Schémas de Hilbert invariants et théorie classique des invariants (Soutenance de thèse)

On considère $G$ un groupe classique ($SL(V)$, $GL(V)$, $O(V)$,...) et $X$ la somme directe de $p$ copies de la représentation standard de $G$ et de $q$ copie de sa représentation duale, où $p$ et $q$ sont des entiers
positifs. On s'intéresse alors au schéma de Hilbert invariant, noté $H$, qui paramètre les sous-schémas fermés $G$-stables $Z$ de $X$ tels que $k[Z]$ est
isomorphe à  la représentation régulière de $G$.

Nous verrons que $H$ est une variété lisse lorsque la dimension de $V$ est petite, mais que $H$ est singulier en général. Lorsque $H$ est lisse, le morphisme de Hilbert-Chow $H \rightarrow X//G$ est une résolution canonique des singularités du quotient catégorique $X//G$
(=$Spec(k[X]^G)$). Il est alors naturel de se demander quelles sont les bonnes propriétés géométriques de cette résolution (par exemple est-elle crépante?).

Pour finir, on évoquera certains résultats analogues dans le cadre symplectique, c'est-à -dire en prenant $p=q$ et en remplaçant $X$ par la fibre en $0$ de l'application moment. Les quotients obtenus sont alors isomorphes à  des adhérences d'orbites nilpotentes et le morphisme de
Hilbert-Chow permet d'en construire des résolutions (parfois symplectiques).