Maths MIAS2 TP11: Orthonormalisation 2003/4

On considère un espace euclidien E, muni d'un produit scalaire que l'on représentera par une variable dans un logiciel de calcul formel. Par exemple on peut le noter f, où f est une fonction de 2 variables, telle que si x et y sont deux variables représentant des éléments x et y de E, alors le produit scalaire de x et y est donné par f(x,y).

Exercice 1 : (à rendre à la fin de la séance)
Définissez sur votre logiciel le produit scalaire de 2 vecteurs dans les cas suivants :

1. E₁ = $\mathbb {R}$ⁿ muni du produit scalaire usuel (on pourra représenter un élément de E₁ par une liste à n éléments)
2. E₂ est l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n, muni du produit scalaire :
   P.Q = $$\int_{-1}^{1}$$P(t)Q(t) dt
   on pourra représenter le polynôme P par l'expression P(x).
3. E₃ est l'espace vectoriel des fonctions engendré par les cos(t)^k pour k $\leq$ n avec comme produit scalaire
   f.g = $${\frac{1}{2 \pi}}$$$$\int_{-\pi}^{\pi}$$f (t)g(t) dt
   on pourra reprsenter la fonction f par l'expression f (x).

Exercice 2 : (à rendre à la fin de la séance)
Il s'agit d'écrire un programme ortho mettant en oeuvre l'algorithme d'orthonormalisation de Gram-Schmidt. Le programme ortho aura deux paramètres: une liste l de longueur k représentant une famille v₁,..., v_k de vecteurs de E avec k $\leq$ dim(E), et une fonction f représentant le produit scalaire. Il renverra une liste formé de k vecteurs normés et orthogonaux w₁,..., w_k de E tels que l'espace vectoriel engendré par w₁,..., w_l soit le même que celui engendré par v₁,..., v_l pour 1 $\leq$ l $\leq$ k. Pour des raisons d'efficacité, on pourra commencer par orthogonaliser la famille.

Exercice 3 : (à rendre au début du TP12)
Tester votre programme avec une famille de 3 vecteurs aléatoires de E₁ = $\mathbb {R}$³ (si la famille n'est pas libre, refaites un tirage aléatoire). Tester avec E₂ les polynômes de degré inférieur ou égal à 5 et la famille 1, x, x², x³, x⁴, x⁵. Tester avec E₃ pour n = 5 et la famille 1, cos(x), cos(x)², cos(x)³, cos(x)⁴, cos(x)⁵.

Exercice 4 : (à rendre au début du TP12)
Dans l'exemple de $\mathbb {R}$³ ci-dessus, on écrit en colonnes les 3 vecteurs aléatoires, ce qui constitue une matrice M carrée de taille 3. On écrit en colonnes les 3 vecteurs de la famille orthonormalisé obtenue, ce qui constitue une matrice orthogonale Q. On pose M = QR. Calculez R, que peut-on dire de cette matrice? Montrez que l'on peut faire ce type de décomposition pour toute matrice carrée inversible (on rappelle que le processus d'orthonormalisation vérifie Vect (v₁,..., v_l)=Vect (w₁,..., w_l)).