Loïs Faisant

Les variétés toriques, les variétés de drapeaux, les variétés de Fano, …, ont ceci de commun que leur anneau de Cox est engendré par un nombre fini d’éléments : ce sont des « Espaces de Rêve de Mori » (« Mori Dream Spaces », MDS). 

 

Après un rappel des définitions en jeu, étant donnés un MDS projectif X ainsi qu’une courbe lisse projective géométriquement irréductible C, possédant un point sur le corps de base (supposé à priori quelconque), on expliquera comment obtenir une paramétrisation algébrique des morphismes C -> X, pouvant être interprétée comme un relèvement de ces ‘courbes' au torseur universel de X. 

 

En guise d’application de la paramétrisation ci-dessus, lorsque X est une variété torique projective lisse et déployée, on étudiera la classe, dans un anneau de variétés, de l’espace de modules des morphismes de C vers X satisfaisant certaines conditions de tangence vis-à-vis des diviseurs équivariants sous l’action du tore de X. 

 

À degrés (ou hauteurs) des morphismes donnés et lorsque le corps de base est un corps fini F_q, l’application d'une mesure de comptage ramène cette étude à celle de la répartition, au sens classique, des F_q ( C ) - points d’une certaine 'orbifolde de Campana’. 

 

Finalement, on montrera comment en déduire des équivalents asymptotiques fins des classes et comptages ci-dessus, lorsque les degrés des morphismes tendent tous vers l’infini. 

 

Les résultats présentés sont motivés par une variante motivique du programme de Manin-Peyre concernant la répartition des points rationnels des variétés de Fano sur les corps globaux.