Une majoration de l'espérance des nombres de Betti d'une hypersurface algébrique réelle aléatoire

Soit $X$ une variété lisse compacte complexe munie d'une conjugaison $c$, et $L$ un fibré en droites holomorphe hermitien de courbure strictement positive et muni d'une conjugaison relevant $c$. L'espace des sections de $L^d$ réelles possède une mesure de probabilité naturelle. Dans un travail obtenu en collaboration avec Jean-Yves Welschinger, nous majorons asymptotiquement chacun des nombres de Betti moyens de la partie réelle du lieu d'annulation des sections réelles de $L^d$. Je donnerai les idées de la démonstration, qui utilise entre autres les sections pics de Hörmander-Tian. On verra en particulier que ces majorations font apparaître la valeur absolue moyenne du déterminant d'une matrice symétrique réelle aléatoire de signature donnée.