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Les graphes des fonctions SF(f )n possède un maximum ayant comme
coordonnées xn, yn. Pour la fonction f définie par
f (
x) =
x pour
x ![$\displaystyle \in$](img15.png)
] -
![$\displaystyle \pi$](img16.png)
;
![$\displaystyle \pi$](img16.png)
[,
f (
![$\displaystyle \pi$](img16.png)
) = 0
quand n tend vers +
, on va montrer que :
Le calcul approché de
(cf exercice 3) montre que
> 3.7 >
.
Ces ''bosses'' au voisinage du point de discontinuité s'appellent le
phénomène de Gibbs.
Exercice 2 (à rendre à la fin du TP)
Observation du phénomène de façon empirique:
déterminer les coordonnées xn, yn du maximum de :
SF(f )n(x) =
ak(f )cos(kx) + bk(f )sin(kx)
pour n=1, 2, 3, 4, 5, 6.
Exercice 3 (à faire ou à préparer en TD)
On cherche la limite de
yn = SF(f )n(xn) quand n tend vers +
de façon théorique
- Montrer que :
SF(
f )
n(
x) = 2
![$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}$](img24.png)
(- 1)
k + 1
- Montrer que :
2 sin( ) (- 1)k + 1cos(kx) |
= |
-2 sin( ) cos(k(x + )) |
|
|
= |
sin( ) - sin( ) |
|
et en déduire que :
SF(
f )
n'(
x) =
- En déduire que :
- En faisant un changement de variables montrer que :
- Prouver que :
yn =
SF(
f )
n(
xn) = -
![$\displaystyle {\frac{\pi}{n+1}}$](img33.png)
+ 2
![$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2n+2}}$](img34.png)
dt
- On définit la fonction g par :
g(0) = 0,
g(
x) =
![$\displaystyle {\frac{1}{\sin(x)}}$](img35.png)
-
Montrer que g est continue, en déduire :
- Montrer que yn tend vers
= 2![$ \int_{0}^{\pi}$](img40.png)
dt
quand n tend vers +
.
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Bernard Parisse
2004-06-04