Cette histoire commence avec la loi de réciprocité quadratique de Gauss,
qui donne
une recette simple pour qu'un entier fixé n soit un carré modulo un
nombre premier
variable p, recette qui ne dépend que de la classe de congruence de p
modulo 4n.
De façon générale, on peut se demander si, étant donné un système
d'équations
polynomiales en plusieurs variables à coefficients entiers, le nombre de
solutions
de ce système dans Z/pZ, quand p varie, est donné par une recette simple.
En dehors
de cas très particuliers comme la cyclotomie (c'est-à-dire l'équation
X^n=1), cette recette
ne peut être donnée en termes de congruences, mais, dans les années 1960,
Langlands
a suggéré que la réponse était liée à des objets de nature à la fois
analytique et arithmétique,
les formes modulaires (étudiées depuis le XIXème siècle) et leurs
généralisations. Par
exemple, le nombre de points modulo p d'une courbe elliptique sur Z est
donné
par les coefficients d'une forme modulaire de poids 2: c'est la conjecture
de
Taniyama-Weil, prouvée par Andrew Wiles et al., qui entraîne le grand