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MIAS2 TP4
Séries

Exercice 1 (à rendre à la fin de la séance)
Déterminez à l'aide d'un logiciel un équivalent de

f (x) = (x4 + ax2 + bx + c)1/4 - (x3 + Ax2 + Bx + C)1/3

en x = + $ \infty$, en déduire la nature des séries de terme général un = f (n) et vn = (- 1)nf (n) en fonction de a, b, c, A, B et C.

Exercice 2 (à rendre à la fin de la séance)
Ecrire un programme partiel_croi(f,N) qui calcule la valeur approchée de la somme partielle d'une série un = f (n) pour n variant de 1 à N en effectuant la somme par valeur croissante de n, et partiel_decr(f,N) par valeur décroissante de n. Donnez les valeurs obtenues pour f (x) = 1/x3, N = 104 et une précision de 15 puis 30 digits. Comment expliquez-vous ces résultats?
Expliquez pourquoi si on calcule les sommes partielles de la série de terme général 1/n à l'ordinateur avec une précision donnée (par exemple de 12 digits), cette série semble converger.

Exercice 3 (à rendre au début de la séance suivante)
Calculer avec un logiciel

$\displaystyle \sum_{n_0+1}^{\infty}$$\displaystyle {\frac{1}{n(n-1)(n-2)(n-3)}}$

Justifiez la réponse du logiciel en décomposant en éléments simples la fraction rationnelle ci-dessus (vous pouvez utiliser la commande de décomposition en éléments simples de votre logiciel). Déterminez la nature de $ \sum_{n \geq 1}^{}$$ {\frac{1}{n^4}}$, et déterminez un entier n0 tel que

|$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}$$\displaystyle {\frac{1}{n^4}}$ - $\displaystyle \sum_{n = 1}^{n_0}$$\displaystyle {\frac{1}{n^4}}$| $\displaystyle \leq$ 10-4

Même question pour 10-8.

Exercice 4 (à rendre au début de la séance suivante)
Soit 0 $ \leq$ q < 1 et un = qn. Déterminez un entier n0 tel que

|$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}$un - $\displaystyle \sum_{n = 1}^{n_0}$un| $\displaystyle \leq$ 10-4

et de même pour 10-8. Comparer la vitesse de convergence de la somme partielle de cette série et de la série de l'exercice 3 vers sa somme à l'infini avec la convergence linéaire d'une suite d'itérées vers sa limite lorsqu'on peut appliquer le théorème du point fixe.




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Bernard Parisse 2004-06-04