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Le modèle FK (Fortuin-Kasteleyn) est un modèle de percolation
dépendante, qui permet d'unifier le modèle de percolation de Bernoulli, le modèle d'Ising et les modèles de Potts dans une même famille à un paramètre.
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Une quantité essentielle dans l'analyse des processus de percolation est la fonction de connectivité, qui donne la probabilité que l'origine soit connectée à un site donné. Elle est également directement reliée aux fonctions de corrélation à 2-point des modèles d'Ising et Potts.
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Je présenterai les résultats suivants sous une hypothèse de
sous-criticalité : asymptotique précise de type Ornstein-Zernike pour la fonction de connectivité ; asymptotique précise pour la probabilité que l'origine soit connectée au bord d'une boîte ; principe d'invariance pour les longs amas ; convexité stricte et analyticité du massgap.
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En dimension 2, grâce à une propriété de dualité, ces résultats ont les conséquences suivantes pour le régime surcritique : convexité stricte et analyticité de la forme de Wulff, et principe d'invariance pour les interfaces. Ces résultats montrent en particulier l'absence de transition de roughening en dimension 2.
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Cet exposé est basé sur un travail effectué en collaboration avec
Massimo Campanino et Dima Ioffe.