Hypertranscendance de fonctions de Mahler du premier ordre

Soit $K$ un corps équipé d'un endomorphisme $\sigma$ et d'une dérivation $\Delta$ tels que $\Delta \circ \sigma = p \sigma \circ \Delta$, où $p$ est une $(\sigma, \Delta)$-constante de $K$ qui n'est pas une racine de l'unité. En utilisant la terminologie des modules aux $\sigma$-différences, nous démontrons un critère d'indépendance algébrique pour les solutions de $\sigma$-équations d'ordre 1. Nous déduisons de ce critère une caractérisation des solutions hyperalgébriques de $\sigma$-équations d'ordre 1. En application de ces résultats, nous proposons une preuve galoisienne d'un théorème d'hypertranscendance de fonctions de Mahler de Ke. Nishioka.