Ce qui traduit le fait que l'hamiltonien H=p2/2m est invariant par rotation. Ce n'est pas le cas du hamiltonien de Dirac
car les ne bougent pas lors d'une rotation. Pour rendre
H invariant, il faut rajouter à la rotation du repère une rotation
``interne'' qui agisse sur les matrices
pour pouvoir
considérer
comme un gradient (où
on remplace
par un espace de dimension 3 engendré par
les matrices
).
Considérons par exemple une rotation autour de x3 (correspondant
à ). Il faut trouver le générateur de la
rotation correspondant dans l'espace des
. Or:
Donc on pose:
et de même par permutation circulaire S1 et S2. Le moment cinétique total:
commute avec H et est donc globalement conservé, sa composante
interne S est appelé le spin. On remarque aussi que
Sj2=1/4 donc le spin selon une direction possède deux valeurs
propres . Lj commute avec Sk, on peut donc conclure
que Jj admet comme valeurs propres des entiers+1/2.