soutenue à l'Institut Fourier.

Tresses sur les surfaces et invariants d'entrelacs

Paolo BELLINGERI

15 avril 2003

Le groupe de tresses à $n$ brins sur une surface $S$ est une généralisation naturelle à la fois du groupe de tresses classique à $n$ brins et du groupe fondamental de $S$. Dans la première partie de cette thèse nous donnons des nouvelles présentations pour les groupes de tresses sur les surfaces, qui améliorent les présentations obtenues auparavant par Scott et González-Meneses. Nous montrons ensuite comment associer à tout graphe à $n$ sommets sur la sphère une présentation pour le groupe de tresses à $n$ brins sur la sphère, ce qui étend le résultat de Sergiescu dans le cas des graphes planaires. Nous calculons aussi le $Out$ des groupes de tresses sur la sphère. Ensuite, nous généralisons au cas des tresses sur les surfaces les résultats de Fenn, Rolfsen et Zhu sur les centralisateurs des tresses. Comme application de ce résultat nous obtenons la résolubilité du problème du mot pour les monoïdes de tresses singulières sur les surfaces. Dans la dernière partie, nous étudions les algèbres de Hecke cubiques et nous démontrons qu'il existe une trace de Markov sur des quotients convenables de ces algèbres, en généralisant l'approche de V. Jones. Nous construisons ainsi deux nouveaux invariants d'entrelacs, différents des invariants HOMFLY et de Kauffman, récursivement calculables et définis d'une manière unique par deux relations d'écheveau explicites, dont une cubique.

Class. Math. : 20F36, 20F38, 57M25, 57N05, 20F34.

Mot-clé : Groupes de tresses, Groupes de tresses sur les surfaces, Invariants d'entrelacs, Tresses singulières, Mapping class groups

Le texte complet de la thèse est disponible en version postscript. Retour à la liste des thèses de l'Institut Fourier.