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Exercice Q4 (à rendre à la fin de la séance 3)
On souhaite écrire une fonction gauss(q,x)
prenant en argument une forme quadratique
et la liste de variables dont elle dépend et renvoyant
une expression égale à écrite comme somme/différence
de carrés indépendants. On va le faire récursivement.
Si est de longueur 0 ou 1, que faut-il renvoyer?
Sinon, on calcule
pour tous
les de la liste :
- Si on en trouve un non nul,
on va s'en servir pour former un carré. On calcule
. En utilisant
, montrer que
ne dépend pas de . On renvoie alors
où est la liste dont on a supprimé le -ième élément
(vous pouvez utiliser
la fonction simplify pour simplifier l'expression de avant
l'appel récursif).
- Si tous les sont nuls, il n'y a pas de termes carrés, on
cherche alors un
non nul
(s'il n'y en a pas, est nul et on renvoie 0). Construire alors
une différence de deux carrés qui élimine les variables et
de (on pourra utiliser , et ).
Écrire la fonction gauss
Exercice Q5 (à rendre à la fin de la séance 3)
Tester le programme précédent pour trouver une base orthogonale
relativement à lorsque :
pour
Exercice Q6 (à rendre au début de la séance 4)
Soit pour
la forme quadratique définie par :
pour
a/ Écrire la matrice de relativement à la base canonique de
.
b/ Utiliser le programme précédent pour décomposer en combinaison
linéaire de carrés de formes linéaires indépendantes.
Expliciter les formes linéaires trouvées.
Pour quelles valeurs de , est-elle : non dégénérée ? définie
positive ?
c/ Dans le cas où est définie positive, montrer qu'il existe une matrice carrée d'ordre 3 telle que :
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2003-02-19