La théorie conforme des champs de Liouville fut introduite en 1981 par le
physicien Polyakov dans le cadre de sa théorie des sommations sur les
surfaces de Riemann. Bien que la théorie de Liouville est très étudiée
dans le contexte de la physique théorique, ce n'est que récemment que nous
avons réussi à la construire rigoureusement par une méthode probabiliste
basée sur une intégrale de chemins à la Feynman. Dans cet exposé,
j'expliquerai les principes de la construction mais surtout les nombreux
problèmes ouverts autour de cette théorie: lien avec les grandes cartes
planaires, théorèmes d'intégrabilité, etc...  Cet exposé est basé sur des
travaux en commun avec F. David, A. Kupiainen et R. Rhodes.