Les équations aux unités sont des équations de la forme $ \alpha x + \beta y = 1$ où $\alpha,\beta$ appartiennent à un corps de nombres fixé $K$ et où les inconnues $x,y$

sont cherchées dans l'anneau des unités de $\mathcal{O}_K$ ou des généralisations de celui-ci.

Elles sont utilisées dans de nombreux problèmes diophantiens, ce qui est une des motivations pour obtenir des bornes effectives sur leurs solutions.

Dans cet exposé, j'essaierai de décrire progressivement par quelles techniques on obtient habituellement de telles bornes, avant de parler d'un travail en cours avec Kalman Györy dans lequel

nous améliorons les bornes existantes et étudions quelques-unes des (nombreuses) variantes et applications.