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\newtheorem{defi}{D{\'e}finition}
\newtheorem{lemme}{Lemme}
\newtheorem{prop}{Proposition}
\newtheorem{rem}{Remarque}
\newtheorem{coro}{Corollaire}
\newtheorem{theo}{Th{\'e}or{\`e}me}
\newtheorem{exem}{Exemple}[section]
\begin{document}
\title{Construction $BKW$ en fonds de puits, 
cas particuliers (Schr\"odinger, Dirac avec champ magn\'etique).}
\author{Bernard Parisse\\ Institut Fourier, Grenoble \\
{\tt parisse@fourier.ujf-grenoble.fr}}

%\date{}
% mp_arc CONFIRMING: xwJdq
\maketitle

\abstract{We study the spectral properties of pseudo-differential operators
in the semi-classical limit at energies near a non degenerate minimum
of the principal symbol $p$. We give precise asymptotics of the
non resonant energy levels for a scalar holomorphic $p$,
we get explicit expressions in dimension 2. Precise asymptotics are
also derived for the Schr\"odinger and Dirac operator 
with electro-magnetic field in dimension 2 and 
3 (and we give the transport equation of the first term of the 
$WKB$ expansion of the associated eigenfunction). 
Then we study the Schr\"odinger and
Dirac equation under rotational invariance 
hypothesis (in dimension 2), and prove that the holomorphic assumption
of $p$ can be replaced by $C^\infty $ assumption on the fields. Moreover
we prove that there is an associated effective Agmon distance and obtain
decay properties of eigenfunctions similar to the case of Schr\"odinger
or Dirac operator without magnetic field.

On \'etudie ici les propri\'et\'es spectrales d'op\'erateurs 
pseudo-diff\'erentiels en limite semi-classique pour des \'energies voisines
d'un minimum non d\'eg\'en\'er\'e du symbole principal $p$. On donne des
asymptotiques pr\'ecises des niveaux d'\'energie non r\'esonants pour
un $p$ scalaire et holomorphe, ces asymptotiques sont explicites en dimension 
2. On traite aussi le cas de l'op\'erateur de Schr\"odinger et de l'op\'erateur
de Dirac avec champ \'electrique et magn\'etique en dimension 2 et 3 (on 
donnera dans ce cas l'\'equation de transport du premier terme du
d\'eveloppement $WKB$ de la fonction propre associ\'ee). Pour
l'\'equation de Schr\"odinger ou Dirac en dimension 2, on montre aussi que 
sous des hypoth\`eses d'invariance par rotation, on peut remplacer
l'hypoth\`ese d'analyticit\'e de $p$ par des hypoth\`eses $C^\infty $
sur les champs et on caract\'erise la d\'ecroissance des fonctions
propres par une distance d'Agmon effective, comme en l'absence de champ
magn\'etique.}

\vfill

Mot clefs: semi-classique, puits ponctuel non d\'eg\'en\'er\'e,
construction $BKW$, distance d'Agmon, Schr\"odinger, Dirac

Classification AMS: 35P20, 81Q05, 81Q20

\pagebreak

\section{Introduction} \label{sec:intro}
On s'int\'eresse ici en limite semi-classique aux propri\'etes 
spectrales d'op\'erateurs pseudodiff\'erentiels dont le (d\'eterminant
du) symbole admet un minimum non d\'eg\'en\'er\'e en un point de l'espace 
des phases pour des \'energies proches de la valeur en ce minimum. Le cas
de l'op\'erateur de Schr\"odinger et de l'op\'erateur de Dirac avec
champ magn\'etique, en particulier dans le cas radial, seront \'etudi\'es
plus en d\'etails.

Dans le cas g\'en\'eral, on s'int\'eresse \`a un op\'erateur scalaire $P$
tel que:
\[ P =\mbox{Op}_W^h(p(x,\xi)) \]
on suppose que $p$ est au moins $C^\infty $ (en g\'en\'eral il faut
supposer $p$ holomorphe), admet un minimum non d\'eg\'en\'er\'e 
$E_0$ en un point $M_0$ tel que $E_0< \liminf_{x,\xi \rightarrow \infty }p$.
On s'int\'eresse alors au spectre de $P$ dans une zone $[E_0,E_0+Ch]$
dans l'esprit de Helffer-Sj\"ostrand pour l'op\'erateur de Schr\"odinger
(\cite{HS}).
Martinez et Sordoni (\cite{MaSo}) d\'ecrivent ce spectre mais ils ne donnent
pas une asymptotique explicite des valeurs propres/fonctions propres en 
fonction de $p$. La nouveaut\'e de ce travail r\'eside ici dans un 
calcul explicite des asymptotiques des valeurs propres et vecteurs 
propres en particulier en dimension 2 (th\'eor\`eme \ref{th:pquelconque}):
il s'agit en fait de la g\'en\'eralisation de la
m\'ethode directe de \cite{699.35205} effectu\'ee par Helffer et Sj\"ostrand
pour l'op\'erateur de Schr\"odinger avec
champ magn\'etique (on n'effectue pas de transformation de FBI).
S'il y a plusieurs puits $M_k$ correspondant \`a la m\^eme valeur 
de l'\'energie $E_0$, on pourrait chercher \`a estimer la taille de
l'effet tunnel dans l'esprit de \cite{HS} 
mais cela est beaucoup plus difficile (sauf si le champ magn\'etique
est faible: cf. \cite{699.35205}) 
et la question est encore ouverte dans le cas g\'en\'eral.

Les cas particuliers consid\'er\'es seront 
l'\'equation de Schr\"odinger dans $\R^n$ 
avec potentiel \'electrique et magn\'etique:
\[ P= \sum _{k=1}^n (\frac{h}{i} \partial_k - A_k(x) )^2 + V(x) \]
on rappelle que le potentiel magn\'etique $A$ est 1-forme diff\'erentielle:
\[ A=\sum _{k=1}^n A_k(x) dx_k \]
et $B=dA$ est la 2-forme diff\'erentielle champ magn\'etique,
o\`u les $A_k$ et $V$ sont suppos\'es holomorphes dans un voisinage 
des puits et $C^\infty $ ailleurs et l'op\'erateur de Dirac dans
$L^2(\R^2,\C^2)$ et $L^2(\R^3,\C^4)$ pour $n=2$ et $n=3$ 
sous les m\^emes hypoth\`eses:
\begin{eqnarray} 
D_3(h)&=&\sum _{j=1}^2 (\frac{h}{i} \partial_j -A_j) \sigma  _j
+ \sigma _3 + V(x) I_2, \\
D_2(h)&=&\sum _{j=1}^3 (\frac{h}{i} \partial_j -A_j) \alpha _j
+ \alpha _4 + V(x). I_4,
\end{eqnarray}
o\`u les $\sigma _j$ sont les matrices de Pauli:
\[ \sigma _1=\left(\begin{array}{cc}
0 &1 \\ 1 &0 
\end{array}\right), \quad
\sigma _2=\left(\begin{array}{cc}
0 &-i \\ i &0 
\end{array}\right), \quad
\sigma _3=\left(\begin{array}{cc}
1 &0 \\ 0 &-1 
\end{array}\right), \]
et v\'erifient si $(j,k,l)$ est dans l'ordre direct:
\[ \sigma _j\sigma _k = i \sigma _l , j\neq k,
\sigma _j^2 = I_2 \]
et les $\alpha _k$ sont les matrices de Dirac:
\[   \alpha _j=\left(\begin{array}{cc}
0 & \sigma _j \\ \sigma _j & 0
\end{array}\right), \ j=1..3, \quad
\alpha _4  =\left(\begin{array}{cc}
I_2 &0 \\ 0 & -I_2 
\end{array}\right) \]
qui v\'erifient:
\[ \alpha _j \alpha _k = -\alpha _k \alpha _j, \ j \neq k,
\quad \alpha _j^2=I_4 \]
Si l'on ne fait pas d'hypoth\`eses suppl\'ementaires sur les potentiels, on 
explicitera \`a la section \ref{sec:bkw}
le calcul de l'asymptotique $O(h^\infty )$ des
\'energies et des fonctions propres au puits, en particulier pour
les op\'erateurs de Schr\"odinger et Dirac (on montrera par exemple
qu'en dimension 3 le spin 1/2 de la particule d\'ecrite par l'op\'erateur
de Dirac interagit avec le champ magn\'etique et modifie 
l'asymptotique des valeurs propres: cf. l'\'equation (\ref{eq:e1})).
Lorsque les potentiels poss\`edent la sym\'etrie 
sph\'erique, l'hypoth\`ese d'analyticit\'e du potentiel n'est plus
n\'ecessaire et on montrera qu'on peut d\'efinir une distance d'Agmon
effective avec des propri\'et\'es de d\'ecroissance des fonctions
propres analogues
\`a celle qu'on obtient pour l'op\'erateur de Schr\"odinger et Dirac sans champ
magn\'etique: cf. le th\'eor\`eme \ref{th:radial_poids}.
Malheureusement, cela r\'eduit le champ d'\'etude 
\`a la dimension 2, et il n'est pas possible dans ce cas
d'\'etudier l'effet tunnel puisque seule l'origine peut alors \^etre
un puits!

Outre les travaux de Helffer-Sj\"ostrand et Martinez,
signalons quelques autres travaux sur des sujets connexes:
\begin{itemize}
\item dans \cite{851.58046}, Helffer et Mohamed s'int\'eressent
au cas de l'op\'erateur de Schr\"odinger avec champ magn\'etique
lorsque le potentiel \'electrique est nul,
\item dans \cite{Mat},
Matsumoto et Ueki effectuent des calculs explicites de g\'en\'eralisations
de l'oscillateur harmonique et calculent le permier terme du d\'eveloppement
en puissances de $h$ de Schr\"odinger avec champ \'electrique et magn\'etique.
\item dans \cite{NaIHP}, Nakamura \'etudie un cas particulier d'effet tunnel
dans l'espace des phase (qui se ram\`ene par transformation canonique
\`a un mod\`ele de type Schr\"odinger sans champ magn\'etique). Cf.
\cite{Na} pour une \'etude plus g\'en\'erale inspir\'ee des travaux
de Martinez, et \cite{NaPDE} pour une \'etude de d\'ecroissance
des fonctions propres de l'op\'erateur de Schr\"odinger
en dimension 2 et 3 avec champ magn\'etique constant.
\end{itemize}

\section{R\'esolution pr\`es d'un puits.} 
\label{sec:puits}
On cherche \`a appliquer les m\'ethodes de Helffer-Sj\"ostrand.
La premi\`ere \'etape consiste \`a montrer des in\'egalit\'es
``\`a poids'' exponentiel $e^{-\phi/h} $,
pour cela il faut d'abord savoir r\'esoudre l'\'equation \'eiconale:
\begin{equation} \label{eq:eiconale}
p(x,i \nabla \phi )=E_0 \quad \mbox{ou} \quad
\frac{1}{2} (i  \nabla \phi - A(x) )^2 + V(x)=V_0
\end{equation}
au voisinage d'un puits $M_k$ puis le long de ``trajectoires''
issues d'un voisinage d'un puits. Cette construction faite dans
\cite{699.35205} est rappel\'ee et illustr\'ee par deux
exemples o\`u les calculs se simplifient dans la section 
\ref{sec:eiconale}.
Dans cette section, on se place pr\`es d'un puits non d\'eg\'en\'er\'e
du potentiel $M_k$ qu'on supposera \^etre l'origine pour all\'eger les 
notations. 

\subsection{Cas de Schr\"odinger et Dirac.} 
\label{sec:eiconale}
Dans le cas de l'op\'erateur de Schr\"odinger, si on suppose que
$\liminf_{|x|\rightarrow \infty }V(x)=V_\infty \in \R$, alors on montre
que $P$ est essentiellement auto-adjoint sur $L^2(\R^n)$. 
Supposons que $V(x)$ admette un minimum local $V_0<V_\infty $ 
atteint aux point $M_0$,..., $M_k$:
\[ V(M_k)=V_0, \quad V'(M_0)=0, \quad W=V'{'}(M_0) >> 0 \]
On s'int\'eresse aux propri\'et\'es spectrales de $P$ dans l'intervalle 
d'\'energie $[V_0, V_0+Ch]$ dans la limite semi-classique $h\rightarrow 0$.
On notera aussi $\tilde{V}(x)=V(x)-V_0$.

Pour l'op\'erateur de Dirac en dimension 3, l'analogue des hypoth\`eses 
faites ci-dessus est:
\begin{itemize}
\item $\liminf_{|x|\rightarrow \infty } V(x)=V_i \in \R$,
$\limsup_{|x|\rightarrow \infty } V(x)=V_s \in \R$ sont tels que 
$V_s-V_i<2$.
\item Soit on suppose que $V$ admet un minimum local non d\'eg\'en\'er\'e
$V_0$ tel que $V_s-2 < V_0 < V_i$ et dans
ce cas la r\'egion de spectre consid\'er\'ee sera $[V_0+1,V_0+1+Ch]$
(puits de particule) 
\item Soit on suppose que $V$ admet un maximum local non d\'eg\'en\'er\'e
$V_0$ tel que $V_i+2 > V_0 > V_s$ et la r\'egion de spectre
consid\'er\'ee sera $[V_0-1-Ch, V_0-1]$.
\end{itemize}
L'\'equation \'eiconale s'obtient ici en demandant que le noyau de
\[ d(x,i\nabla \varphi ) -(V_0 \pm 1) .I_4
= \sum _{j=1}^3 (i \partial_j \phi-A_j)\alpha _j+ \alpha _4 + 
(V(x)-(V_0 \pm 1)).I_4 \]
ne soit pas r\'eduit au vecteur nul, donc que l'une de ces deux 
valeurs propres doubles soit nulle:
\[ \pm \sqrt{1+(i\nabla \phi -A)^2} + V(x)-(V_0\pm 1) =0 \]
ce qui revient \`a
\[ 1+(i \nabla \phi -A)^2 - (V(x) -(V_0 \pm 1))^2  =0 \]
qui est une \'equation du m\^eme type que (\ref{eq:eiconale}).
On laisse au lecteur le soin de v\'erifier que l'\'equation eiconale
pour l'op\'erateur de Dirac en dimension 2 est du m\^eme type.

On consid\`ere les solutions complexes de l'\'evolution hamiltonienne de:
\[ H(x,\xi)=\frac{1}{2} (\xi+iA)^2-\tilde{V}(x) \]
C'est-\`a-dire qu'on r\'esout:
\[  \left\{ \begin{array}{rcl}
 \frac{dx}{dt} & =& (\xi +iA(x)) \\
 \frac{d\xi}{dt} &=& \nabla_x ( V(x)-\frac{1}{2} (\xi +i A(x))^2 )
\quad \quad \quad \quad (S) 
\end{array}\right. \]
pour $t$ param\`etre r\'eel mais $x$ et $\xi$ {\em complexes}
(on utilise ici le fait que $V$ et $A$ sont holomorphes).

On va construire la vari\'et\'e stable \`a l'origine en suivant de
tr\`es pr\`es Sj\"ostrand (\cite{Sj83}). L'id\'ee est la suivante:
Soit $\Omega _C$ un voisinage complexe de l'origine
et $\xi_0$ la solution sortante du probl\`eme lin\'earis\'e en l'origine.
\`A un instant $t>0$, on regarde les solutions $(x(t),\xi(t)$ de 
$(S)$ issues \`a 
l'instant $t=0$ des points $(x,\xi)$ avec $x\in \Omega _C$ et $\xi=\xi_0(x)$.
On s'int\'eresse seulement aux solutions telles que $x(t)$ est rest\'e dans
$\Omega _C$ depuis l'instant $t=0$. On d\'efinit alors la fonction 
$\xi_t(x)$ par $\xi_t(x)=\xi(t)$ si $x=x(t)$.
Ensuite on montre que la famille $\xi_t$ converge
vers une fonction $\xi(x)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$. Enfin on montre
que la solution de $(S)$ issue de $(x,\xi(x))$
\`a l'instant $t=0$ converge vers le point fixe lorsque $t$ tend vers
$-\infty $.


\subsubsection{\'Etude du lin\'earis\'e.} \label{sec:linearise}
On se place dans une jauge telle que 
\[ A(x)=-B(0)x/2 + O(x^2) \]
o\`u $B(0)$ d\'esigne le champ magn\'etique \`a l'origine. 
\`A l'ordre 2, le hamiltonien vaut:
\[ \frac{1}{2} (\xi -i \frac{B(0)}{2}  x)^2 - \frac{1}{2} \ ^t x V'{'}(0) x \]
Comme $B(0)$ est antisym\'etrique:
\[ \partial_{x_i}( (B(0)x).\xi)= \partial_{x_i}( \sum_{j,k}B_{jk}x_k\xi_j)
=\sum_{j}B_{ji}\xi_j=- (B(0) \xi)_i \]
Le lin\'earis\'e de $(S)$ \`a l'origine est donc:
\[  \frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c}
 x \\ \xi
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
 -\frac{ iB(0)}{2} & I_n \\ V - \frac{B(0)^2}{4}  & -\frac{ iB(0)}{2}
\end{array} \right)
\left(\begin{array}{c}
 x \\ \xi
\end{array}\right) \quad \quad \quad \quad (S0) 
\]
On montre ais\'ement que $\lambda $ est valeur propre de $(S0)$ si
et seulement si:
\begin{equation} \label{eq:vp}
 \left(- V'{'}(0) +i\lambda B(0) + \lambda ^2 \right) x=0 , \quad
\xi = (\lambda +i\frac{B}{2}) x 
\end{equation}
Si on fait le produit scalaire hermitien de (\ref{eq:vp}) avec $x$,
on obtient:
\[ -(x|V'{'}(0)x) + \lambda (x|iB(0)x) + \lambda ^2 (x|x)=0 \]
Cette \'equation est \`a coefficients r\'eels puisque $B(0)$ est 
antisy\'metrique et $V'{'}(0)$ est sym\'etrique.
Son discriminant est:
\[ (x|iB(0)x)^2+4 (x|V'{'}(0)x) (x|x) \]
donc est strictement positif car $V'{'}(0)$ est d\'efinie positive.
Les valeurs propres de $(S0)$ sont donc r\'eelles et non nulles.
En fait un calcul trivial montre que si $(x,\xi)$ est vecteur propre
de $(S0)$ associ\'e \`a $\lambda $ alors $(\overline{x},-\overline{\xi})$
est vecteur propre associ\'e \`a $-\lambda $. On va pouvoir suivre
la preuve de Sj\"ostrand \cite{Sj83} point par point, en en modifiant juste
les quelques d\'etails qui diff\`erent.


\subsubsection{Construction de la vari\'et\'e stable.} \label{sec:stable}
On peut donc trouver des coordonn\'ees analytiques complexes $(x'{'},y'{'})$
sur $\Omega _C$ telles que le champ hamiltonien soit donn\'e par:
\[ H_q= D x'{'} \partial_{x'{'}} - D y'{'} \partial_{y'{'}} 
+ O(||(x'{'},y'{'})||^2)(\partial_{x'{'}},\partial_{y'{'}})\]
o\`u $D$ est une matrice diagonale \`a coefficients r\'eels strictement 
positifs. Attention, ce syst\`eme de coordonn\'ees n'est pas hermitien,
mais la norme $\sum |z_i|^2$ dans ce syst\`eme de coordonn\'ees
est \'equivalente \`a la norme hermitienne.
On restreint $\Omega _C$ \`a
\[ \{ (x'{'}, y'{'}) / ||y'{'}|| \leq ||x'{'}|| \leq \delta  \} \] 
($\delta >0$ assez petit) tel que l'\'evolution le long
d'une courbe int\'egrale de $H_q$ restant dans $\Omega _C$ v\'erifie:
\begin{equation} \label{eq:C}
 (H_q+H_q*) ( ||x'{'}||) > C || x'{'} ||, \quad
 (H_q+H_q*) ( || y'{'} ||) < -C || y'{'} || \mbox{ si } ||y'{'}||=||x'{'}||
\end{equation}
On en d\'eduit que pour tout point $\rho \in \Omega _C$, 
$\Phi _t(\rho )=\exp t H_q(\rho )$ reste dans $\Omega _C$
pour $0\leq t \leq T(\rho )$ et reste en dehors de $\Omega _C$ pour
$T(\rho )\leq t \leq T(\rho )+\frac{1}{C}$ (avec la m\^eme constante
$C$ que dans (\ref{eq:C}), ind\'ependente de $\rho $).
L'\'evolution le long d'une trajectoire de $H_q$ d'un vecteur tangeant est
alors donn\'ee par le syst\`eme \cite[(A.4)]{Sj83}:
\[ \left\{ \begin{array}{rcl}
 \frac{d}{dt} \delta _{x'{'}} & =& D \delta _{x'{'}} + O((x'{'},y'{'})
(\delta _{x'{'}},\delta _{y'{'}}) \\
 \frac{d}{dt} \delta _{y'{'}} & =& -D \delta _{y'{'}} + O((x'{'},y'{'})
(\delta _{x'{'}},\delta _{y'{'}}) 
\end{array} \right. \]
La r\'egion:
\begin{equation} \label{eq:stable}
|| \delta _{y'{'}} || \leq \varepsilon ||\delta _{x'{'}} ||
\end{equation}
est donc stable le long d'une courbe int\'egrale de $H_q$ de $\Omega _C$
lorsque le temps augmente.

Soit ${\cal T}_0$ le sous-ensemble de $\Omega _C$ d'\'equation $y'{'}=0$,
on d\'efinit pour $t>0$ ${\cal T}_t=\Phi _t({\cal T}_0)\cap \Omega _C$. 
L'\'equation (\ref{eq:stable}) montre qu'on peut appliquer le th\'eor\`eme
des fonctions implicites pour exprimer $y'{'}$ en fonciton de $x'{'}$
sur ${\cal T}_t$, il existe une fonction $g_t$, holomorphe, telle que
$y'{'}=g_t(x'{'})$. Comme de plus $g_t$ est born\'e par exemple par 
$||x'{'}||$, par compacit\'e, la suite $g_t$ admet une sous-suite 
convergente $g_{t_j} \rightarrow g$ dans l'espace des fonctions
holomorphes.

Soit $\rho _t$ une courbe int\'egrale de $H_q$ contenue dans $\Omega _C$
et $t_0>0$ fix\'e.
Supposons que $\rho _{t_0}$ ne soit pas dans ${\cal T}_{t_0 }$, 
et montrons que $\rho _t$ s'approche exponentiellement vite de ${\cal T}_t$.
En effet, le segment $\gamma _{t_0}$ r\'ealisant le minimum de la distance de
$\rho _{t_0}$ \`a ${\cal T}_{t_0}$ est orthogonal \`a l'espace tangeant
\`a ${\cal T}_{t_0}$ au point de croisement, sa composante $||x'{'}||$
est donc n\'egligeable devant sa composante $||y'{'}||$ car les
vecteurs de l'espace tangeant sont dans la zone v\'erifiant
(\ref{eq:stable}) (ceci ne d\'epend pas du fait que
le syst\`eme de coordonn\'ees ne soit pas hermitien). Dans cette r\'egion
le flot est contractant donc:
\[ \frac{d}{dt} ||\gamma _t|| \leq -C ||\gamma _t|| \]
A fortiori:
\[ \frac{d}{dt}  d(\rho _t,{\cal T}_t) \leq -C d(\rho _t,{\cal T}_t). \]
En prenant $\rho _t=\Phi_{t+s}(x)$, on obtient:
\[ ||g_{t+s} - g_t|| \leq C e^{-\frac{t}{C} }, \quad s\geq 0, t \geq 0 \]
quitte \`a augmenter $C$.
On en d\'eduit que $g_t$ converge vers $g$ exponentiellement vite puis que
\[ \frac{d}{dt}  d(\rho _t,{\cal T}_+ ) \leq -C d(\rho _t,{\cal T}_+ ), \quad
{\cal T}_+=\{ (x'{'},g(x'{'}))/ x'{'}\in \Omega _C \} \]
et que ${\cal T}_+$ est la vari\'et\'e stable de $H_q$ \`a l'origine.

Notons $Y$ les coordonn\'ees dans une base propre du lin\'earis\'e de $(S)$,
alors l'\'evolution d'un point de la vari\'et\'e stable est donn\'e par:
\[ \frac{dY}{dt} =\Lambda Y + O(Y^2)\]
o\`u $\Lambda $ d\'esigne la matrice diagonale form\'ee des valeurs 
propres r\'eelles positives du syst\`eme lin\'earis\'e.
Si $P$ d\'esigne la matrice de passage de cette base propre, alors
\begin{equation} \label{eq:lin}
 X=PY \mbox{ donc } \frac{dX}{dt}=P \Lambda P^{-1} X +O(X^2)
=(\nabla \phi + i A )
\end{equation}
On en d\'eduit ais\'ement le premier terme du d\'eveloppement de Taylor
de $\phi$ en 0: c'est la forme quadratique de matrice la partie
sym\'etrique de $P\Lambda P^{-1}/2$.


\subsubsection{Projection sur le r\'eel.} \label{sec:projection}
On s\'epare la partie r\'eelle et la partie imaginaire de 
$\phi=\varphi +i\psi $ ce qui transforme (\ref{eq:eiconale})
en:
\begin{eqnarray} 
(\nabla \varphi )^2 &=& 2\tilde{V}+|g|^2 
\label{eq:couple}
\\
g&=&A+\nabla \psi 
\label{eq:g1}
\\
(g| \nabla \varphi)&=&0 
\label{eq:g2}
\end{eqnarray}
On a vu \`a la section pr\'ec\'edente qu'au voisinage d'un puits $M_k$, 
$\varphi $ et $g$ sont connus.


\begin{rem} \label{rem:jauge}
Le passage de $A$ \`a $g$ est un changement de jauge puisque
$g= A + \nabla \psi $. On peut donc choisir un potentiel vecteur
tel que la solution de l'\'equation \'eiconale soit r\'eelle sur le
r\'eel, dans ce cas le champ de gradient de la solution (r\'eelle)
de l'\'equation \'eiconale est orthogonal au potentiel vecteur.
Attention, la solution du syst\`eme hamiltonien $(S)$ reste complexe.
\end{rem}

On remarque que les \'equations (\ref{eq:g1}) et (\ref{eq:g2})
admettent une solution explicite
lorsque $\varphi  $ est connue, donn\'ee pour $x\neq 0$ par:
\begin{equation} \label{eq:psi}
g = i(\nabla \varphi ) \left[
\int _{-\infty }^{0} \Phi_t^* (B) \ dt \right]
\end{equation}
o\`u $i(\nabla \varphi )$ d\'esigne le produit int\'erieur du 
champ de vecteur $\nabla \varphi $ par la 2-forme diff\'erentielle
$\int _{-\infty }^{0} \Phi_t^* (B) \ dt$ et o\`u $\Phi_t$ d\'esigne
le flot de $\nabla \varphi $ \`a l'instant $t$ 
(qui tend vers le point fixe $M_k$ lorsque $t$ tend vers $-\infty $).

En effet, comme $d$ commute avec $\Phi_t^*$ et $dB=0$, en appliquant 
la formule de Cartan, on obtient:
\[ dg= {\cal L}_{\nabla \varphi}\left[
\int _{-\infty }^{0} \Phi_t^* (B) \ dt \right] \]
o\`u ${\cal L}$ d\'esigne la d\'eriv\'ee de Lie.
Donc $dg=B=dA $ et il existe $\psi $ telle que $g=A+\nabla \psi $.

R\'eciproquement, si $g$ est connu, $\varphi $ est la solution
d'une \'equation \'eiconale ``classique'' (la m\^eme que celle
que l'on r\'esout pour l'op\'erateur de Schr\"odinger sans champ 
magn\'etique).

En examinant (\ref{eq:couple}), on s'apercoit que la d\'ecroissance 
exponentielle optimale que l'on peut esp\'erer pour
les fonctions propres en pr\'esence d'un champ magn\'etique devrait
\^etre plus grande qu'en absence de champ mang\'etique, puisqu'elle serait
associ\'ee \`a une ``distance d'Agmon'' $V+|g|^2$ au lieu de $V$
(mais il n'y a pas de concept de distance d'Agmon dans le cas
magn\'etique g\'en\'eral car le calcul de $g$ n\'ecessite la connaissance
des trajectoires).

\begin{rem} \label{rem:Cinfiny}
Une id\'ee pour prolonger $\phi$ avec hypoth\`eses $C^\infty $:\\
\'Etant donn\'e un chemin $\gamma $ de classe $C^1$ et une 1 forme
diff\'erentielle $g(x_0)$ en son origine, on choisit un prolongement
continu de $d\gamma $ \`a un voisinage de $\gamma $ et on note $\Phi _t$
le flot associ\'e, on d\'efinit alors la longueur du chemin $\gamma $ 
par:
\[ l(\gamma )=\int _\gamma  (|g|^2+2V) |d\gamma | \]
o\`u:
\[ g(x)=g(x_0)+ i( d\gamma (x) ) \left[
\int_{x_0}^{x}  \Phi _t ^* (B) \ d\gamma  \right] \]
Pour prolonger $\varphi $, l'id\'ee serait alors de minimiser 
$l (\gamma )$ sur l'espace des chemins.
Mais la longueur $l$ d\'epent du choix de $\Phi _t$...
\end{rem}

\subsubsection{Le cas radial.} \label{sec:radial}
On suppose dans cette section que $V$ et $A$ sont invariants par rotation:
\[ V(Rx)=V(x), \quad [R,A.\nabla] =0 \mbox{ si } RR^t=I \]
Montrons d'abord qu'on peut choisir $A$ non trivial uniquement en
dimension 2. En effet en dimension 3 en utilisant les coordonn\'ees
sph\'eriques, les rotations sont engendr\'ees
par exemple par $\partial_\varphi $ et $\sin\varphi \partial_\theta + 
\frac{\cos \theta }{\sin \theta } \cos \varphi \partial_\varphi  $.
On \'ecrit la partie non radiale de $A.\nabla$ sous la forme
$A^\varphi \partial_\varphi + A^\theta \partial_\theta $. En faisant
commuter avec $\partial_\varphi $ on obtient que $A^\varphi $ et $A^\theta $
sont ind\'ependants de $\varphi $. Puis en faisant commuter avec
l'autre g\'en\'erateur on obtient que:
\[ (\sin \varphi \partial_\theta A^\theta  - \cos\varphi A^\varphi )
\partial_\theta 
+ (\sin \varphi \partial_\theta A^\varphi 
+ \frac{\cos \theta }{\sin \theta } \sin \varphi A^\varphi 
+ \frac{1}{\sin ^2 \theta }  \cos \varphi ) \partial_\varphi =0 \]
donc $\sin \varphi \partial_\theta A^\theta  - \cos\varphi A^\varphi =0$
ce qui entraine $A^\varphi =0$ et $A^\theta =C$ puisque $A^\varphi $
et $A^\theta $ sont ind\'ependantes de $\varphi $. La nullit\'e
du coefficient de $\partial_\varphi $ permet alors de conclure
que $A^\theta =0$ donc que $A$ est radial dont trivial puisqu'on
peut annuler la partie radiale par changement de jauge.

On choisit une jauge telle que la partie radiale de $A$ soit nulle,
ce qui est possible puisque la partie radiale de $A$ poss\`ede l'invariance
par rotation et est donc le gradient d'un potentiel radial.
La solution $\phi$ est alors \'egalement radiale dans une jauge
adapt\'ee car on a alors:
\[ A \nabla \phi=0 \]
donc $\psi =0$ et $g=A$ et $\phi $ est la solution d'une \'equation
\'e\"iconale de type ``classique'' (sans champ magn\'etique mais
avec un potentiel \'electrique effectif $V+A^2/2$).
Autrement dit, si $V$ et $B$ sont invariants par rotation, il n'y
a pas besoin d'hypoth\`ese d'analyticit\'e.

\subsubsection{Quelques cas particuliers pour le lin\'earis\'e.} 
\label{sec:caspart}

On suppose dans cette section que $M_k=0$ pour simplifier les notations
ce qui n'enl\`eve rien \`a la g\'en\'eralit\'e. 

Si $B(0)$ commute avec $V'{'}(0)$, alors les espaces propres $E_k$
communs aux deux (associ\'es aux valeurs propres $v_k$ et $ib_k$)
sont aussi espaces propres du lin\'earis\'e
et (\ref{eq:vp}) devient pour $x\in E_k$:
\[ -v_k  - \lambda _k b_k + \lambda _k^2 =0, \quad 
\xi=(\lambda _k-\frac{b_k}{2}) x \]
La valeur propre positive correspondante est:
\[ \lambda _k= \frac{ b_k+\sqrt{b_k^2+4v_k}}{2} \]
Notons ici que si $ib_k$ non nul est valeur propre, alors $-ib_k$ l'est
aussi et le sous-espace propre correspondant est sous-espace propre
associ\'e \`a $v_k$.

En dimension 2, on peut aussi donner des formules pour diagonaliser
le lin\'earis\'e.
On prend une base propre de $V'{'}$, alors:
\[ \left( \begin{array}{cc}
-v_1 + \lambda ^2  & ib\lambda  \\
 -ib\lambda  & -v_2 + \lambda ^2
\end{array} \right)x=0 \]
les valeurs propres s'obtiennent en r\'esolvant l'\'equation bicarr\'ee:
\[ (-v_1 + \lambda ^2)(-v_2 + \lambda ^2)-b^2\lambda ^2=0 \]
soit, en posant $\mu=\lambda ^2$:
\[ \mu^2 - (b^2+v_1+v_2) \mu +v_1v_2 =0 \]
Les deux valeurs propres positives sont donc:
\begin{equation} \label{eq:caspart}
 \frac{ \sqrt{ v_1+v_2+b^2 \pm \sqrt{(b^2+v_1+v_2)^2-4v_1v_2}}}{2} 
\end{equation}

\subsection{R\'esolution de l'\'equation eiconale dans le cas d'un 
hamiltonien g\'en\'erique.} \label{sec:pgeneric}
Soit $p(x,\xi)$ un hamiltonien, r\'eel sur le r\'eel, et qui admet un 
minimum (nul) non d\'eg\'en\'er\'e en un point que l'on prendra comme origine.
On cherche \`a r\'esoudre l'\'equation \'eiconale:
\begin{equation} \label{eq:defq}
 q(x,\nabla \phi )=0 \quad q(x,\xi)=-p(x,i\xi) 
\end{equation}
(On chosit cette convention pour que la partie r\'eelle de $\phi$
repr\'esente la d\'ecroissance exponentielle).

A l'ordre 1, le champ hamiltonien est donn\'e en 0 par:
\[ H_q=\left(-i\frac{\partial^2 p}{\partial x \partial \xi}  x
+ \frac{\partial^2 p}{\partial \xi^2} \xi\right) \frac{\partial}{\partial x} 
+ \left( \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} x + 
i \frac{\partial^2 p}{\partial\xi \partial x} \right) 
\frac{\partial}{\partial \xi} + 
O(x^2+\xi^2) (\frac{\partial}{\partial x} ,\frac{\partial}{\partial \xi} ) \]
La matrice du lin\'earis\'e est donc de la forme:
\begin{equation} \label{eq:defM}
 M=\left(\begin{array}{cc}
 -i A & B \\ C & i A^t
\end{array}\right), \quad A= \partial_{x \xi}p, \ B=\partial_{\xi \xi}p,
\ C=\partial_{xx} p 
\end{equation}
Comme $B$ est d\'efinie positive, on peut poser $\Lambda =B^{-1/2}$:
\[ \Lambda B \Lambda^t =I \]
On commence par conjuguer la matrice du lin\'earis\'e par la matrice:
\[ N=\left(\begin{array}{cc}
 B^{-1/2} & 0 \\ 0 & B^{1/2}
\end{array}\right)
\]
ce qui donne:
\[ \tilde{M}=N M N^{-1}=\left(\begin{array}{cc}
 -i \tilde{A} & I \\ \tilde{C}
& i \tilde{A}^t
\end{array}\right), \quad
\tilde{A}=B^{-1/2} A B^{1/2},
\tilde{C}= B^{1/2} C B^{1/2} \]
On est donc ramen\'e au probl\`eme pr\'ec\'edent mais avec $\tilde{B}=I$.

Notons au passage que la matrice $\tilde{C}-\tilde{A}^t\tilde{A}$ est
d\'efinie positive: en effet, la matrice de la hessienne de $p$
\`a l'origine est:
\[ p'{'}=\left( \begin{array}{cc}
 C & A^t \\ A & B
\end{array} \right), \]
on effectue le produit ${\cal D} p'{'} {\cal D}^t$ o\`u:
\[ {\cal D}=\left(\begin{array}{rlc}
 I & D \\ 0 & I
\end{array}\right), \quad D=-A^t B^{-1} \]
ce qui annule les sous-matrices non diagonales et donne la matrice
\[ \left( \begin{array}{cc}
 C - A^t B^{-1} A & 0 \\0 & B
\end{array}\right) \]
qui est encore d\'efinie positive donc ses sous-matrices diagonales le
sont aussi, donc $C -A^t B^{-1} A$ est d\'efinie positive donc:
\begin{equation} \label{eq:v1v2}
\tilde{C}- \tilde{A}^t\tilde{A}=B^{1/2}(C-A^t B^{-1} A)B^{1/2} 
\end{equation}
est d\'efinie positive.

On peut alors conjuguer la matrice $\tilde{M}$ par
\[ U=\left(\begin{array}{cc}
 I & 0 \\ -iE \tilde{A}^t & E
\end{array}\right) 
\Rightarrow
U^{-1}=\left(\begin{array}{cc}
 I & 0 \\ i \tilde{A}^t & E^{-1}
\end{array}\right),
 \quad E=(\tilde{C}- \tilde{A}^t \tilde{A})^{-1/2} 
\]
Le conjugu\'e de $\tilde{M}$ est alors une matrice hermitienne:
\begin{equation} \label{eq:hermitienne}
 U \tilde{M} U^{-1} = \left(
\begin{array}{cc}
 -i\tilde{A}+i \tilde{A}^t& E^{-1}\\ E^{-1} & 0
\end{array}\right) 
\end{equation}
qui est inversible.
$M$ est donc diagonalisable et ses valeurs propres sont r\'eelles.
Si on souhaite utiliser (\ref{eq:hermitienne}), rappelons que:
\begin{eqnarray} 
\tilde{A}=B^{-1/2} A B^{1/2}, \ \tilde{C}=B^{1/2}C B^{1/2},  \
E^{-1}=(\tilde{C}-\tilde{A}^t \tilde{A}) ^{1/2}, \\
A=\nabla_{x\xi}p, \ B=\nabla_{\xi \xi }p, \ C=\nabla_{xx} p 
\end{eqnarray}

On v\'erifie
encore que si $(x,\xi)$ est vecteur propre de $M$ correspondant \`a 
la valeur propre $\lambda $, alors $(\overline{x},-\overline{\xi})$
est vecteur propre correspondant \`a $-\lambda $. On est donc
dans la m\^eme situation qu'\`a la section pr\'ec\'edente.
D'o\`u le:
\begin{theo} \label{th:pquelconque}
Soit $p(x,\xi)$ un hamiltonien analytique dans un voisinage de $(0,0)$, 
r\'eel sur le r\'eel, et qui admet un minimum non d\'eg\'en\'er\'e 
$p(0,0)=0$ sur le r\'eel. Alors l'\'equation \'eiconale $p(x,i\nabla \phi)=0$
admet deux solutions analytiques dans un voisinage de $(0,0)$  donn\'ees par 
les vari\'et\'es stables et instable du hamiltonien $H_q$ 
($q(x,\xi)=-p(x,i\xi)$). La vari\'et\'e stable (respectivement
instable) de $H_q$ a pour espace tangeant \`a l'origine la somme 
des sous-espaces propres correspondants aux valeurs propres n\'egatives
(respectivement positives) de $M$ d\'efinie \`a l'\'equation (\ref{eq:defM}).
\end{theo}

Comme dans le cas de Schr\"odinger avec champ magn\'etique, il est possible
d'\'ecrire (\ref{eq:vp}) sous la forme:
\[ ( \tilde{C} + (i \tilde{A}^t -\lambda )(i \tilde{A}+ \lambda ) ) x=0 \]
ce qui permet en dimension deux d'effectuer facilement
le calcul formel des valeurs
propres du lin\'earis\'e puisque ces $\lambda $ annulent le d\'eterminant
de la matrice:
\[ \left( \begin{array}{ll}
 \lambda ^2 - v_1 & i b \lambda \\ -ib \lambda & \lambda ^2 -v_2
\end{array} \right) \]
o\`u on s'est plac\'e dans la base propre de $\tilde{C}$, $v_1$ et $v_2$
d\'esignent les valeurs propres de la matrice
d\'efinie positive $\tilde{C}-\tilde{A}\tilde{A}^t$ (cf. (\ref{eq:v1v2}))
et $b$ est le coefficient
sup\'erieur droit de la matrice antisym\'etrique 
\[ \tilde{A}-\tilde{A}^t = B^{-1/2} ( A - A^t) B^{1/2} \]
dans cette base.
On continue alors comme \`a la section (\ref{sec:caspart}), les valeurs
propres sont donn\'ees par (\ref{eq:caspart}).

\section{Prolongement de solutions de l'\'equation \'eiconale.}
\label{sec:couple}
On peut bien entendu prolonger la vari\'et\'e stable issue d'un puits
pr\`es de $x$ r\'eel tant qu'on dispose d'hypoth\`ese d'analyticit\'e
de $V$ et $A$ (ou de $p$ dans le cas d'un hamiltonien g\'en\'erique).
%Nous allons voir qu'on peut \'egalement prolonger
%la construction de $\phi $ avec des hypoth\`eses $C^\infty $
%en utilisant un analogue de la distance d'Agmon.


\section{Construction $BKW$} \label{sec:bkw}
La connaissance du spectre \`a l'ordre $O(h^\infty )$ ne n\'ecessite
que des informations locales pr\`es des puits. Elle se fait en deux
temps: on montre d'abord que le spectre de l'op\'erateur $P$ est
en bijection avec celui de son approximation quadratique \`a l'origine,
la bijection v\'erifiant $b(\mu )-\mu =O(h^{3/2})$, ceci est d\'emontr\'e
dans \cite[Proposition 3.3]{MaSo} 
sur le mod\`ele de \cite[Proposition 5.1, 5.2]{HS} 
si l'op\'erateur est scalaire, 
l'adaptation \`a l'op\'erateur de Dirac se fait comme dans
Wang (\cite{Wang}). Ensuite, on construit
pour chaque valeur du spectre un quasi-mode d'ordre $O(h^\infty )$
dans les cas non-r\'esonant.
On montre aussi que le quasimode approche la vraie fonction propre 
\`a l'ordre $O(h^\infty )$ et m\^eme gr\^ace aux hypoth\`eses
d'analyticit\'e \`a $O(e^{-\varepsilon /h})$ pour un $\varepsilon >0$
(cf. \cite[Theorem 3.4]{MaSo}) 

\subsection{Schr\"odinger avec champ magn\'etique.} \label{sec:schr_bkw}
Soit \`a r\'esoudre:
\begin{equation} \label{eq:bkw}
 \left(\frac{1}{2}\sum _j(\frac{h}{i} \partial_j -A_j(x))^2 +V(x)-hE(h)\right)
(a(x,h)e^{-\phi (x)/h})= O(h^\infty ) e^{-\phi (x)/h}) 
\end{equation}
En regardant le terme d'ordre 0, on obtient que $\phi $ est la solution
de l'\'equation \'eiconale, et (\ref{eq:bkw}) devient:
\begin{equation} \label{eq:bkw2}
 2h (\nabla \phi + iA).\nabla a +
h(-2E(h)+\nabla.(\nabla \phi +iA))a - h^2 \Delta a=O(h^\infty )
\end{equation}
En \'ecrivant un d\'eveloppement semi-classique de $a$ et $E$ en
puissances croissantes de $h$, on peut r\'esoudre (\ref{eq:bkw2}):
pour chaque puissance de $h$, l'\'equation qui d\'etermine $a_k$
est une \'equation de transport le long des courbes int\'egrales
du syst\`eme hamiltonien (S) dont le second membre d\'epend des
$a_j$ pour $j<k$. La r\'esolubilit\'e au puits \'equivaut \`a calculer
la valeur de $E_{k}$.
Par exemple pour $k=0$, on d\'etermine $a_0$ et $E_0$:
\[  2\frac{da_0}{dt} +
(-2E_0+\nabla.(\nabla \phi +iA))a_0= 0 \] 
Au puits, $da_0/dt$ doit donc \^etre \'equivalent \`a un multiple de $a_0$.
Ce qui montre que $a_0$ est un monome du type $\alpha y^m$ ($m=(m_1,..,m_n)$
est un multiindice), et on d\'etermine $E_0$ en fonction de $m$:
\[ E_0=\frac{1}{2} \nabla.(\nabla \phi +iA))(M_k) + 
 \sum _{j=1}^n \lambda _j m_j \]
D'apr\`es (\ref{eq:lin}), la divergence de $\nabla \phi +iA$ en 0
est la trace de $P^{-1}\Lambda P$,
c'est donc la demi-somme des valeurs propres positives du lin\'earis\'e 
de $(S)$, on en d\'eduit que $E_0$ est un r\'eel strictement positif,
la plus petite valeur possible est d'ailleurs:
\[ E_{0,0}=\frac{1}{2} \sum _{j=1}^n \lambda _j \]

On peut faire le calcul analytique complet pour les cas de la section 
(\ref{sec:caspart}), on obtient par exemple en dimension 2:
\[ E_{0,0}= \frac{ \sqrt{ w + \sqrt{w^2-4v_1v_2}}}{4}
+  \frac{ \sqrt{ w - \sqrt{w^2-4v_1v_2}}}{4},
\quad w=v_1+v_2+b^2 \]

La seule partie non triviale par rapport \`a la r\'esolution de l'\'equation
analogue pour l'op\'erateur de Schr\"odinger sans champ magn\'etique est de
montrer que l'on chosit des $E_k$ tous r\'eels. En l'absence de m\'ethode
directe \'evidente, on peut toujours montrer qu'un quasi-mode
construit de cette mani\`ere avec des valeurs de $E_k$ complexes
est proche \`a $O(h^\infty )$ pr\`es d'une valeur propre ce qui entraine
que les $E_k$ sont r\'eels.


\subsection{Dirac avec champ magn\'etique en dimension 3.} 
\label{sec:dirac_bkw}
On reprend ici les constructions faites dans \cite{Pa:dirac} mais en
rajoutant le potentiel vecteur (remarquons que cela ne permet
de traiter que les cas o\`u il n'y a pas de r\'esonances entre les
valeurs propres, ce qui est au moins vrai pour la premi\`ere valeur
propre). Pour simplifier les notations on
suppose que $V_0=0$ est atteint en $x=0$
quitte \`a changer la d\'efinition du potentiel
\'electrique. On suppose aussi qu'on a effectu\'e le changement
de jauge tel que la solution de l'\'equation \'eiconale soit r\'eelle
(et donc de gradient orthogonal \`a $A$).
Il s'agit alors de r\'esoudre:
\begin{equation} \label{eq:diracbkw}
 ( \sum (\frac{h}{i} \partial_j -A_j)\alpha _j
+ \alpha _4 + (V(x)-hE(h)).I_4 ) (a(x,h) e^{-\frac{\varphi(x) }{h} })=
O(h^\infty ) e^{-\frac{\varphi(x) }{h} } 
\end{equation}
o\`u on cherche 
\[ a(x,h) \approx \sum_{n=0}^{\infty } a_n h^n \in \C^4
\mbox{ et } hE(h) \approx \sum _{n=1}^\infty h^n e_n \in \R.\]
On pose:
\begin{eqnarray} 
Q &=& \sum _{j=1}^3 \frac{1}{i} \partial_j \alpha _j, \\
\varphi_j &=& \partial_j \varphi, \\
\alpha _A &=& \alpha _4 - \sum _{j=1}^3 \alpha _j A_j, \\
P_{V,A} &=& i \sum _{j=1}^3 \alpha _j \varphi_j  + \alpha _A +V(x).I_4 
\end{eqnarray}
A l'ordre $m=0$ des puissances de $h$, on obtient que $P_{V,A}a_0=0$
qui admet des solutions non triviales car d'apr\`es l'\'equation
\'eiconale, 0 est valeur propre (double) de $P_{V,A}$.
Comme dans le cas sans champ magn\'etique, on d\'ecompose en tout
$x \in \R^3$ l'espace $\C^4$ sous la forme:
\[ \C^4= \mbox{Ker } P_{V,A} \oplus ( \mbox{Ker } P_{V,A} ) ^\perp 
\quad a_n(x)=u_n(x)+v_n(x)\]
Dans cette d\'ecomposition, la puissance $h^0$ de 
(\ref{eq:diracbkw}) s'\'ecrit $v_0=0$.
L'\'equation compl\`ete s'\'ecrit:
\[ (P_{V,A}+hQ) \left(\sum _{n=0}^{\infty } u_n+v_n\right)
= \left(\sum _{n=1}^\infty e_n h^n \right) \left(\sum _{n=0}^\infty 
u_n+v_n\right) \]
donc la puissance $h^m$ s'\'ecrit pour $m>0$:
\begin{equation} \label{eq:diracbkwm}
P_{V,A} v_m + Q (u_{m-1} +v_{m-1})
= \sum _{n=1}^m e_n (u_{m-n}+v_{m-n})
\end{equation}
Dans (\ref{eq:diracbkwm}) les inconnues \`a d\'eterminer 
sont $v_m$, $u_{m-1}$ et $e_m$.
Pour poursuivre les calculs, il faut effectuer quelques manipulations
alg\'ebriques sur les matrices $\alpha $:
\begin{lemme} \label{le:diracbkw}
\begin{itemize}
\item $P_{V,A}+P_{-V,A}^*= 2 \alpha _A = P_{-V,A}+P_{V,A}^*$.
\item $\alpha _A^2= (1+A^2).I_4$. Donc $\alpha _A$ est inversible,
d'inverse $(1+A^2)^{-1} \alpha _A$.
\item $\alpha _A$ anticommute
avec $\sum _{j=1}^3 \alpha _j \varphi_j $ (car deux $\alpha _j$ distincts
anticommutent et $\nabla \varphi $ est orthogonal \`a $A$).
\item $P_{V,A}^* \alpha _A  = \alpha _A P_{V,A} $ (cons\'equence imm\'ediate
du r\'esultat pr\'ec\'edent)
\item $P_{V,A} P_{-V,A}=0$ (par l'\'equation \'eiconale)
\item  Ker~$P_{V,A}=$~Im~$P_{-V,A}$ (d'apr\`es ce qui pr\'ec\`ede
et pour des raisons de dimension).
\item  (Ker~$P_{V,A})^\perp$=~Ker~$P_{-V,A}^*$.
\item \[ P_{-V,A} Q + Q P_{V,A} = 
\sum _{j=1}^3  \left[ \frac{1}{i} \partial_j V \alpha _j + B_j 
\left(\begin{array}{ll}
 \sigma _j & 0 \\0 & \sigma _j 
\end{array}\right) \right]
+ 2 \sum _{j=1}^3 (\varphi _j + i A_j ) \partial_j 
+ \nabla. (\nabla \varphi +iA) \]
\end{itemize}
\end{lemme}
Comme $v_m \in $~Ker~$P_{-V,A}^*$, on a $P_{V,A}v_m=2\alpha _A v_m$.
On peut donc calculer $v_m$ dans (\ref{eq:diracbkw}):
\[ v_m= \frac{1}{2(1+A^2)} \alpha _A \left[
\sum _{n=1}^m e_n (u_{m-n }+v_{m-n}) -Q (u_{m-1}+v_{m-1})\right] \]
et se ramener en une \'equation sur les inconnues $e_m$ et $u_{m-1}$
en \'ecrivant que $P_{-V,A}^* v_m=0$ qu'on simplifie en commutant
$P_{-V,A}^*$ avec $\alpha _A$ en:
\begin{equation} \label{eq:diracbkwm2}
P_{-V,A} \left[ 
\sum _{n=1}^m e_n(u_{m-n}+v_{m-n}) - Q (u_{m-1}+v_{m-1}) 
\right] =0 
\end{equation}
Pour $m=1$, (\ref{eq:diracbkwm2}) s'\'ecrit en utilisant la derni\`ere 
identit\'e du lemme:
\[ 
\left[ 2 V e_1 + \sum _{j=1}^3 \left[
\frac{1}{i} \partial_j V \alpha _j
+ B_j \left(\begin{array}{ll}
 \sigma _j & 0 \\0 & \sigma _j 
\end{array}\right) \right]
+ 2 \sum _{j=1}^3(\varphi _j+iA_j) \partial_j
+ \nabla.(\nabla \varphi + iA) \right] u_0=0
\]
En $x=0$ si $u_0(x) \approx x^s u_0^0$ ($x^s=x_1^{s_1} x_2^{s_2} x_3^{s_3}$
dans des coordonn\'ees adapt\'ees au lin\'earis\'e du
hamiltonien \`a l'origine), 
avec $u_0^0 \in $~Ker~$P_{V(0),0}$ (donc les deux derni\`eres composantes
de $u_0^0$ sont nulles si $V(0)=-1$ ou les deux premi\`eres si
$V(0)=1$) on obtient:
\begin{equation} \label{eq:diracbkwen0}
 \left[ 2 V(0) e_1 + 2 \sum _{j=1}^3 \lambda _j s_j + 
\sum _{j=1}^3 \lambda _j + \sum _{j=1}^3 B(0)_j \left(\begin{array}{ll}
 \sigma _j & 0 \\0 & \sigma _j 
\end{array}\right) \right]  u_0^0 = 0
\end{equation}
o\`u les $\lambda _j$ sont les valeurs propres positives de (\ref{eq:vp}).
Si $B(0)\neq 0$, l'\'equation pr\'ec\'edente admet
deux couples (espaces de dimension 1,valeurs de $e_1$) solutions
distinctes correspondant \`a:
\begin{equation} \label{eq:e1}
 e_1=\sum _{j=1}^3 (s_j+\frac{1}{2})  \lambda _j  \pm \frac{||B(0)||}{2} 
\end{equation}
On continue la r\'esolution des puissances successives de $h$. 
Comme la matrice de (\ref{eq:diracbkwen0}) 
admet deux valeurs propres distinctes,
on peut d\'ecomposer $u_m^0$ dans la base form\'ee des deux vecteurs
propres associ\'es, le choix de $e_m$ permet alors d'annuler la
composante de $u_m^0$ correspondant au vecteur propre de valeur propre
associ\'ee nulle, et comme l'autre valeur propre est non nulle on peut
d\'eterminer la seconde composante de $u_m^0$. Remarquons aussi que
le choix des $u_m(x)$ au voisinage de 0 doit \^etre fait en sorte que
$u_m(x) \approx x^s u_m^0$, sinon on aurait la somme de deux fonctions
$BKW$, la deuxi\`eme \'etant de norme $O(h^m)$ fois la premi\`ere et
ne correspondant pas \`a la m\^eme valeur propre ce qui est exclus.
D'o\`u le:
\begin{theo} \label{th:diracbkw}
Si $B(0) \neq 0$ et s'il existe un unique triplet $s$ tel que (\ref{eq:e1})
alors la construction pr\'ec\'edente permet de r\'esoudre 
(\ref{eq:diracbkw}).
\end{theo}

Si $B(0)=0$, alors la premi\`ere puissance de $h$ ne fixe pas la droite
vectorielle \`a laquelle appartient $u_0^0$ et la recherche simultan\'ee
de $u_m^0$ et $e_m$ n'est plus triviale car elle n\'ecessite
que $e_m$ soit valeur propre d'un endomorphisme. Il faut alors peut \^etre
g\'en\'eraliser l'argument de commutation avec l'op\'erateur de Kramers
qui permettait de conclure dans \cite{Pa:dirac}.

\subsection{Dirac avec champ magn\'etique en dimension 2.} 
\label{sec:dirac_bkw2d}
L'\'etude est tr\`es similaire \`a celle de la section pr\'ec\'edente.
On cherche $a(x,h)\in \C^2$ et $E(h)$ tels que:
\begin{equation} \label{eq:diracbkw2d}
 \left( \sum (\frac{h}{i} \partial_j -A_j)\sigma  _j
+ \sigma  _3 + (V(x)-hE(h)).I_2 \right) (a(x,h) e^{-\frac{\varphi(x) }{h} })=
O(h^\infty ) e^{-\frac{\varphi(x) }{h} } 
\end{equation}
On pose ici:
\begin{eqnarray} 
Q &=& \sum _{j=1}^2 \frac{1}{i} \partial_j \sigma  _j\\
\varphi_j &=& \partial_j \varphi, \\
\sigma  _A &=& \sigma  _3 - \sum _{j=1}^2 \sigma  _j A_j, \\
P_{V,A} &=& i \sum _{j=1}^2 \sigma  _j \varphi_j  + \alpha _A +V(x).I_4 
\end{eqnarray}
on obtient ainsi (\ref{eq:diracbkwm}) avec la d\'ecomposition de $\C^2$
en somme directe de Ker~$P_{V,A}$ et de son orthogonal, chacun de dimension
un ici. Le lemme \ref{le:diracbkw} reste vrai en rempla\c{c}ant les
matrices $\alpha $ par les matrices $\sigma $ et la derni\`ere
identit\'e par:
\[ P_{-V,A} Q + Q P_{V,A} = 
\sum _{j=1}^2 \sigma  _j \frac{1}{i} \partial_j V + \sigma _3 B
+ 2 \sum _{j=1}^2 (\varphi _j + i A_j ) \partial_j 
+ \nabla. (\nabla \varphi +iA) \]
On poursuit l'\'etude de la section pr\'ec\'edente, et on obtient
l'\'equivalent de (\ref{eq:diracbkwen0}):
\begin{equation} \label{eq:diracbkw2den0}
 \left[ 2 V(0) e_1 + 2 \sum _{j=1}^2 \lambda _j s_j + 
\sum _{j=1}^2 \lambda _j + B(0) \sigma _3 \right]  u_0^0 = 0
\end{equation}
avec $u_0^0$ ayant sa deuxi\`eme composante nulle si $V(0)=-1$
ou sa premi\`ere composante nulle si $V(0)=1$. Il n'est pas
n\'ecessaire de supposer que $B(0) \neq 0$ ici, l'effet du champ
magn\'etique est de shifter de $\pm B(0)/2$ la valeur propre
selon qu'il s'agit d'un puits de particule ou d'antiparticule et
le th\'eor\`eme \ref{th:diracbkw} reste vrai sans la restriction sur 
$B(0)$, mais contrairement \`a la dimension 3, le spin ne prend
qu'une valeur pour chaque type de particule.

\subsection{Cas d'un hamiltonien g\'en\'erique.} \label{sec:generic_bkw}
L'\'equation de transport s'obtient comme dans le cas d'une phase
imaginaire pure, pour le terme de puissance $h^1$ on obtient ainsi:
\[ \frac{1}{i} \nabla_\xi p (x,i \varphi '). \nabla u_0 +  
\frac{1}{2i} (\sum _j \partial_j (\partial_{\xi_j} p (x, i \varphi ')). u_0 
- e_1 u_0 = 0 \]
si $p$ n'a pas de sous-principal, sinon il faut rajouter $p_{sub} u_0$,
o\`u on rappelle que si $p=p_0+hp_1+...$:
\[ p_{sub}=p_1+
\frac{1}{2i} \sum _j \frac{\partial^2 p_0 }{\partial x_j \partial \xi_j} \]

\section{In\'egalit\'es \`a poids.} \label{sec:estimations}
Dans cette section, on cherche des estimations \`a priori sur la
d\'ecroissance des
fonctions propres de l'op\'erateur $P$ quantifi\'e de Weyl de $p$.

\subsection{Schr\"odinger et Dirac avec champ magn\'etique.} 
\label{sec:magnetique_apoids}
Les estimations de d\'ecroissance pour ces deux op\'erateurs s'obtiennent
\`a partir des \'egalit\'es suivantes (\cite[Th\'eor\`eme 1.1]{699.35205}
pour Schr\"odinger et \cite[(2.15)]{MoPa}): si $\Omega $ est un domaine
born\'e de $\R^n$ ($n=3$ pour Dirac) de fronti\`ere $C^2$,
$V$ un potentiel continu, $\varphi $ une fonction lipschitzienne \`a valeur
r\'eelle et $u$ une fonction $C^2$ s'annulant au bord de $\Omega $ alors:
\begin{equation}
 \int _\Omega || (\nabla + iA)( e^\frac{\varphi }{h} u)||^2 \ dx
+ \int _\Omega  (V-|\nabla \varphi|^2 ) e^\frac{2\varphi }{h} ||u||^2 \ dx
= \Re \int _\Omega  e^\frac{2\varphi }{h} (P_{A,V}u|u) \ dx 
\end{equation}
pour Schr\"odinger ($P_{A,V}$) alors que pour Dirac ($D_{A,V}$) on a:
\begin{eqnarray} \int _\Omega 
|| (\nabla.\alpha  + iA.\alpha )( e^\frac{\varphi }{h} u)||^2 \ dx
+ \int _\Omega  (V-|\nabla \varphi|^2 ) e^\frac{2\varphi }{h} ||u||^2 \ dx \\
= \int _\Omega  e^\frac{2\varphi }{h} 
(\Re ( D_{A,V} u|D_{A,-V}u) -\Im (D_{A,V}u|\nabla \varphi .\alpha u)\ dx 
\end{eqnarray}
o\`u $\alpha =(\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3)$ en dimension 3
et $\alpha =(\sigma _1,\sigma _2)$ en dimension 2 d\'esigne le vecteur
form\'e par les matrices de Dirac.

\subsubsection{Le cas radial.} 
\label{sec:radial_apoids}
On commence par montrer que les fonctions propres poss\'edant aussi
la sym\'etrie sph\'erique d\'ecroissent
effectivement comme si on n'avait pas de champ magn\'etique mais
un potentiel \'electrique effectif, signalons qu'en dimension 2, ceci a 
\'et\'e fait pour l'op\'erateur de Dirac par N. Suzuki (\cite{Suzu}). 
En dimension 2 pour Schr\"odinger, si $u$ est une fonction
radiale, le d\'eveloppement de la partie gradient
des in\'egalit\'es \`a poids donne:
\[ || (\frac{h}{i} \nabla + A) (e^\frac{\phi}{h} u)|| ^2
= || \frac{h}{i} \nabla  (e^\frac{\phi}{h} u)|| ^2
+ || A e^\frac{\phi}{h} u ||^2 \]
car $A$ est orthogonal au gradient d'une fonction radiale.

Pour les fonctions non radiales 
il faut rajouter un terme d'erreur:
\[ 2 h \Im \left( \int  e^\frac{2\phi}{h} u (A.\nabla)u \right) \]
pour que l'\'egalit\'e ci-dessus reste vraie.
Soit $u$ une fonction propre de l'op\'erateur de Schr\"odinger
dont l'\'energie est dans l'intervalle $[0,Ch]$. 
Alors la partie non radiale de la fonction propre $u$
est born\'ee au sens o\`u $\partial_\theta  u= m u$ avec $m$ born\'e 
par une borne d\'ependant de $C$ mais ind\'ependante de $h$, 
cela ne change pas les propri\'et\'es de d\'ecroissance puisque
la d\'erivation dans la direction de $A$ porte sur la partie $\theta $, 
le terme d'erreur est donc d'ordre $Ch|u|^2$ et peut
\^etre absorb\'e dans le terme
$\int  e^\frac{2\phi}{h} (V-|\nabla \varphi |^2) |u|^2$.
On peut faire le m\^eme raisonnement pour l'op\'erateur de Dirac.

D'o\`u l'analogue de \cite[Th\'eor\`eme 5.8]{HS}:
\begin{theo} \label{th:radial_poids}
Soit $C>0$ fix\'e. Quitte \`a modifier l\'eg\`erement $C$, on suppose
que $Ch$ n'est pas valeur propre de l'approximation quadratique de
l'op\'erateur de Schr\"odinger (Dirac) avec champ magn\'etique. On
suppose que $V$ et $A$ sont radials et $C^\infty $. 
Il existe $h_0>0$ tel que pour $h<h_0$, $K$ compact de $\R^2$, 
$N$ entier, il existe une constante $C_{K,N}$ telle que:\\
Si $u$ est une fonction propre de l'op\'erateur de Schr\"odinger
associ\'e \`a une valeur propre de l'intervalle $[0,Ch]$ ($[-Ch,Ch]$ pour
Dirac), alors il existe une approximation $BKW$ $u_{BKW}$ de $u$
v\'erifiant:
\[ || \nabla(e^\frac{\varphi }{h} (u-u_{BKW})) ||_K
+ || e^\frac{\varphi }{h}(u-u_{BKW})|| \leq C_{K,N} h^N \]  
\end{theo}

\subsubsection{Le cas non radial.} \label{sec:nonradial_apoids}
Si on veut obtenir un r\'esultat optimal
pour l'op\'erateur de Schr\"odinger avec champ magn\'etique, 
il faudra que la phase $\phi$ tende vers la
solution de l'\'equation \'eiconale. On verra \`a la section
suivante \ref{sec:general_apoids} que la m\'ethode g\'en\'erale n\'ecessite
l'\'etude de l'ellipiticit\'e de l'op\'erateur de symbole:
\[ (\xi + i\nabla \phi +A)^2 + V(x), \quad (i\nabla \phi + A)^2 + V(x)=0 \]
Avec les notations de la section \ref{sec:projection}, cela revient
\`a \'etudier l'ellipiticit\'e du symbole
\[ (\xi + g(x))^2- g(x)^2 + 2 i \nabla \varphi . \xi \]
Or celui-ci s'annule \`a l'intersection d'un hyperplan orthogonal
\`a $\nabla \varphi $ et d'une hypersph\`ere centr\'ee en $-g$ et
de rayon $|g|$ (donc passant \`a par l'origine), le centre de cette sph\`ere 
se trouve d'ailleurs dans l'hyperplan. Il est donc impossible de perturber
cette phase de telle sorte que l'intersection soit loin de l'origine.
Donc on ne peut pas obtenir de cette mani\`ere une information de
d\'ecroissance exponentielle locale optimale.

On pourrait aussi essayer de g\'en\'eraliser la construction
effectu\'ee lorsque $A$ et $V$ sont radials. On effectue d'abord
le changement de jauge tel que $A=g$, puis on cherche \`a estimer
au mieux:
\[ || (h\nabla -g)(e^{\frac{\varphi }{h} }u) || \]
On voit alors qu'il faudrait obtenir une estimation de:
\[ h \int e^{\frac{2\varphi  }{h}} u ( g.\nabla) u \ dx \]
Pour conclure comme dans le cas radial, il faudrait pouvoir obtenir
des estimations de contr\^ole {\em locales}\/ de $( g.\nabla) u$
en fonction de $u$ (si $u$ a une forme $BKW$ ces estimations
viennent du fait que $g$ est orthogonal \`a la phase, donc la
d\'eriv\'ee directionnelle $g.\nabla$ porte sur le symbole de $u$
et non sur la phase, ce qui permet de conserver la puissance $h$). 
Dans le cas radial, ces estimations \'etaient une
cons\'equence du fait que $u$ \'etait \'egalement fonction propre du moment
cin\'etique.


\subsection{Le cas d'un hamiltonien g\'en\'erique.} \label{sec:general_apoids}
On suppose dans cette section que le hamiltonien $p(x,\xi)$ est r\'eel sur
le r\'eel, et analytique par rapport \`a la variable $\xi$ dans
une bande $|\Im \xi|<C$. Soit $\phi(x)$ une fonction $C^\infty $
et telle que $|\nabla \phi|<C$. Alors:
\[ P_\phi =e^{\frac{\phi}{h}} P e^{-\frac{\phi}{h}}, \quad  P=\mbox{Op}_h(p)
\]
est un op\'erateur pseudo-diff\'erentiel de symbole principal
$p_\phi=p(x,\xi+i\nabla \phi )$. En particulier si on se donne une fonction
$\phi$ telle que $p_\phi$ soit uniform\'ement elliptique, alors:
\[ |u| \leq C |P_\phi u | \]
Soit en posant $u=e^{\phi/h}v$,
\begin{equation} \label{eq:apoids}
|e^{\frac{\phi}{h}} v| \leq C | e^{\frac{\phi}{h}} P v | 
\end{equation}
Si on suppose que $v$ est presque une fonction propre de $P$
cette in\'egalit\'e permet de contr\^oler $e^{\frac{\phi}{h}} v$ 
partout par la valeur de $e^{\frac{\phi}{h}} v$ dans la r\'egion o\`u
$v$ n'est pas fonction propre de $P$.

Cette m\'ethode permet par exemple de montrer que la d\'ecroissance
des fonctions propres de l'op\'erateur de Klein-Gordon est r\'egie
par une distance d'Agmon (cf. \cite{HePa}). 

\begin{rem} \label{rem:effet_tunnel_general}
Il semble toutefois difficile d'obtenir des renseignements de d\'ecroissance
locale optimales pour un hamiltonien g\'en\'eral, il parait raisonnable dans
ce cas de ne pouvoir obtenir que des renseignements microlocaux 
(cf. \cite{MaSo}). 

L'id\'ee est plutot de multiplier la fonction propre par un poids
exponentiel {\em microlocal}\/ adpat\'e. A.~Martinez et V.~Sordoni 
obtiennent ainsi de la d\'ecroissance exponentielle dans un voisinage
microlocal du puits (\cite[Thm 5.1]{MaSo}), 
remarquons que celle-ci donne de l'information de
d\'ecroissance exponentielle locale non pas sur la fonction propre
elle-m\^eme mais sur sa transform\'ee par un op\'erateur int\'egral
de Fourier associ\'e \`a une transformation canonique lin\'eaire qui
change le hamiltonien \`a l'origine en:
\[ \frac{1}{2} \sum _{k=1}^{n} \mu _k (\xi^2 + x^2 ) + O(x^3,\xi^3) \]

Le probl\`eme de l'interaction entre puits dans le cas g\'en\'eral (effet
tunnel) est encore ouvert car on ne sait pas caract\'eriser la d\'ecroissance
des fonctions propres en-dehors de voisinage des puits.
\end{rem}

\bibliography{bkwb}


\end{document}

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          eigenstates}",
  journal="J. Phys. A - Math. Gen.",
  volume="23",
  year="1990",
  pages="1765-1774" }
@ article { LK,
  author="R. Lynn and J. Keller",
  title="{Uniform Asymptotic Solutions of Second Order Linear Ordinary
                  Differential Equations with Turning Points}",
  journal="Comm. Pure and Appl. Math.",
  volume="23",
  year="1970",
  pages="379-408" }
@ ARTICLE { RdS,
 author="Z. Rudnik and P. Sarnak",
 title="The behaviour of eigenstates of arithmetic hyperbolic manifolds",
  JOURNAL="Preprint",
  YEAR="1993" }
@ ARTICLE {Ma,
  AUTHOR="Christophe M{\"a}rz",
  TITLE="{Spectral Asymptotics for Hill's Equation
          near the potential maximum}",
  JOURNAL="Asymptotic Analysis",
  YEAR="1992",
  VOLUME="5",
  PAGES="221-267" }
@ ARTICLE {Ma2,
  AUTHOR="Andr{\'e} Martinez",
  TITLE="{Precise estimates in adiabatic theory}",
  JOURNAL="Preprint Universit\'e Paris Nord",
  VOLUME="??",
  YEAR="1993",
  PAGES="1--??" } 
@ article { MoPa,
 author="A. Mohamed and Bernard Parisse",
 title="{Approximation des valeurs propres de certaines perturbations
singuli\`eres et application \`a l'op\'erateur de Dirac}",
 journal="Annales de l'Institut Henri Poincar\'e, Physique
		  Th\'eorique",
 volume="56",
 number="3",
 year="1992",
 pages="235-277" }

@ article{ MoPaOu,
  author="A Mohamed and Bernard Parisse and Outassourt",
  title="{Asymptotique de la Largeur de la Premi\`ere Bande de
  l'Op\'erateur de Dirac avec Potentiel P\'eriodique (resp. Erratum).}",
  journal="Helvetica Physica Acta",
  volume="66 (resp. 68)",
  year="1993 (resp. 1995)",
  pages="192-215 (resp. 187-188)" }
@ article {Mat,
  author = "Hiroyuki Matsumoto and Naomasa Ueki",
  title = "{Spectral analysis of Schr\"odinger operators with magnetic fields}",
  journal = "Journal of Functional Analysis",
  volume = "140",
  number ="1",
  year = "1996",
  pages = "218-255" }
@ ARTICLE {Na,
  AUTHOR="Shu Nakamura",
  TITLE="{On Martinez' Method of Phase Space Tunneling}",
  JOURNAL="Rev. Maths. Phys.",
  VOLUME="7",
  number ="3",
  YEAR="1995",
  PAGES="431--441" }
@ ARTICLE {NaPDE,
  AUTHOR="Shu Nakamura",
  TITLE="{Gaussian decay estimates for the eigenfunctions of 
magnetic Schroedinger operators.}",
  JOURNAL="Comm. PDE",
  VOLUME="21",
  number ="5-6",
  YEAR="1996",
  PAGES="993-1006" }
@ article {NaIHP,
  AUTHOR="Shu Nakamura",
  TITLE="{On an example of phase-space tunneling}",
  JOURNAL="{Annales IHP, Physique Th\'eorique}",
  VOLUME="63",
  NUMBER="2",
  YEAR="1995",
  PAGES="211--229" }   
@ article{ Pa:bohm,
  author="Bernard Parisse",
  title="{Effet d'Aharonov-Bohm sur un \'etat born\'e de l'op\'erateur
de Dirac.}",
  journal="Asymptotic Analysis",
  volume="10",
  year="1995",
  pages="199-224" }
@ article{ Pa:dirac,
  author="Bernard Parisse",
  title="{R\'esonances pour l'op\'erateur de Dirac-II.}",
  journal="Helvetica Physica Acta",
  volume="65",
  year="1992",
  pages="1077--1118" }
@ ARTICLE {RA,
  AUTHOR="J. Ralston",
  TITLE="{Approximate eigenfunctions of Laplace operators}",
  JOURNAL="Jour. Diff. Geom.",
  VOLUME="12",
  YEAR="1977",
  PAGES="87-100" }
@ BOOK    {Ro:livre,
  AUTHOR="Didier Robert",
  TITLE="Autour de l'approximation semi-classique",
  YEAR="1987",
  VOLUME="68",
  PUBLISHER="Birkh{\"a}user, Progress in Maths"   }
@ BOOK {SA,
  AUTHOR="P. Sarnak",
  TITLE="Arithmeticity and quantum chaos",
  PUBLISHER="Schur lectures (Tel-Aviv)",
  YEAR="1992" }
@ ARTICLE {SC,
  AUTHOR="A. Schnirelmann",
  TITLE="Ergodic properties of eigenfunctions",
  JOURNAL="Usp. Math. Nauk",
  VOLUME="29",
  NUMBER="6",
  YEAR="1974",
  PAGES="181-182" }
@ book {SZ,
  author="Laurent Schwartz",
  title="{Th\'eorie des distributions}",
  publisher="Hermann, Paris",
  year="1950" }
@ inproceedings {S0,
  AUTHOR="Johannes Sj{\"o}strand",
  TITLE="{Density of state oscillations for magnetic
          Schr\"odinger operator}",
  BOOKTITLE="Differential Equations and Mathematical Physics",
  YEAR="1990",
  month="March 15-21",
  address="University of Alabama at Birmingham",
  editor="Bennewitz",
  pages="295-345"
  }
@ ARTICLE {S,
  AUTHOR="Johannes Sj{\"o}strand",
  TITLE="{Microlocal analysis for the periodic magnetic
          Schr\"odinger operator and related questions}",
  JOURNAL="Lecture Notes in Maths (CIME-Lectures Montecatini,
          Microlocal analysis and applications, July 1989)",
  YEAR="1991",
  VOLUME="1495",
  PAGES="237-332" }
@ ARTICLE {Sj83,
  AUTHOR="Johannes Sj{\"o}strand",
  TITLE="Analytic wavefront sets and operators with multiple characteristics",
  JOURNAL="Hokkaido Mathematical Journal",
  VOLUME="XII",
  NUMBER="3",
  YEAR="1983",
  PAGES="392-433"
 }
@ article { Ta,
  author="Luc Tartar",
  title="H-measures, a new approach for studying homogenization
  oscillations and concentration effects in partial differential
  equations",
  journal="Proc. Roy. Soc. Edinburgh",
  volume="115A",
  year="1990",
  pages="193-230" }
@ ARTICLE { Vo:th,
  author="A. Voros",
  title="{D\'eveloppements semi-classiques.}",
  journal="{Th\`ese, Universit\'e d'Orsay}",
  year="18 mai 1977" }
@ ARTICLE { Vo,
  author="{Andr\'e Voros}",
  title="{Wentzel-Kramers-Brillouin method in the Bargmann representation.}",
  journal="{Physical Review A}",
  year="1989" ,
  volume="40",
  number="12",
  pages="6814-6824"
  }
@ ARTICLE { Wang,
  author="{Xue Ping Wang}",
  title="{Puits multiples pour l'op\'erateur de Dirac.}",
  journal="{Annales de l'Institut Henri Poincar\'e-Physique Th\'eorique}",
  year="1985" ,
  volume="43",
  number="3",
  pages="269-319"
  }
@ ARTICLE{Z,
  AUTHOR="S. Zelditch",
  TITLE="Uniform distribution of eigenfunctions on compact hyperbolic
  surfaces",
  JOURNAL="Duke Math. Journal",
  VOLUME="55",
  YEAR="1987",
  PAGES="919-941"}


