ est nulle.
\paragraph{Variétés à bord}
Le tangent d'une variété à bord étant défini (et de rang constant) y
compris aux points du bord, on peut voir le fibré tangent à
$\partial  M$ comme un sous fibré (de codimension~1) de la
restriction à $\partial  M$  de $TM$. La restriction d'une $p$-forme
sur $M$ à $\partial  M$  est donc définie comme à l'alinéa
précédent. On a même une description très précise du fibré conormal
dans le cas  où $M$ est un « ensemble de sous-niveau ». Si $M=\{f\leq
0\}$, $df $ définit une section non nulle de $TM$ au voisinage du
bord, dont le noyau en 
$x\in \partial  M$ est précisément $T_x\partial  M$. Donc $d_xf$ est
un générateur de l'orthogonal de $T_x\partial  M$ dans $T^*_xM$ :
c'est un repère local du conormal. Si $(x_1,\ldots,x_{n-1})$ sont des
coordonnées locales sur $\partial  M$, $df\wedge\Vol {n-1}$ est une
forme volume sur un ouvert de $M$. On voit donc qu'une orientation sur
$M$ donne une orientation sur $\partial  M$ dans ce cas --- en fait
ceci se voit algébriquement par le fait que le conormal étant trivial,
la suite exacte sur $\partial  M $
$$ 0\to T^*\partial  M \to T^*M_{|\partial  M}\to N^*\partial 
M_{/M}\to 0$$
induit par passage au déterminant une identification $\BigWedge
^{n-1}T^*\partial  M \simeq \BigWedge^nT^*M$.
 (En général %, si $\partial  M$  est orientable, 
on pourra toujours choisir  des coordonnées locales
$(x_1,\ldots,x_{n})$  sur  $M$ dans lesquelles
$\Vol n$ soit la forme volume associée, $M$ se représentera alors par $x_1\leq
0$.  Donc $dx_2\wedge\ldots\wedge dx_n$ définit une forme volume sur
$\partial  M$, les choses se recollent car la notion d'intérieur
oriente le conormal, donc $\partial  M$ est orientable.) Notez que
cette convention donne l'orientation habituelle sur le demi espace $\HH n$
mais son \emph{opposé} sur $\{x_1>0\}$.

\Exercices
\begin{enumerate}
\item Le volume d'une variété est  l'intégrale de la fonction~1.
Montrer que le volume d'une courbe paramétrée de $\RR n$ est sa
longueur (définie par l'abscisse curviligne).
\item Le disque épointé $\Delta ^*=\{z\in \CC {} : 0<|z|\leq 1\} $ est
  une sous-variété à bord de $\CC{}$. Montrer que $dz/z^2=(x^2-y^2)^{-1}(dx+idy)$ définit une
  $1$-forme différentielle sur $\Delta ^*$. Calculer sa différentielle
  et les deux intégrales $\int_{\partial \Delta ^*}dz/z^2$, $\int_{\Delta ^*}d(dz/z^2)$.
\end{enumerate}

\subsubsection{Formule de Stokes}
\label{sec:stokes}
Nous sommes maintenant en position d'énoncer le théorème de Stokes
qui, avec le lemme de Poincaré est un des deux outils fondamentaux de
l'analyse (réelle).
\begin{theo}[de Stokes]
  \label{th:stokes}
Soient $M$ une variété orientée à bord $\,\ci$ de dimension $n$, et
$\omega $ une $(n-1)$-forme sur $M$ à support compact.
La formule suivante est vraie :
$$\int_{\partial M}\omega_{|\partial M} =\int_Md\omega .$$
\end{theo}
%
\begin{rema}\label{rem:stokes}
  Le support d'une section est défini dans la
  note~\ref{def:support}, page~\pageref{def:support}. 
  La formule ci-dessus est donc vraie pour tout $\omega $ si $M$ est
  une variété compacte 
  à bord, ou un domaine (ouvert connexe) relativement compact à bord
  lisse d'une variété $\,\ci$. Nous avons pris le parti dans ces notes
  de ne pas nous préoccuper de questions de régularité, mais il doit
  être  clair que cette formule serait par exemple toujours vraie pour
  un cube de $\RR n$. Pour le voir, il suffit d'utiliser la formule
  ci-dessus sur une suite de sous-variétés $\,\ci$ à bord qui
  approximent le cube. Comme les formes considérées sont intégrables,
  les différences de calcul provenant d'une petite modification du
  domaine d'intégration sont négligeables. L'intégrale d'une $p$-forme
  sur une variété « $\,\ci$ par morceaux » comme le cube est
  simplement la somme des intégrales sur les morceaux lisses sur
  lesquels elle est bien définie, le lieu des singularités étant de
  mesure nulle.
\end{rema}

\Preuve
Soit $(U_\alpha ,\varphi _\alpha )$ un atlas de $M$, et $(\chi _\alpha
)$ une partition de l'unité subordonnée au recouvrement de $M$ par les
$U_\alpha $. 
Par linéarité de l'intégrale, il suffit de prouver
$$\int_{\partial M}\chi _\alpha \omega_{|\partial M} =\int_Md(\chi
_\alpha \omega)$$
pour tout $\alpha $. On a sur $U_\alpha $ les coordonnées $(x_1,\ldots,x_n)$ et
$\partial M\cap U_\alpha $ est donné par l'équation $x_1=0$. Dans ces coordonnées
on note $dV=\Vol n$, et
$\omega _\alpha ={\varphi _\alpha }_* (\chi _\alpha \omega) =
\sum_i f_i dx^1\wedge\ldots\wedge
\smash{\widehat{dx}}\vphantom{x}^i\wedge\ldots\wedge dx^n$. 
Il y a deux cas.

$\bullet\quad$ Cas où $U_\alpha \cap{\partial M}=\emptyset$.
On calcule $d\omega _\alpha $ :
$$d\omega _\alpha =\sum_i \frac{\partial  f_i}{\partial  x_i}(-1)^{i-1}\Vol n$$
de telle sorte que
\begin{displaymath}
  \begin{split}
  \int_M d\omega _\alpha &=\sum_{i=1}^n\int_{U_\alpha }
  \frac{\partial  f_i}{\partial  x_i}(-1)^{i-1}\Vol n\\ 
&=\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}\int_{\RR n}\frac{\partial  f_i}{\partial  x_i}\Vol n=0
\end{split}
\end{displaymath}
par Fubini car chaque $f_i$ est à support compact dans $\RR {}$.

$\bullet\quad$ Cas où $U_\alpha \cap{\partial M}\not=\emptyset$.
L'écriture précédente est toujours valide et on a par Fubini que 
$$\int _{\HH n}\frac{\partial  f_i}{\partial  x_i}\Vol n=0\mbox{ si }i\not
  = 1$$
d'où l'on tire
$$\int_Md\omega _\alpha =\int_{\HH n}\frac{\partial  f_1}{\partial  x_1}\Vol n$$
tandis que
$$\int_{\partial M}\omega _\alpha =\int_{\{x_1=0\}}f_1
dx^2\wedge\ldots\wedge dx^n$$
car la forme ${dx_1}_{|\{x_1=0\}}$ est identiquement nulle. La formule
est en conséquence  démontrée grâce à Fubini et l'observation que
$$f_1(0)=\int _{-\infty}^0\frac{\partial  f_1}{\partial  x_1}dx_1.$$

\paragraph{Application}
\label{sec:derridj}
Nous allons donner comme application des calculs faits jusque ici le
cas réel d'une formule qui
devrait servir dans le cours de M. Derridj. 
On peut interpréter un opérateur différentiel de degré~1 sur une
variété $\Omega $  comme un tenseur :
$$L=\sum_{i,j}a_k^j\, \frac{\partial }{\partial  x_j}\otimes dx^k$$
qui lui-même peut être vu comme un endomorphisme du fibré
cotangent. On appelle cet endomorphisme le symbole de $L$ (noté
$\sigma (L)$). 

On suppose que $\Omega =\{r<0\}$ est un domaine relativement compact de $\RR
n$ à bord $\,\ci$, de telle sorte que le fibré tangent est trivial.
 On a un produit
 scalaire  ponctuel entre les $p$-formes donné par 
$$<F,G>\,=\sum _I F_I  G_I \quad\mbox{ si }\quad
F=\sum_IF_Idx^I,\,G=\sum_IG_Idx^I$$
qui induit le produit scalaire $L ^2$  
$$(F,G)_\Omega =\int_\Omega  <F,G>\,\Vol {n}.$$
Soit $u$ une fonction sur $\Omega $, et $v$ une $1$-forme. 
Nous allons montrer la formule
\begin{equation}
  \label{eq:derridj}
  (Lu,v)_\Omega  = (u, ^t\!\! Lv)_\Omega  + (\sigma (L)\cdot dr
\,u,v)_{\partial  \Omega }.
\end{equation}
Pour ce faire, nous allons montrer par un calcul  en coordonnées locales qu'il existe
une extension $\omega$ de la $(n-1)$-forme  
$(\sigma (L)\cdot dr \, u,v)dV_{\partial \Omega}$ 
qui vérifie la   formule 
$$d\omega = <Lu,v> - <u,^t\!\!Lv>dV_{\partial \Omega \cap U}
\quad\mbox {sur } U$$
où $^t\! L$ est l'adjoint « formel » de $L$, c'est-à-dire son
adjoint pour la métrique $L^2$ sur les fonctions à support
compact. Ici $^t\! Lv=\sum_k a_k^j \frac{\partial  v_j}{\partial  x_k} $.

Sur un voisinage $U$ d'un point du  bord de $\Omega $, on peut choisir
des coordonnées %locales
$(x_1,\ldots,x_n)$ telles que $r=x_1$ (car $dr\not =0$ au bord de
$\Omega $).  
Posons $\omega =\sum _{j,k}a_k^juv_k dx^1\wedge\ldots\wedge
\smash{\widehat{dx}}\vphantom{x}^j\wedge\ldots\wedge dx^n$.
Alors 
$$\omega _{|\partial  \Omega \cap U}=\sum _{k}a_k^1uv_k \,
dx^2\wedge\ldots\wedge dx^n=(\sigma (L)\cdot dr
\,u,v)dV_{\partial \Omega \cap U}$$ 
et
$$d\omega=\sum _{j,k}a_k^j (\frac{\partial  u}{\partial  x_j} v_k+u
\frac{\partial  v_j}{\partial  x_k} ) \Vol n\quad\mbox {sur } U$$
donc 
$$\int_U d\omega= (Lu,v)_U - (u, ^t\!\! Lv)_U.$$
D'après la formule de Stokes nous aboutissons  à 
$$ (Lu,v)_U = (u, ^t\!\! Lv)_U + (\sigma (L)\cdot dr
\,u,v)_{\partial  U}$$
sur un ouvert admettant de telles coordonnées. Pour conclure, il
suffit de remarquer que le calcul de l'intégrale sur $U$ ne dépend pas
des coordonnées locales, puis de se convaincre qu'une intégrale sur
$\Omega$ n'est rien 
d'autre qu'une somme d'intégrales sur un pavage\footnote{%
En faisant usage de la remarque du \S~\ref{rem:stokes}, un tel pavage peut
être un  simple découpage selon des cubes de $\RR n$.}
 de $\Omega$ subordonné
à un atlas de $\overline\Omega$ et que les termes de bord « intérieurs
» s'annulent deux à deux.

\subsubsection{Lemme de Poincaré}
\label{sec:poincare}

\begin{defi}\label{def:exact}
Une $p$-forme différentielle est dite \emph{exacte} si elle est la
différentielle extérieure d'une $(p-1)$-forme différentielle. On
appelle parfois les formes exactes des \emph{bords}, voire des
\emph{cobords}. 

  Une $p$-forme différentielle est dite \emph{fermée} si sa
  différentielle extérieure est nulle. On appelle souvent les formes
  fermées des \emph{cycles} ou des \emph{cocycles}.
\end{defi}

La relation fondamentale $d^2=0$ revient à dire qu'une forme exacte
est toujours fermée. Le problème de savoir si réciproquement une forme
fermée est nécessairement exacte a fait couler beaucoup d'encre.
%(cf. le cours de J.-P. Demailly). 
Quoi qu'il en soit, on a toujours une réponse \emph{locale}
satisfaisante. On appelle opérateur d'homotopie $A$ (de degré $-1$)
pour $d$ un opérateur linéaire agissant sur les formes différentielles
et vérifiant la formule
\begin{equation}
  \label{eq:homotopie}
  \forall \omega\in \BigWedge ^pT^*X,\quad
  \omega=d(A\omega)+A(d\omega).
\end{equation}

Dans le cas où un tel opérateur existe, le problème envisagé a une
solution très satisfaisante, puisque, si $\omega $ est fermée,
l'égalité~(\ref{eq:homotopie}) implique immédiatement qu'elle est
exacte, mais en outre
l'opérateur $A$ donne directement une « primitive » de $\omega $ :
lorsque l'on connaît explicitement cet opérateur, on peut par exemple
contrôler précisément  la régularité des solutions. 
\begin{theo}[Lemme de Poincaré]\label{th:poincare}
  Si $U$ est  un ouvert étoilé de $\RR n$, il
  existe un opérateur d'homotopie $A$ pour la différentiation
  extérieure $d$ agissant sur les $p$-formes
  différentielles $\,\ci$ sur $U$ pour $p\geq 1$.  
\end{theo}

\begin{rema}
  Si $p=0$, le problème ne peut se poser de la même façon. En effet,
  une forme fermée de degré 0 est une fonction de différentielle
  nulle, donc localement constante, et les cycles en degré 0
  n'existent pas (on convient en général qu'ils sont nuls).  Une fois
  le théorème~\ref{th:poincare} connu, son énoncé se transporte par
  pull-back à tout ouvert qui lui est difféomorphe, ce qui donne
  l'énoncé apparemment plus général suivant : \emph{Si $U$ est un
    ouvert \emph{contractile} d'une variété $M$ sans bord, il existe
    un opérateur d'homotopie pour la différentiation extérieure
    agissant sur les $p$-formes différentielles $\,\ci$ sur $U$ pour
    $p\geq 1$.  }
\end{rema}

\Preuve
On suppose sans perte de généralité $U$ étoilé autour de $0\in \RR n$. 
Alors on peut définir l'application $\,\ci$ (qui a à voir avec une
rétraction de $U$ sur le point $0$, d'où la terminologie)
$$
\begin{array}{ccl}
h:]0,1[\times U&\to&\RR {}\\
(t,x)&\mapsto&tx.
\end{array}
$$
Notons $\omega =\sum_{|I|=p}\omega _I\,dx^I$ une $p$-forme
  différentielle $\,\ci$  sur $U$ (avec $p\geq 1$), alors il
existe une décomposition $h^*\omega =\omega _1+dt\wedge \omega _0$ où
les $\omega _i$ ne sont pas divisibles par $dt$. On définit
l'opérateur $A$ par
\begin{equation}
  \label{eq:formule_homotopie}
  A(\omega )=\int_0^1\omega _0\,dt.
\end{equation}
Cette intégrale est à prendre au sens de l'intégration des fonctions
sur $\RR{}$ à valeurs vectorielles : on intègre chaque fonction
coordonnée $\omega _0^J$ par rapport à $t$.
Il est immédiat que $A(\omega )$ est une $(p-1)$-forme $\,\ci$ sur
$U$, que l'on peut considérer comme la moyenne de $\omega $ sur le
segment $[0,x]\subset U$. Pour une $p$-forme $\xi =\sum_I \xi_I dx^I$ sur $]0,1[\times
U$ qui n'est pas divisible par $dt$  nous prendrons la notation $d\xi
=d'\xi +dt\wedge \frac{\partial  
  \xi }{\partial  t}$ qui est la factorisation par rapport à $dt$ de
$d\xi $ comme précédemment.  On a 
$\frac{\partial    \xi }{\partial  t} =\sum_I \frac{\partial    \xi_I }{\partial  t} dx^I$
et $d'$ est une différentiation partielle qui se calcule comme si $t$
était constant. Avec ces notations,
$$
h^*(d\omega )=dh^*\omega =d\omega _1-dt\wedge d\omega _0
=d'\omega _1+dt\wedge \bigl(\frac{\partial    \omega _1 }{\partial  t}-d'\omega _0\bigr)
$$
ce qui implique 
$$
A(d\omega )=\int_0^1\frac{\partial  \omega _1  }{\partial  t} \,dt -
\int_0^1 (d'\omega _0)\,dt.
$$
Comme $\omega _1=\sum_I t^p \omega _I dx^I$, 
$$
\int_0^1 \frac{\partial    \omega _1  }{\partial  t} \,dt  =\omega 
$$
mais on a aussi
$$
\int_0^1 (d'\omega _0)\,dt = d \,\int_0^1\omega _0\,dt=A(\omega )
$$
ce qui conclut l'argument.

\Exercice
Exprimer les calculs de cette section en coordonnées, et en déduire
une preuve élémentaire du lemme de Poincaré qui ne fasse intervenir
que des calculs d'intégrales et de dérivations partielles de $\RR n$.

\subsubsection{Notion de cohomologie}
\label{sec:dcohom}

Le lemme de Poincaré peut être vu comme un théorème d'annulation de la
cohomologie du complexe de de Rham sur un ouvert contractile en degré
$\geq 1$. J'explique ici brièvement cette interprétation qui sera
développée plus abondamment dans d'autres cours.

Un \emph{complexe}\footnote{%
On trouvera peut-être qu'il y a trop de \emph{co-} dans cette théorie,
c'est qu'elle est (en général) duale de la théorie plus ancienne de
l'homologie des simplexes. Par 
exemple, dans une variété, une sous-variété sans bord est un
\emph{cycle} (de façon imagée : s'il n'y a pas de bord, c'est que la
sous-variété se referme sur elle -même) tandis que le bord d'une
sous-variété sera un \emph{bord}. L'homologie mesure  l'obstruction
qu'il y a pour un cycle à être un bord tandis que la cohomologie
compare les cocycles et les cobords...}
 d'espaces vectoriels est une une suite d'applications linéaires 
$$
E_1\stackrel{f_1}\longrightarrow E_2 \cdots
\stackrel{f_k}\longrightarrow E_{k+1}\eqno (*)
$$
telle que l'image de l'une est toujours contenue dans le noyau de la
suivante ($ f_{k}\circ f_{k-1}=0$). On peut donc prendre le quotient de
l'un par l'autre, qui mesure la « distance » qu'il y a entre les deux
conditions linéaires « être dans le noyau de $f_{k}$ » et  « être
dans l'image de $f_{k-1}$ ». On appelle ce quotient le
groupe\footnote{%
Il s'agit d'un espace vectoriel dans ce cas, c'est encore pour des
raisons historiques que l'on se contente de la structure de groupe
(additif) dans la terminologie.}
 de cohomologie du complexe $(*)$ en degré  $k$. Un complexe est dit
 \emph{exact} si sa cohomologie est nulle. 

Sur une variété réelle $M$ de dimension $n$, le fait que $d^2=0$ nous
permet de  définir le \emph{complexe de   de~Rham}
\begin{equation}
  \label{cpx_drham}
  0\longrightarrow  \ci (M)\stackrel d \longrightarrow
  \ci_1(M)\stackrel d \longrightarrow  
  \cdots\stackrel d \longrightarrow  \ci_n(M)\stackrel d \longrightarrow  
  0
\end{equation}
dont la cohomologie s'appelle \emph{cohomologie de de~Rham}. Nous
avons montré au \S{} précédent que, si U est une variété difféomorphe
à un ouvert contractile de $\RR n $, les groupes de de~Rham $H^p(U,\RR
{})$ sont nuls pour tout $p\geq 1$ ; et $H^0(U,\RR{})\simeq \RR {}$.

Ceci détermine complètement la cohomologie locale des variétés sans
bord, qui ne dépend en fait pas de la géométrie de la variété car elle
se ramène toujours à un problème local sur $\RR n$.  Mais le
complexe~\ref{cpx_drham} est défini globalement sur $M$, il existe
donc des groupes de cohomologie \emph{globaux} $H^p(M,\RR {})$ qui
sont des invariants de la structure différentielle\footnote{%
En fait topologique, mais ce serait plus long à justifier...}
de $M$. 

\Exemples
\begin{enumerate}
\item Si $M$ est une variété $\,\ci$, $H^0(M,\RR{})$ est un espace
  vectoriel dont la dimension (finie) vaut  le nombre de composantes
  connexes de $M$. 
\item Si $M$ est orientable sans bord de dimension $n$, $H^n(M,\RR{})\simeq \RR
  {}$. Ceci est une conséquence de la formule de Stokes qui implique
  dans ce cas que l'intégrale d'une forme exacte est nulle.
\end{enumerate}
\Exercices
\begin{enumerate}
\item L'exemple le plus simple de calcul de cohomologie de de~Rham est
  donné par le tore $\TT n$. En travaillant dans un domaine
  fondamental, avec les formules explicites du
  \S~\ref{sec:poincare}, montrer  que la cohomologie en degré $p$
  s'identifie avec l'espace des formes différentielles de degré $p$ invariantes
  sur $\TT n$ par le groupe des translations. Ces dernières
  s'identifiant à un élément de $\BigWedge ^p\RR n$, montrer que 
$\dim H^p(\TT n,\RR{})=\mathsf{C}\mathstrut _n^p$ pour tout $p, n$. 
\item Montrer en revanche que la cohomologie en degré $\neq 0,n$ ne
  distingue pas $\RR n$ de $\SSS n$.
\end{enumerate}

Pour approfondir   cette théorie, la référence la plus
accessible est certainement \cite{derham}.

\clearpage
\section{Structures complexes}
\label{sec:cpx}

Les outils fondamentaux de l'analyse, y compris complexe ---  en
particulier l'intégration, les formes différentielles --- sont par
nature des objets  réels.  Cependant, l'étude des fonctions holomorphes de
plusieurs variables, ou des structures $CR$ ne se limite pas à cet
arrière-plan qu'il ne faut pourtant pas oublier. Je vais m'efforcer de
préciser ce qui a été fait jusque ici dans le cas général, du point de
vue des structures analytiques complexes. 


\subsection[Structures presque complexes]{Structures presque complexes
  sur une variété $\,\ci$, bidegré}
\label{sec:pcpx}

Sur une  variété réelle $M$ de dimension paire $2n$, on peut évidemment
identifier ponctuellement $T_xM\simeq \CC n$. 
Cette identification est
bien définie globalement si la variété $M$ est holomorphe car $T_xM$
est l'image de l'application linéaire tangente d'une paramétrisation
locale \emph{holomorphe} donc à tangente $\CC {}$-linéaire. 

\begin{defi}
  \label{def:psq_cpx}
Une structure presque complexe sur une variété $M$ de dimension $2n$
est une section $J$ du fibré des endomorphismes de $TM$ qui vérifie
$J\circ J=-\Id_{TM}$.
\end{defi}

Si on se donne une structure presque complexe sur $M$, un grand nombre
d'objets essentiels à la géométrie complexe peuvent être définis.


\paragraph{Tangent complexe, $(p,q)$-formes}
\label{sec:tgt_cpx}
Le dual de l'espace des différentielles de fonctions à valeurs
complexes sur $M$ (au sens de la remarque du \S~\ref{rem:dif_cpx}) est
le complexifié $\Theta $ de son fibré tangent réel (de rang ---
complexe --- $2n$). L'action de $J$
s'étend naturellement à $\Theta $ et, comme $J^2=-\Id_{\Theta }$,
$J_x$ a en chaque point $x$ 2 espaces propres (de valeur propre resp.
$i$ et $-i$) d'égale dimension (car la trace est réelle) complexe $n$
que l'on va 
noter temporairement $T_{\CC{}}M$ et $\overline {T_{\CC{}}}M$.
Le premier est le tangent complexe de $M$, lorsqu'il sera clair que
nous parlons d'une variété holomorphe, nous omettrons l'indice
$\CC{}$ ; le second est son conjugué. On a donc une décomposition en
somme directe de fibrés vectoriels complexes
$$T_{\RR{}}M\otimes_{\RR{}}\CC{}=T_{\CC{}}M\oplus\overline
{T_{\CC{}}}M$$
(les espaces propres d'un endomorphisme de fibré sont des sous-fibrés
en vertu de la proposition~\ref{prop:ssfib}). Par linéarité, l'action
de $J$ est définie à tous les tenseurs. Une $k$-forme à valeurs
complexes est un élément du complexifié de 
\begin{equation}
  \label{eq:pqformes}
\BigWedge^kT^*M\simeq \bigoplus _{p+q=k} \BigWedge^pT^*_{\CC{}}M 
\otimes \BigWedge^q \overline {T^*_{\CC{}}}M.
\end{equation}
Le \emph{bidegré}\footnote {%
Qu'on appelle aussi parfois \emph{type}, ce que j'éviterai ici à
cause de la définition conflictuelle donnée pour les tenseurs au \S~\ref{sec:section}.}
 d'une forme différentielle à valeurs complexes sur
$M$ est le couple $(p,q)$ correspondant au scindage ci-dessus. Pour
éviter toute confusion, $k$ est dit \emph{degré total}.


\paragraph{Intégrabilité d'une structure complexe}
\label{sec:d'd''}
À cause du scindage (\ref{eq:pqformes}) en degré total~1, si $\omega
\in  T^*_{\CC{}}M $, $d\omega =\omega _{(2,0)}+\omega _{(1,1)}+\omega _{(0,2)}$
où $\omega _{(p,q)}$ est la composante de bidegré $(p,q)$ de $d\omega $.
On en déduit que la différentielle d'une $(p,q)$-forme a au plus 4
composantes de bidegré $(p-1,q+2)$, $(p,q+1)$, $(p+1,q)$ ou
$(p+2,q)$. Nous allons voir au \S{} suivant que les deux bidegrés 
extrêmes sont nuls si $M$ est une variété holomorphe. Un
théorème de Newlander et Nirenberg affirme que cette condition est
suffisante, à savoir qu'une structure presque complexe provient d'une
structure complexe si et seulement si la différentiation extérieure ne
diminue pas le degré partiel.

\paragraph{Le cas des variétés holomorphes}
\label{sec:var_holom}
Si la variété $M$ est holomorphe, elle est localement paramétrée par des
applications $\varphi _\alpha $, et le fibré tangent est donné par les
automorphismes de transition $\tau _{\alpha \beta }=d\varphi _{\alpha
  \beta }$ qui sont des applications $\CC{}$-linéaires de $\CC n$ dans
$\CC n$ (parce que $\varphi _{\alpha \beta }$ est \emph{holomorphe} :
nous pouvons prendre ceci pour définition). Par conséquent, la
multiplication par $i$ commute avec $\tau _{\alpha \beta }$, ce qui
montre qu'elle définit bien une structure presque complexe naturelle.
On identifie $\CC n$  et $\RR {2n}$ par l'application 
$$ \coord[z]{n} \mapsto (x_1,y_1,\ldots,x_n,y_n)$$
où $z_j=x_j+iy_j$. Les $ (x_1,y_1,\ldots,x_n,y_n)$ forment donc un
système de coordonnées locales pour la variété $M$ munie de sa
structure réelle sous-jacente. Ceci nous donne un champ de repères sur
le tangent à $M$  : les $\frac \partial  {\partial  x_j},  \frac
\partial  {\partial  y_j}$ qui  définissent donc une base de $\Theta $
dans laquelle l'action de $J$ est décrite par 
$$
J\frac \partial  {\partial  x_j}= \frac \partial  {\partial  y_j},\quad 
J \frac \partial  {\partial  y_j}=- \frac \partial  {\partial  x_j} 
$$
ce qui revient à dire que les champs de vecteurs $\frac \partial 
{\partial  z_j}=\frac 12\bigl(\frac \partial  {\partial  x_j} - i \frac \partial 
{\partial  y_j}\bigr)$ forment une base de $TM$ tandis que leurs conjugués
$\frac \partial  {\partial  \overline z_j}=\frac 12\bigl(\frac \partial  {\partial  x_j} +i
\frac \partial  {\partial  y_j}\bigr)$ forment une base de $\overline TM$.  La
différentielle de l'application de coordonnées locales s'écrit
$$\coord[dz]{n}\simeq (dx_1,idy_1,\ldots,dx_n,idy_n).$$
Comme elle est
$\CC {}$-linéaire, chaque $1$-forme $dz_j=dx_j+idy_j$ commute avec $J$,
donc est de bidegré $(1,0)$ : on a $^tJ\cdot dz_j=d(iz_j)=idz_j$ tandis que
$d\overline z_j$ est de bidegré $(0,1)$ car $^tJ\cdot d\overline z_j=-id\overline z_j$.
L'espace tangent holomorphe à $M$ est donc localement engendré par les
différentielles (à valeurs complexes) des fonctions \emph{holomorphes}
sur $M$ tandis que les fonctions antiholomorphes (leurs conjuguées)
engendrent $\overline T^*M$. 

\paragraph{Les variétés holomorphes sont orientables}
\label{sec:orient_cpx}
Terminons ce survol rapide de la géométrie complexe par une propriété
fondamentale des variétés \emph{holomorphes}, qui est une conséquence
immédiate du 
\begin{lemm}
  Soit $f:V_1\to V_2$ une application holomorphe d'un ouvert de $\CC n$
  vers un ouvert de $\CC n$. Notons $J_\RR{} (f)$%=\det (\frac {\partial 
%    f_j}{\partial  x_k}$ 
le jacobien usuel de $f$ vue comme application
  différentiable sur un ouvert de $\RR 2n$ et $J_\CC {} (f) = \det ( {\partial 
    f_j}/{\partial  z_k})$ son analogue complexe (i.e. le déterminant de
  l'application $\CC{}$-linéaire tangente à $f$, définie sur le tangent
  complexe de $V_1$). Alors
$$J_\RR{} (f) = | J_\CC {} (f)|^2.$$
\end{lemm}
\Preuve
Tout d'abord, $\frac i2 dz_j\wedge d\overline z_j= dx_j\wedge dy_j$. Ensuite,
\begin{displaymath}
  \begin{split}
dx_1\wedge dy_1\wedge \ldots \wedge dx_n \wedge dy_n &= (\frac i2)^n
(-1)^{\frac{n(n-1)}2} \VOL z n\wedge \VOL {\overline z}n\\
&=  \frac{i^{n^2}}{2^n}\VOL z n\wedge \VOL {\overline z}n.\\
\end{split}
\end{displaymath}
Maintenant, 
\begin{displaymath}
  \begin{split}
 f^*(dx_1\wedge dy_1\wedge \ldots \wedge dx_n \wedge dy_n)
&= J_\RR{}(f) \,dx_1\wedge dy_1\wedge \ldots \wedge dx_n \wedge dy_n
\end{split}
\end{displaymath}
tandis que
\begin{displaymath}
  \begin{split}
 f^*(\VOL z n)
&= J_\CC{}(f) \,\VOL z n \\
\end{split}
\end{displaymath}
d'où
\begin{displaymath}
  \begin{split}
f^*(dx_1\wedge dy_1\wedge \ldots \wedge dx_n \wedge
dy_n)&=\frac{i^{n^2}}{2^n} f^*(\VOL z n\wedge \VOL {\overline z}n)\\
&= J_\CC{}(f)  \overline{J_\CC{}(f) } \,\frac{i^{n^2}}{2^n} \,\VOL z
n\wedge \VOL {\overline z}n\\
&= | J_\CC{}(f)|^2 dx_1\wedge dy_1\wedge \ldots \wedge dx_n \wedge
dy_n,
\end{split}
\end{displaymath}
ce qui prouve qu'une application biholomorphe a toujours un jacobien
réel $>0$, donc que les changements de cartes holomorphes préservent
toujours l'orientation.






\subsection{Opérateur  $\overline\partial $}
\label{sec:dbar}

Désormais, toutes les variétés seront holomorphes, munies de leur
structures presque complexe canonique. Reprenons dans ce contexte les
calculs où nous les avions laissés à l'alinéa~\ref{sec:d'd''}.  La
différentielle d'une fonction à valeurs complexes est une $1$-forme,
donc se décompose en une somme de deux $1$-formes de bidegré pur :
\begin{equation}
  \label{eq:d'd''}
df=d'f+d''f.
\end{equation}
De plus,  $f$ est holomorphe si et seulement si sa différentielle est une section du
fibré $TM$ (car la différentielle est $\CC{}$-linéaire si et seulement
si elle commute avec $J$) donc $f$ est holomorphe si et seulement si
$d''f=0$. 

Comme
le cotangent holomorphe est engendré localement par les
différentielles de fonctions holomorphes, une $(p,q)$-forme s'écrit
localement $\omega =\sum_{|I|=p, |J|=q} \omega _{I,J} dz^I\wedge d\bar
z^J$ et par conséquent le calcul de sa différentielle se ramène à celui-là
$$ 
d(\omega _{I,J} dz^I\wedge d\overline z^J)=\sum_{j } \frac\partial 
{\partial  z_j}\cdot  \omega _{I,J}\, dz^j \wedge dz^I\wedge d\overline z^J +
\sum_{j } \frac\partial 
{\partial  \overline z_j}\cdot  \omega _{I,J}\, d\overline z^j \wedge dz^I\wedge d\overline z^J .
$$
Il existe donc un unique opérateur $d'$ (resp. $d''$) de bidegré
$(1,0)$ (resp. $(0,1)$ ) tel que $d=d'+d''$ sur toutes les $p$-formes
à valeurs complexes sur $M$.

\begin{defi}
  \label{def:dbar}
On appelle\footnote{Se prononce comme ça s'écrit.} $\bard$
l'opérateur $d''$ défini ci-dessus. On note par analogie $\partial $
l'opérateur $d'$ défini ci-dessus\footnote{Attention, il ne s'agit pas
  d'opérateurs de dérivation partielles mais de différentiation extérieure.}
\end{defi}


\paragraph{Propriétés}
\label{sec:propr_dbar}
Nous listons ci-dessous les propriétés utiles de $\partial $ et $\bard$.
\subparagraph{1}
\emph{La transposition par une application holomorphe préserve le bidegré.} 
En effet, si $f : m\to N$ est holomorphe, et $\omega$ une $(p,q)$-forme, on a
en coordonnées locales 
$$f^*\omega =\sum_{I,J}\omega_{I,J}\circ f\, df^I\wedge d\overline f^J$$
qui est également de bidegré $(p,q)$ car les $df_j$ sont de bidegré
$(1,0)$.
En conséquence, si $f$ est holomorphe,  on a les commutations suivantes :
$$f^*\partial  \omega = \partial  f^*\omega\ ;\quad f^*\bard \omega =
\bard f^*\omega$$
qui se déduisent de la
formule~\ref{prop:pullback} en séparant les bidegrés $(p+1,q)$ et
$(p,q+1)$.
\subparagraph{2}
\emph{$\partial  $ et $\bard$ anticommutent, et sont de carré nul,}
ce qui se voit encore en cassant en bidegrés purs la formule
$d^2=0$. Comme se vérifie la dernière propriété :
\subparagraph{3}
\emph{$\partial  $ et $\bard$ sont des antidérivations de degré~1.}

Si $E$ est un fibré vectoriel holomorphe au dessus d'une variété
analytique complexe $M$, une $(p,q)$-forme à valeurs dans $E$ est une
section  $\,\ci$ du fibré $\BigWedge^{p,q}T^*M \otimes E.$ Notez que ce
fibré n'est \emph{pas} holomorphe si $q>0$. On notera
$\,\ci_{p,q}(M,E)$ l'espace de ces $(p,q)$-formes.
L'espace des
\emph{$p$-formes holomorphes à valeurs dans $E$} est donné par les
sections holomorphes du fibré (holomorphe)  
$\BigWedge^{p,0}T^*M \otimes E=\BigWedge^pT^*_{\CC{}}M\otimes E.$ 
\begin{prop}
  \label{prop:dbar_fib}
  Soit $\Fib E \pi M$ un fibré vectoriel holomorphe de rang $r$, il
  existe un unique opérateur (noté $\bard$) qui 
  coïncide dans les trivialisations locales avec l'opérateur $\bard$
  de la définition~\ref{def:dbar}.
\end{prop}
\Preuve
Soit $\coord [s] r $ un repère local de $E$, et $\coord [z] n$ des
coordonnées locales sur la base. 
Une $(p,q)$-forme sur $M$ à valeurs dans $E$ a pour expression en coordonnées
locales 
$$\omega =\sum_{I,J,\nu } \omega ^{I,J}_\nu \, dz^I\wedge d\overline z ^J
\otimes s_\nu $$
où les coefficients $\sum_\nu \omega ^{I,J}_\nu s_\nu $
sont des sections locales de $E$. L'opérateur défini par $\bard$ dans une
trivialisation $\varphi _\alpha $ de $E$ est déterminé par
$$\bard\bigl(\sum_\nu \omega ^{I,J}_\nu s_\nu \bigr)=\sum_{\nu,l}
\frac {\partial \omega ^{I,J}_\nu}{\partial \overline z_l} d\overline z ^l \otimes s_\nu $$
 donc par son calcul sur les sections ($\,\ci$ ) de $E$.

%est bien défini globalement car les coefficients 
%$$\frac {\partial \omega ^{I,J}_\nu}{\partial \overline z_l}$$
%sont à nouveau des sections de $E$. En effet, 
Si $U_\alpha , U_\beta $ sont deux ouverts de trivialisations de $E$,
sur lesquels on a les repères $\coord [s^\alpha ] r$ et 
$\coord [s^\beta  ] r$, et $\sigma $ est une section de $E$ définie
sur $U_{\alpha \beta }$ avec $\sigma = \sum_{\nu =1}^r \sigma _\alpha^\nu  s^\alpha_\nu 
=\sum_{\mu =1}^r \sigma _\beta ^\mu  s_\mu ^\beta $,
la relation de
compatibilité~(\ref{eq:compat_sect}) s'écrit en coordonnées :
$$\sigma _\beta ^\mu = \sum_\nu \tau_ { \beta \alpha }^{\mu \nu }\sigma _\alpha ^\nu $$
avec $\tau _{\beta \alpha }=\sum_{\nu ,\mu }\tau _{\beta \alpha }^{\mu
  \nu } s_\mu ^\beta \otimes (s^\alpha_\nu )^*.$
Le fibré $E$ étant holomorphe, ses automorphismes de transition sont
holomorphes, donc les coefficients $\tau _{\beta \alpha }^{\mu \nu } :
U_ {\alpha \beta } \to \CC{}$
sont des applications holomorphes, ce qui signifie que 
$$\frac {\partial \tau _{\beta \alpha }^{\mu \nu }}{\partial \overline z_l}=0 $$
pour tout $l$. Donc
\begin{displaymath}
  \begin{split}
\frac {\partial \sigma _\beta ^\mu} {\partial \overline z_l} &= 
\sum_\nu \tau_ { \beta \alpha }^{\mu \nu }\frac {\partial \sigma
  _\alpha ^\nu } {\partial \overline z_l} 
= \tau_ { \beta \alpha } \left(\frac {\partial \sigma
  _\alpha ^\nu } {\partial \overline z_l}\right).
\end{split}
\end{displaymath}

Ceci signifie que les $\partial  s /\partial  \overline z_l$ sont bien
définies en tant que sections de $E$, donc que $\bard s = \allowbreak\sum_l
\partial  s /\partial  \overline z_l \otimes d\overline z_l$ se recolle comme prévu.

\begin{rema}
  Il n'y a pas de résultat analogue pour l'opérateur $\partial $ car on
  n'a pas $\partial \tau _{\beta \alpha }=0$, de même qu'il n'y a pas
  d'opérateur $d$ canonique sur les fibrés vectoriels réels. Le
  problème revient à se   donner une connexion, ce qui est équivalent
  à fixer une métrique sur les fibres. On sort alors du strict calcul
  différentiel pour entrer dans la géométrie riemannienne ou
  hermitienne. Dans ce contexte, une connexion réelle se décomposera
  en une composante antiholomorphe déterminée par la structure
  complexe ($\bard$) et une composante de type $\partial $ non canonique.
\end{rema}


\subsection{Lemme de Dolbeault-Grothendieck}
\label{sec:dolb-gr}

Le lemme de Dolbeault-Grothendieck joue en analyse complexe le même
rôle que le lemme de Poincaré en analyse réelle. J'en donne ici une
démonstration simple qui n'est pas la plus soigneuse du point de vue
de la régularité, mais qui est assez proche de la démonstration originale.
Pour $R=(R_1,\ldots,R_n)\in \RR n_+$, on note $D(0,R)=\{|z_1|<R_1\,;
\ldots ; |z_n|<R_n\}\subset \CC n$ un \emph{polydisque}. 
\begin{theo}
  \label{th:dolb-gr}Soit $q\geq 1$.
Si $\omega \in \ci_{p,q} (D(0,R))$ est une $(p,q)$-forme $\,\ci$ sur un
polydisque $\bard$-fermée, alors il existe $\omega '\in \ci_{p,q-1}
(D(0,R))$ telle que $\bard \omega '=\omega $.
\end{theo}

\Preuve Nous commençons par un lemme élémentaire.
\begin{lemm}
  \label{lemm1}
Soient $K,L,L'$ des compacts de (resp.) $\CC{},\CC n,\RR m$. On pose
$S=K\times L\times L'$ et on note $(z,t,w)$ un point de $S$. 
Si $g$ est une fonction $\, \ci$ sur un voisinage de $S$ à valeurs dans $\CC{}$,
holomorphe par rapport à $w$ (à $z,t$ fixés), 
il existe une fonction $f$ $\,\ci$ sur un voisinage de $S$, holomorphe
par rapport à $w$, telle que 
$$\frac{\partial  f}{\partial  \overline z} = g$$
au voisinage de $S$.
\end{lemm}
\Preuve Quitte à multiplier $g$ par une fonction plateau (égale à $1$
sur $S$, à support compact dans $\CC{}\times\CC n\times\RR m$), on
peut supposer que $g$ est à support compact. On pose
\begin{displaymath}
  \begin{split}
    f(z,w,t)&=-\frac{1}\pi \int_\CC{} \frac{g(\zeta ,w,t)}{\zeta -z}d\lambda (\zeta )\\
&=-\frac{1}\pi \int_\CC{} \frac{g(\zeta +z,w,t)}{\zeta }d\lambda (\zeta )\\
  \end{split}
\end{displaymath}
où $d\lambda $ note la mesure de Lebesgue de $\CC{}$. Par dérivation
sous l'intégrale, et en remarquant que $d\lambda (\zeta )dV_\CC{}=
\frac i2 d\bar\zeta \wedge d\zeta $, on a
\begin{displaymath}
  \begin{split}
    \frac{\partial  f}{\partial  \overline z} (z,w,t)&=\frac 1{2i\pi
      }\int_\CC{}\frac 1\zeta \frac{\partial  g}{\partial  \overline z}
    (z+\zeta ,w,t)\,d\bar\zeta \wedge d\zeta \\ 
  &= \lim_{\varepsilon \to 0} \frac 1{2i\pi      }\int_{|\zeta| \geq
    \varepsilon } \frac 1\zeta \frac{\partial  g}{\partial  \overline \zeta }
    (z+\zeta ,w,t)\,d\bar\zeta \wedge d\zeta \\ 
  &= \lim_{\varepsilon \to 0} \frac 1{2i\pi      }\int_{|\zeta| \geq
    \varepsilon } d_\zeta \bigl( \frac 1\zeta  g
    (z+\zeta ,w,t)\,d\zeta\bigl) \\ 
  &= \lim_{\varepsilon \to 0} \frac 1{2i\pi      }\int_{|\zeta| =
    \varepsilon } \frac 1\zeta  g
  (z+\zeta ,w,t)\,d\zeta \quad\mbox{ par le théorème de Stokes}\\
  &=g(z,w,t) \quad\mbox{ car } g \mbox{ est continue en } z \mbox{ et }  \frac
  1{2i\pi      }\int_{|\zeta| =  \varepsilon } \frac 1\zeta\, d\zeta=1. 
  \end{split}
\end{displaymath}
 
Le c\oe ur de la démonstration est donné par ce second
\begin{lemm}
  \label{lemm2}Soit $q\geq 1$.
  Si $K_1,\ldots,K_n$ sont des compacts de $\CC {}$. Si $\omega $ est
  une $(p,q)$-forme $\,\ci$ sur un voisinage de
  $S=K_1\times\cdots\times K_n$ telle que $\bard \omega =0$
alors il existe une $(p,q-1)$-forme $\,\ci$ sur un voisinage de
  $S$ $\omega '$ telle que $\bard \omega '=\omega $ au voisinage de $S$.
\end{lemm}
\Preuve
%On va raisonner par récurrence sur le nombre de facteurs « $d\overline z_j$
%» impliqués dans l'écriture de $\omega $. Pour ce faire, 
On pose
$\mathcal{A}^{p,q}_k$ l'espace des $(p,q)$-formes ($\,\ci$ sur un voisinage de
  $S$) qui s'écrivent $\omega =\sum_{I,J}\omega _{IJ}dz^I\wedge d\bar
  z ^J$ avec $J\subset \{1,\ldots,k\}$. Nous allons démontrer le
  lemme~\ref{lemm2} pour les formes de $\mathcal{A}^{p,q}_k$ par récurrence sur $k$. 
Pour $k=0$ $\omega =0$ : il n'y a rien à vérifier. Supposons le
le lemme vérifié par les éléments de $\mathcal{A}^{p,q}_k$ et soit
$\omega $ un élément de $\mathcal{A}^{p,q}_{k+1}$. On peut écrire
$\omega = d\overline z_{k+1}\wedge \omega _1 +\omega _2$ où $\omega
_1,\omega _2 \in \mathcal{A}^{p,q}_k$ d'où
$\bard \omega =-d\overline z_{k+1}\wedge \bard  \omega _1 +\bard \omega
_2$. 
On introduit la notation $\frac{\partial  \omega }{\partial  \overline z _l}=
\sum_{I,J}\frac{\partial  \omega _{IJ}}{\partial  \overline z _l}dz^I\wedge d\overline 
  z ^J$ de telle sorte que $\bard \omega =\sum_l d\overline z_l\wedge
  \frac{\partial  \omega }{\partial  \overline z _l}$. 
En comparant les termes qui sont divisibles par $d\overline z _l$ pour
$l> k+1$, on voit que $\bard \omega =0$ implique qu'ils sont nuls,
i.e. $\frac{\partial  \omega _j}{\partial  \overline z _l}= 0$ pour $l>k+1$
et $j=1,2$.
Par conséquent, les $\omega _{IJ}$ sont holomorphes par rapport aux
coordonnées $(z_{k+2},\ldots,z_n)$. Le lemme~\ref{lemm1} entraîne
l'existence d'une $(p,q-1)$-forme $\chi $ $\,\ci$ au voisinage de $S$,
dont les coefficients sont holomorphes par rapport au $z_l$ pour
$l>k+1$ et telle que $\frac{\partial  \chi}{\partial  \overline z _{k+1}}=\omega _1$.
Mais alors 
\begin{displaymath}
  \begin{split}
\bard\chi &=\sum_j d\overline z_j\wedge
  \frac{\partial  \omega }{\partial  \overline z _l}\\
 &=d\overline z_{k+1}\wedge\omega _1+\sum_{j\leq k}d\overline z_j\wedge
  \frac{\partial  \omega }{\partial  \overline z _l}.
\end{split}
\end{displaymath}
On en déduit que $\omega -\bard \chi \in \mathcal {A}^{p,q}_k$. Comme
$\bard(\omega -\bard \chi ) = \bard\omega =0$, l'hypothèse de
récurrence s'applique : il existe une forme $\psi$ telle que
$\omega -\bard\chi =\bard \psi$ donc
$$\omega=\bard (\chi +\psi).$$

\subparagraph{Démonstration du théorème \ref{th:dolb-gr}}
\label{sec:dem}
On pose $D=D(0,R)$ et $D_k=D(0,R(1-2^{-k-1}))$ pour $k\geq 0$.
Comme le fibré $\BigWedge^pT^*\CC n$ est le fibré holomorphe trivial,
on peut raisonner sur les $(0,q)$-formes $\omega _I=\sum_{|J|=q}
\omega _{I,J}d\overline z_J$ puisque le $\bard $ agit séparément sur
chacune de ces composantes.
On fait à nouveau une récurrence : sur $q$.  

$\bullet\quad$ Cas $q=1$. Par la théorie des paires de Runge, les
fonctions holomorphes sur $D_k$ sont 
limites uniformes sur tout compact de $D_k$ de fonctions holomorphes
sur $D$. Si $\omega \in\ci_{0,1}(D)$ vérifie $\bard \omega =0$, il
existe pour tout $k$ une fonction $f_k\in \ci(D_k)$ telle que 
$$\bard f_k=\omega  \mbox { sur  } D_k$$
d'après le lemme~\ref{lemm1}. Comme $\bard (f_{k+1}-f_k)=0$ sur $D_k$,
$f_{k+1}-f_k$ est une fonction holomorphe sur $D_k$. Il existe par
conséquent une fonction $g_k$ holomorphe sur $D$ vérifiant
$$|f_{k+1}-f_k - g_k|\leq \frac 1 {2^k}\mbox{ sur }D_{k-1}.$$
On pose $\tilde f_k=f_k-g_1-\cdots-g_{k-1}$. La suite $\tilde f_k$
est uniformément de Cauchy sur tout compact de $D$, elle converge donc
vers une fonction $\,\ci$ $\omega '$ sur $D$. On a bien $\bard
\omega '=\bard {\tilde f_k}=\omega $ sur $D_k$  car $\tilde f_{k+1}-\tilde f_k$
est une fonction holomorphe sur $D_k$ pour tout $k$.

$\bullet\quad$ Cas $q\geq 2$. Si $\bard \omega =0$ sur $D$, on a
toujours par le lemme~\ref{lemm2} une suite de $(0,q-1)$-formes
$\omega _k$ sur $D_k$ telles que $\bard \omega _k=\omega $ sur
$D_k$. Comme $q-1\geq 1$, on peut appliquer l'hypothèse de récurrence
à $\omega _{k+1}-\omega _k$ : il existe donc une $(0,q-2)$-forme $\chi
_k$ sur $D_k$ telle que $\bard \chi _k=\omega _{k+1}-\omega _k$ sur
$D_k$. Il ne reste plus qu'à poser
\begin{displaymath}
  \begin{array}{ccl}
\omega ' & =& \left\{
  \begin{array}[l]{l}
\omega _0\mbox { sur } D_0\\
\omega _k-\bard \chi _{k-1}-\cdots - \bard \chi _0 \mbox { sur } D_k.
  \end{array}\right .
  \end{array}
\end{displaymath}
En effet, il est évident que $\bard \omega '=\omega $ sur $D_k$ pour
tout $k$ donc sur $D$. D'autre part, cette définition est cohérente
car $(\omega _{k+1}-\bard \chi _k-\cdots - \bard \chi _0 )-( \omega
_k-\bard \chi _{k-1}-\cdots - \bard \chi _0 )=\omega _{k+1}-\omega
_k-\bard \chi _k =0$ sur $D_k$.


\subsection{Cohomologie de Dolbeault}
\label{sec:dolb}

Soit $M$ une variété holomorphe de dimension $n$, et $\Fib E \pi M$ un
fibré vectoriel holomorphe de rang $r$ au dessus de $M$. En vertu de
la proposition précédente~\ref{prop:dbar_fib}, il existe un opérateur
$\bard$ agissant sur les $(p,q)$-formes $\,\ci$ à valeurs dans $E$ tel
que $\bard^2=0$. Ceci, avec les considérations du \S~\ref{sec:dcohom},
nous amène à définir pour chaque $p$ le \emph{complexe de Dolbeault} associé à un
fibré $E$ :
\begin{equation} 
  \label{cpx_dbar}
  0\longrightarrow  \ci_{p,0} (M,E)\stackrel \bard \longrightarrow
\ci_{p,1} (M,E)
\stackrel \bard \longrightarrow  
  \cdots\stackrel \bard \longrightarrow  
\ci_{p,n} (M,E)
\stackrel \bard \longrightarrow  
  0
\end{equation}
dont la cohomologie est dite \emph{cohomologie de Dolbeault}. Les
groupes de cohomologie en degré $q$ du complexe~(\ref{cpx_dbar}) sont
notés $H^{p,q}(M,E)$ et peuvent aussi s'interpréter comme la
cohomologie $H^q(M,\Omega^p_M\otimes E)$ du faisceau analytique
cohérent des $p$-formes \emph{holomorphes} à valeurs dans $E$.

Si $U$ est un ouvert d'une variété analytique complexe biholomorphe à
un polydisque, le
lemme de Dolbeault-Grothendieck affirme donc que les groupes $H^{p,q}(U,E)$
sont nuls pour $q>1$. 

\Exercices
\begin{enumerate}
\item Le tangent au tore complexe de dimension $n$ est
  (holomorphiquement) trivial (i.e. il existe $n$ champs de vecteurs
  $\xi _j\in T_{\CC{}}M, j=1,\ldots,n$ linéairement indépendants en
  tout point). 
\item Déterminer toutes les sections globales de $T^*\CP 1$ (toutes
  les $1$-formes différentielles globales. En déduire que $T^*\CP 1$
  n'est pas holomorphiquement trivial, mais qu'il est globalement
  engendré (il existe en chaque point de $\CP 1$ une section globale
  de $T^*\CP 1$ non nulle).
\item On définit le fibré en droites \emph{tautologique}
  $\mathcal{O}(-1)$ sur $\CP n$  ensemblistement comme le sous-fibré 
  du fibré trivial $\CC {n+1}$ dont la fibre au-dessus d'un point de
  $\CP n$ est précisément la droite de $\CC {n+1}$ représentée par ce
  point. On note $\mathcal{O}(1)$ le fibré dual, puis
  $\mathcal{O}(k)$  la $k$-ème puissance
  tensorielle de $\mathcal{O}(1)$ pour $k\geq 0$, la $|k|$-ème puissance
  tensorielle de $\mathcal{O}(-1)$  pour $k<0$. Montrer que les sections
  globales de $\mathcal{O}(k)$ sur $\CP n$ s'identifient naturellement
  aux polynômes homogènes de degré $k$ en les variables homogènes sur
  $\CP n$. En déduire que $\mathcal{O}(k)$ n'a aucune section globale
  si $k<0$.
\end{enumerate}
\bigskip
%\subsubsection{Cohomologie locale des fibrés vectoriels}
%\label{sec:cohom_fib}


%\clearpage
%\pagestyle{empty}
\small
\bibliography{geodif}
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  \newenvironment{quotetroit}
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               \item[]} {\endlist}%
\begin{quotetroit}%
%\leftskip 1cm
\footnotesize

\textbf{Remerciements\pointir}
Je remercie Christine Laurent de m'avoir proposé de donner ce cours.
%La préparation de ces notes a été partiellement facilitée par Yves
%Laurent.
 Une proportion substantielle du texte des parties 1 \& 2 est dûe à
Bernard Parisse, dont j'ai inclus \& remanié les notes de cours de
l'été dernier. 
%Jean-Pierre Demailly m'a donné des
%éléments ayant facilité la rédaction de ces notes, et m'a appris une
%très grande part de ce que j'ai écrit ici.
Pour l'essentiel,  ce texte a été inspiré par \cite{Naras}.

%\textbf{Colophon\pointir}
%Ce document a été composé à l'aide du système \lower.5ex\hbox{pdf}\LaTeX, et d'une
%quantité considérables de macros et de fontes d'origines extrêmement
%diverses qui, je l'espère, concourent à l'homogénéité de sa
%présentation. La police utilisée dans le texte est \textsf{Utopia} dessinée par
%Robert Slimbach, les caractères mathématiques sont en \textsf{Utopia
%italique} pour les lettres, en \textsf{Lucida} (dessiné par Charles Bigelow \&
%Chris Holmes) pour les lettres grecques et petits symboles. Certains grands
%symboles et autres délimiteurs ont été dessinés par Donald Knuth
%(fontes de la famille \textsf{Computer Modern}) ;
%les capitales anglaises sont un  \textsf{Commercial Script}.
%%tandis que les caractères à barre doublée de \textsf{bbold} sont dûs à
%%Alan Jeffrey. 
%Les très rares apparitions de caractères sans
%empattements laissent voir un fragment de l'\textsf{Univers} d'Adrian Frutiger.
\end{quotetroit}
\end{document}
% LocalWords:  cmsy cmbsy cmex eufm eufb jolly oldstyle titlepage definitions
    
% LocalWords:  ifprepub french boudef frbib graphicx inputenc showkeys empty
% LocalWords:  fralpha headings width height
