Ecole Été 2001

Cycles algébriques, aspects transcendants

18 juin - 6 juillet 2001

Organisateurs : Chris Peters (Institut Fourier, Grenoble) et Stefan Müller-Stach (Université de Essen, Allemagne)

Responsable administratif : Jean-Pierre Demailly

Motivation :

La géométrie algébrique est un des domaines centraux des mathématiques, où de nombreuses questions profondes restent à explorer. Depuis les années soixante la géométrie algébrique a connu un développement explosif et, à l’heure actuelle, il y a beaucoup de sous-disciplines ayant leurs problèmes et méthodologies propres.

Cette diversité fait apparaître le besoin d’utiliser un vaste arsenal d’outils qui vont de l’algèbre commutative à la topologie en passant par l’analyse complexe. Les méthodes dites "transcendantes’’ s’intéressent, en particulier, à ces deux derniers aspects et jouent un rôle pour l’étude des variétés algébriques projectives, c’est-à-dire les sous-ensembles de l’espace projectif définis par un nombre fini de polynômes (homogènes) à coefficients complexes.

Les cycles d’une variété algébrique sont par définition les combinaisons linéaires formelles de sous-variétés. L’espace des cycles se trouve être véritablement "énorme’’. Il y a deux façons non-équivalentes de rendre cet espace plus maniable. La méthode classique est d’introduire des équivalences convenables et cela conduit aux groupes de Chow et à leur théorie d’intersection. Une référence classique du sujet est le livre de Fulton : Intersection Theory, Ergebnisse der Math. 3. Folge, Band 2, Springer Verlag 1984. Une nouvelle méthode est apparue récemment. Elle consiste d’abord à fixer un degré, ce qui donne une variété de Chow, puis à prendre ensuite une limite topologique lorsque le degré tend vers l’infini, dans une catégorie convenable où les variétés sont identifiées si leurs groupes d’homotopie coïncident. Cela mène aux groupes d’homologie et de cohomologie de Lawson, comme développés par Lawson, Lima­Filho, Friedlander et. al. Les groupes de Lawson restent largement mystérieux bien qu’il y ait des liens avec l’approche traditionnelle des groupes de Chow.

Parmi les méthodes typiquement transcendantes figure l’application des périodes, introduite systématiquement par Griffiths dans les années soixante-dix. Avec cet outil, Griffiths et Clemens ont obtenu des résultats spectaculaires sur les cycles.

Une approche infinitésimale de cette théorie a été proposée par Green, Griffiths et Harris et a eu beaucoup de succès dans les mains de Clemens, Green et Voisin. Un résultat majeur a ensuite été obtenu par M. Nori qui a généralisé et raffiné les résultats antérieurs de Griffiths et Clemens. Ce résultat est plutôt qualitatif. Des versions quantitatives ont été obtenues ces dernières années par Paranjape et Nagel.

Le but de l’école sera d’expliquer l’essentiel des outils nécessaires pour comprendre cet ensemble de résultats récents. Plus précisément, on introduira et on étudiera :

1. Les cycles algébriques, les équivalences sur les espaces de cycles, la variété de Chow et leurs "limites topologiques’’,

2. L’application des périodes, l’application d’Abel-Jacobi, les fonctions "normales’’, et les méthodes infinitésimales,

3. Les résultats de Clemens, Green, Griffiths, Nori et Voisin.

4. Les groupes de (co)homologie de Lawson.

Enfin d’augmenter l’accessibilité à ces thèmes, pendant la première semaine on rappelera quelques résultats fondamentaux de la géométrie algébrique complexe.

 

Liste des conférenciers :

Collino Alberto (Univ. Turin, Italie)

Del Angel Pedro (CIMAT, Guanajuato, Mexique)

Elbaz-Vincent Philippe (Univ. Montpellier II, France)

Elizondo Javier (UNAM, Mexico, Mexique)

Joshua Roy (Univ. Ohio, États-Unis)

Kosarew Siegmund (Institut Fourier, Grenoble, France)

Laterveer Robert (IRMA de Strasbourg, France)

Lewis James (Univ. Alberta, Canada)

Lima-Filho Paulo (Texas A&M Univ., États-Unis)

Mouroukos Evangelos (Univ. Michigan, États-Unis)

target="_blank">Müller-Stach Stefan (Univ. Essen, Allemagne)

Murre Jacob (Univ. Leiden, Pays-Bas)

Nagel Jan (Univ. Lille 1, France)

Peters Chris (Institut Fourier, Grenoble, France)

Reznikov Alexander (Univ. Durham, Grande-Bretagne)

Saito Shuji (Univ. Nagano, Japon)

 

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