Gilles Lancien

La géométrie non linéaire des espaces de Banach consiste à rechercher les propriétés linéaires des espaces de Banach qui sont préservées par certaines transformations non linéaires. Nous nous concentrerons dans cet exposé sur les plongements grossièrement Lipschitz, c'est à dire bi-Lipschitz aux grandes distances (aussi appelés plongements quasi-isométriques). Les propriétés locales d'un espace de Banach sont celles qui  sont déterminées par ses sous-espaces de dimension finie. Il est connu depuis les années 80 qu'elles sont préservées par les plongements grossièrement Lipschitz. Le célèbre "programme de Ribe" consiste à rechercher les invariants métriques qui caractérisent les propriétés locales des espaces de Banach. Cela peut par exemple amener à caractériser une propriété locale par l'impossibilité de plonger un un graphe de référence dans notre espace de Banach. Récemment, certaines propriétés non locales se sont révélées être de bons invariants non linéaires. Il s'agit de propriétés asymptotiques liées au comportement des suites faiblement convergentes. Nous essaierons dans cet exposé de décrire certains de ses résultats, ainsi que les invariants métriques associés qui sont encore des graphes ou des arbres, mais cette fois à branchements dénombrables.