Chapitre 10  Pour s’amuser avec les séries

Soit n un entier positif.
Soit c_n le nombre de triplets (X,Y,Z) de ℕ qui vérifient :

On veut calculer c_n.
Déterminer c₁₀₀ et c₁₀₀₀.
On propose pour cela la téchnique suivante :
- Effectuer un développement en série au voisinage de l’origine de :
f₁(x)=1/1−x,
f₂(x)=1/1−x²,
f₃(x)=1/1−x⁴,
f(x)=1/(1−x)(1−x²)(1−x⁴),
- Montrer, en effectuant le produit des 3 développements en série de f₁,f₂,f₃, que le coefficient de xⁿ du développement de f est c_n.
- Déterminer le développement de f par une autre méthode.
- En déduire c_n.
On tape :
series(1/(1-x)(1-x²)(1-x⁴),0,20)
On obtient :
1+x+2*x²+2*x³+4*x⁴+4*x⁵+6*x⁶+6*x⁷+9*x⁸+9*x⁹+12*x¹⁰+
12*x¹¹+16*x¹²+16*x¹³+20*x¹⁴+20*x¹⁵+25*x¹⁶+25*x¹⁷+30*x¹⁸+
30*x¹⁹+36*x²⁰+x²¹*order_size(x)
On remarque que les coefficients sont :
1,1,2,2,4,4,6,6,9,9,12,12,16,16,20,20,25,25,30,30,36...
On obtient les carrés des entiers puis, le produit de 2 entiers consécutifs :
1,4,9,16,25,36 et 1*2,2*3,3*4,4*5,5*6...
On suppose donc que :
f(x)=∑_n=0^∞c_nxⁿ avec :
c_4*k=c_4*k+1=(k+1)² et
c_4*k+2=c_4*k+3=(k+1)*(k+2)
ce qui donne bien c₀=c₁=1, c₂=c₃=2, c₄=c₅=4, c₆=c₇=6...
On a donc :
c₁₀₀=c_4*25=26²=676
c₁₀₀₀=c_4*250=251²=63001
On peut bien sûr le vérifier en demandant à Xcas :
series(1/(1-x)(1-x²)(1-x⁴),0,100) et
series(1/(1-x)(1-x²)(1-x⁴),0,1000)
Mais comment montrer que l’on a bien :
f(x)=∑_n=0^∞c_nxⁿ avec :
c_4*k=c_4*k+1=(k+1)² et
c_4*k+2=c_4*k+3=(k+1)*(k+2)
On peut penser à décomposer la fraction rationnelle f :
On tape :
partfrac(1/(1-x)(1-x²)(1-x⁴))
On obtient :
x+1/8*(x²+1)+5/32*(x+1)+1/16*(x+1)²-9/32*(x-1)+1/4*(x-1)²-1/8*(x-1)³
ce qui n’est pas simple....

Pour le montrer on peut commencer par montrer que :
series(1/(1-x²)(1-x⁴),0,20) vaut :
1+x²+2*x⁴+2*x⁶+3*x⁸+3*x¹⁰+4*x¹²+4*x¹⁴+5*x¹⁶+
5*x¹⁸+6*x²⁰+x²¹*order_size(x) c’est à dire :
series(1/(1-x²)(1-x⁴),0,20)=∑_n=0^∞c_nxⁿ avec :
c_4*k=c_4*k+2=(k+1) et
c_4*k+1=c_4*k+3=0
puis multiplier par cette série par ∑_n=0^∞xⁿ
On peut aussi regarder le développement en série de f/(1+x) car :
f/1+x=1/(1−x²)²(1−x⁴).
On a ;
1/(1−x²)²=∑_n=0^∞(n+1)x²ⁿ (1/(1−u)²=(1/(1−u))′ puis u=x²)
1/(1−x⁴)=∑_n=0^∞x⁴ⁿ
on multiplie ces deux séries et on obtient :
coefficient de x⁴ⁿ : 1+3+5+....+(2n+1)=(n+1)²
coefficient de x⁴ⁿ⁺² : 2+4+6+....+(2n+2)=(n+1)(n+2)
donc
f=(1+x)∑_n=0^∞(n+1)²x⁴ⁿ+(n+1)(n+2)x⁴ⁿ⁺²
ce qui donne bien la formule annoncée.
Vous pouvez maintenant vous amuser avec le problème similaire :
Soit n un entier positif. Soit c_n le nombre de triplets de ℕ qui vérifient :

Déterminer c₁₀₀ et c₁₀₀₀ en calculant c_n.