Calcul du polynôme minimal

Soit $A$ une matrice $n\times n$. Nous allons déterminer le polynôme minimal de $A$, c'est-à-dire un polynôme non nul de degré minimal qui annule $A$. On considère pour cela $A$ comme un vecteur de l'espace des matrices ayant $n^2$ coordonnées (par exemple la matrice identité en dimension 2 a pour coordonnées (1,0,0,1)) et on va chercher par la méthode du pivot de Gauß une relation non triviale entre les puissances successives de $A$ (on peut se limiter à $I$, $A$, .., $A^n$ car le polynôme caractéristique de $A$ annule $A$).

Exercice 1 (à rendre à la fin de la 1ère séance de ce TP)
Soit la matrice :

$$A=\left(\begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{array}\right)$$

Calculer à la calculatrice $A^2,\ A^3$ et appliquer le pivot de Gauß sur les 4 lignes constituées par $I,\ A,\ A^2,\ A^3$ (si une colonne a des zéros sur et sous la diagonale, on passe à la colonne suivante en cherchant le pivot à partir de la même ligne).
N'oubliez pas de garder une trace des opérations effectuées en notant en bout de lignes l'expression des lignes ($I, A...A^3$).
Trouver le polynôme minimal de $A$.
Trouver par la même méthode mais en faisant les calculs avec un logiciel (HP49 instruction PMINI ou avec le programme MuPAD ci-dessous), le polynôme minimal des matrices définies par :

$$B= \left(\begin{array}{cccc} -63 & 70 & -12 & -19 \\ -46 & 5... ... 5 \\ 0 & 1 & -4 & 6 \\ -6 & -8 & -6& -6 \end{array}\right)$$