On étend une méthode de randomisation introduite par Burq-Lebeau sur des variétés compactes, au cas de l'oscillateur harmonique. On construit des mesures dont les éléments du support vérifient des inégalités optimales de Sobolev à poids. Puis on applique ceci à l'existence et l'unicité de solutions pour l'équation de Schrödinger avec données initiales aléatoires. Ceci est un travail en commun avec Aurélien Poiret et Didier Robert.