L'accessibilité hiérarchique des groupes realtivement hyperboliques (sans torsion)

En topologie il arrive souvent que l'on découpe une variété le
long d'une sous-variété connexe de codimension 1. La variété avec bord
qui résulte a soit une ou deux composantes connexes; des morceaux. En
théorie des groupes la situation analogique est de scinder le groupe
comme un produit amalgamé G = A*_C B ou comme une extension HNN G =
A*_C, ici le groupe d'arrête C joue le rôle de la sous variété et les
groupes sommets A,B jouent les rôles des morceaux. On peut ensuite
répéter l'opération avec les morceaux, continuer, continuer... et
espérer qu'éventuellement on arrive à  des morceaux qui ne se
découpent plus, ce qu'on appelle des morceaux rigides. Si ça arrive
on dit que G admet une hiérarchie finie.

Dans un papier de 2000 Delzant et Potyagailo donnent une démonstration
que tout groupe finiment présenté sans éléments d'ordre 2 admet une
hiérarchie finie où on coupe les morceaux le long de sous groupes
dits élémentaires. Dans le cas où G est hyperbolique élémentaire
revient à  virtuellement cyclique. Leur construction est super jolie,
mais malheureusement il y a un trou dans leur argument. Récemment Lars
Louder et moi avons réussi à  réparer ce trou et à  donner un résultat
plus précis pour les groupes (relativement) hyperboliques sans
torsion.

Après une brève illustration de la machinerie utilisée pour prouver ce
résultat, je montrerai comment la théorie JSJ intervient pour nous
donner un meilleur contrôle sur les décompositions hiérarchiques.