Sur le profil des arbres plongés

Les arbres binaires sont des objets combinatoires élémentaires, extrêmement étudiés, en lien notamment avec l'algorithmique et les
probabilités. Dans un tel arbre, chaque sommet à  un fils droit et/ou un fils gauche.
Parmi les paramètres les plus étudiés sur ces arbres, on trouve le profil horizontal : il décrit combien de sommets on trouve à  distance
$i$ de la racine, et ce pour tout $i$.

Il y a quelques années est apparue une notion de profil *vertical* : on attribue à  la racine de l'arbre l'abscisse 0, et au fils gauche (resp. droit) d'un sommet d'abscisse $i$ l'abscisse $i-1$ (resp. $i+1$), comme il se doit. Le profil vertical décrit combien de sommets on trouve à  l'abscisse $i$, pour tout $i$.

Cette notion est motivée par les liens entre
les arbres étiquetés et les cartes planaires d'une part, la mesure aléatoire ISE (integrated superbrownian excursion) d'autre part.

On démontre une formule produit simple donnant le nombre d'arbres binaires ayant $n_i$ sommets d'abscisse $i$ pour tout $i$.

On la démontre --- et puis on l'adapte à  d'autres familles d'arbres (ternaires, Cayley...), et on la raffine, le tout bijectivement. Trouver des formules neuves et non triviales pour des
objets aussi simples que des arbres est toujours surprenant.

Ce travail est réalisé avec Guillaume Chapuy (CNRS, LIAFA, Paris 7).