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Christophe Leuridan

Bernoullicité de [T,Id] quand T est une rotation irrationnelle : à la recherche d'une preuve constructive
Mardi, 30 Avril, 2019 - 14:00
Résumé : 

Soit $\theta$ un nombre irrationnel. La translation $T$ de $\theta$ sur le tore ${\bf T}$ muni de la mesure de Haar est ergodique. On s'intéresse à la transformation $[T,{\rm Id}]$ de $\{0,1\}^{\bf N} \times {\bf T}$ dans lui-même définie par $$T((x_n)_{n \ge 0},y) = ((x_{n+1})_{n \ge 0},T^{x_0}y).$$ Feldman et Rudolph ont montré en 1998 que cette transformation est équivalente à un décalage de Bernoulli (unilatéral), mais leur preuve n'est pas constructive. Une preuve constructive avait été donnée auparavant par Parry, dans le cas où $\theta$ s'approche extrêmement bien par les nombres rationnels, plus précisément lorsqu'on peut trouver une suite de fractions $p/q$ avec $p$ et $q$ entiers telle que $$4^{q^2}q^4|\theta - p/q| \to 0.$$ En améliorant la méthode de Parry, nous affaiblissons cette condition diophantienne en $$q^4|\theta - p/q| \to 0.$$

Thème de recherche : 
Probabilités
Salle : 
04
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