Camille Horbez

Un groupe G satisfait l'alternative de Tits si tout sous-groupe de G qui ne contient pas de sous-groupe libre non abélien est virtuellement résoluble. Cette alternative a été montrée par Tits pour les groupes linéaires en caractéristique nulle, puis étendue à d'autres classes intéressantes de groupes, comme les groupes hyperboliques (Gromov), les groupes modulaires de surface (McCarthy, Ivanov), ou encore le groupe Out(F_N) des automorphismes extérieurs d'un groupe libre de type fini (Bestvina-Feighn-Handel).

L'objetif de mon exposé sera de présenter une version de l'alternative de Tits pour le groupe des automorphismes (extérieurs) d'un produit libre. Un théorème de Grushko affirme que tout groupe de type fini se scinde en un produit libre de la forme G=G_1*...*G_k*F_N, où chaque facteur G_i est non trivial, non isomorphe à Z, et librement indécomposable. Le résultat que je présenterai permet de ramener l'étude de l'alternative de Tits pour le groupe Out(G) à chacune des parties indécomposables de cette décomposition : si chacun des groupes G_i et Out(G_i) satisfait l'alternative de Tits, alors Out(G) la satisfait également. Nous présenterons quelques applications de ce théorème (notamment au cas où G est un groupe d'Artin à angles droits ou un groupe relativement hyperbolique torique), ainsi que les idées essentielles de sa démonstration, qui repose sur l'étude de l'action de sous-groupes de Out(G) sur des espaces hyperboliques.