La notion d'algèbre de pre-Calabi-Yau est apparue dans la dernière décennie et a été introduite par M. Kontsevich et Y. Vlassopoulos. Elle est étroitement liée à la notion d'algèbre A-infinie. En effet, la donnée d'une structure de pre-Calabi-Yau sur un espace vectoriel gradué de dimension finie est équivalente à la donnée d'une structure A-infinie sur un certain espace vectoriel gradué de dimension finie satisfaisant certaines propriétés. Les algèbres de Poisson double sont un exemple d'algèbres de pre-Calabi-Yau. Il a été démontré par F. Fernandez et E. Herscovich qu'un morphisme entre deux algèbres de Poisson double A et B induit une A-infini algèbre cyclique et un morphisme A-infini cyclique entre A (resp. B) et cette dernière.