(l'opérateur de Dirac commute avec l'opérateur J de moment cinétique total). Les calculs donnent alors un spectre discret juste en-dessous de l'énergie de masse Mc2:
où:
On a j+1/2 entier strictement positif et .
( est le nombre quantique principal en mécanique quantique
non relativiste).
La dégénérescence des niveaux est beaucoup plus grande en limite
non relativiste qu'en relativiste. c'est pour cela qu' est
appelée constante de structure fine. Pour donner une idée des
ordres de grandeur des corrections relativistes, le niveau fondemental
de l'hydrogéne vaut -13.6052 eV en relativiste et -13.6057 eV
en non relativiste. Néanmoins pour des noyaux plus gros,
est moins petit et les corrections sont plus importantes. Enfin, seule
la théorie relativiste permet d'introduire le spin de manière naturelle,
en non relativiste on est obligé de rajouter un opérateur de spin
ayant deux valeurs propres et qui commute avec tout le monde pour multiplier
par 2 la multiplicité de tous les niveaux.