Andrés Navas

Dans un vieil article de 1945, Pólya and Zegö s'intéressent à la question suivante : 

étant donné un angle $\alpha$ entre $0$ et $\pi$, si l'on définit la suite $(x_n)$ par $x_1 = \alpha$ et $x_{n+1} = \sin (x_n)$, quel est le comportement asymptotique de $x_n$? Ils démontrent que $x_n$ est équivalent à $\sqrt{3/n}$. Ceci a été amélioré vers la fin des années 50 par De Bruijn, qui a donné une asymptotique plus précise. On y trouve notamment un deuxième terme de la forme $\log(n) / n \sqrt{n}$, avec un coefficient indépendant de $\alpha$.

 

Aujourd'hui, tout ceci rentre dans le contexte des germes paraboliques de difféomorphismes unidimensionnels. Nous verrons que le deuxième coefficient ci-dessus vient d'un objet bien connu, le résidu, qui est étroitement lié à la dérivée schwarzienne. Comme application, nous verrons un théorème d'invariance de cette dérivée par des conjugaisons paraboliques de petite régularité (plus précisément, $C^2$ ; travail en collaboration avec Hélène Eynard-Bontemps). On fera aussi le lien avec la croissance polynomiale (au plus quadratique) des dérivées des itérés, un phénomène surprenant démontré par Polterovich et Sodin il y a 20 ans (et récemment amélioré en collaboration avec L. Dinamarca). Enfin, s'il reste du temps, on discutera des problèmes analogues pour des germes de séries formelles avec des coefficients dans différents corps (y compris des corps finis, ce qui conduit à des discussions intéressantes sur des groupes finis).