Il s'agit d'un travail en cours avec Nikolay Martynchuk, en relation avec plusieurs travaux antérieurs d'Yves Colin de Verdière. On essaie de comprendre comment classifier les Hamiltoniens 1D avec une singularité à l'origine de la forme $\xi^2+x^k$, avec l'espoir de faire de la théorie spectrale inverse (dans le cas à spectre discret). Le cas Morse (k=2) est bien connu et se ramène à un oscillateur harmonique. Le cas général semble ouvert. L'idée naturelle est de transformer le Hamiltonien en un "opérateur de Schrödinger" $\xi^2 + V(x)$. Je présenterai les premiers résultats sur la classification formelle, analytique et $C^\infty$.