Marie Théret

Ce travail a été réalisé en collaboration avec Raphaël Cerf (DMA, ENS), Olivier Garet et Régine Marchand (IECL, Univ. Lorraine).

 

Considérons le modèle de percolation de premier passage standard sur le graphe Z^d : aux arêtes e du graphe sont associées des variables (t(e)) i.i.d. positives. La variable t(e) est appelée le temps de passage de e, c’est le temps nécessaire pour traverser l’arête e. Il en découle une pseudo-métrique aléatoire T sur le graphe : T(x,y) est le temps minimal nécessaire pour aller d’un site x à un site y. Cette pseudo-métrique a été largement étudiée. On peut montrer entre autres que

- quelque soit le site x considéré,la limite quand n tend vers l’infini de T(0,nx)/n existe en un certain sens : on l’appelle la constante de temps et on la note m(x), 

- cette convergence a lieu uniformément en la direction de x : c’est le théorème de forme asymptotique,

- la constante m(x) dépend continûment de la loi des temps de passage.

 

Que se passe-t-il si au lieu de considérer le modèle classique, on autorise les temps de passage des arêtes à être infinis ? Il faut s’assurer que les arêtes de temps de passage fini percolent, i.e., on suppose que l’atome de la loi des temps de passage en l’infini est inférieur strictement à 1-p_c(d), le paramètre critique pour la percolation de Bernoulli par arêtes dans Z^d. Cela revient à faire une percolation de Bernoulli sur-critique sur Z^d, puis à associer indépendamment des temps de passage finis à chaque arête restante. Nous verrons comment généraliser les résultats précédents à ce type de lois des temps de passage.