Autour de la notion d'irrégularité ponctuelle

La notion d'irrégularité ponctuelle a été initiallement introduite pour étudier les propriétés fines des fonctions continues nulle part dérivables. Des exemples classiques de telles fonctions sont les fonctions de Weierstrass ou les trajectoires de processus stochastiques type Brownien fractionnaire. Ces modèles vérifient des propriétés remarquables comme la célèbre loi du log itéré, à savoir ce sont des fonctions ayant le même degré de régularité et d'irrégularité uniforme.
Dans cet exposé, on donnera tout d'abord une définition générale de la notion d'irrégularité ponctuelle. On donnera ensuite des exemples de fonctions sortant du cadre classique des fonctions uniformément Holdériennes et uniformément irrégulières de même exposant. On s'interrogera alors sur la nature de cet exposant d'irrégularité ponctuelle et son lien éventuel avec l'exposant classique de régularité ponctuelle.
On s'intéressera enfin aux fonctions dont l'exposant d'irrégularité peut varier brutalement suivant le point considéré : c'est ce que l'on appelle les fonctions multifractales (au sens faible). On distinguera cette nouvelle notion de multifractalité de celle usuelle relié à la régularité ponctuelle. On conclura alors par une étude de l'existence éventuelle d'un formalisme multifractal pour l'irrégularité ponctuelle.
(Travail en collaboration avec S. Nicolay Université de Liège)