Méthode des itérations inverses.

La méthode des itérations inverses consiste lorsque l'endomorphisme $f$ est inversible à appliquer l'algorithme de la puissance à $f^{-1}$ en effet:
si $\lambda$ est une valeur propre de $f$ et si $w$ est un vecteur propre associé à $\lambda$ on a :
$$f(w)=\lambda w \ \Leftrightarrow \ f^{-1}w=\frac{1}{\lambda}w$$
La méthode des itérations inverses permet donc de trouver la valeur propre de plus petit module (à condition d'avoir inversé la matrice $A$ associée à $f$).
La méthode des itérations inverses est utile lorsqu'on connait une valeur approchée $\tau$ d'une valeur propre $\lambda$.
On peut alors améliorer $\tau$ en utilisant des itérations inverses, puisqu'alors la matice $B=A-\tau I$ est inversible et possède $\lambda-\tau$ (qui est très petit) comme valeur propre.
On cherche l'inverse de $B=A-\tau I$, puis on pose :
$y_0=B^{-1}b$ où $b$ est un vecteur aléatoire ($y_0$ est alors proche d'un vecteur propre correspondant à $\lambda \approx \tau$.
On itère ensuite la procédure.

Exercice 4 (à rendre au plus tard le jour de l'examen)
Trouvez la plus petite valeur propre des matrices de l'exercice 3 (changez de matrice aléatoire si nécessaire).

Pour trouver les autres valeurs propres/vecteurs propres, il faut pouvoir éliminer la valeur propre trouvée.
On sait en particulier le faire quand $A$ est symétrique, car il suffit de remplacer $A$ par $A'=A-\lambda_1 w_1 \ ^t w_1$.
En effet, on prend une base orthonormale $(w_1,...,w_n)$ de vecteurs propres de $A$. $A'$ a les mêmes vecteurs propres que $A$ et pour valeurs propres correspondantes $0$ et les $\lambda_k$ ($k>1$) car pour $k>1$ :

$$A' w_k=A w_k +0 = \lambda_k w_k$$

puisque $w_k$ est orthogonal à $w_1$

Exercice 5 (à rendre au plus tard le jour de l'examen)
Trouvez toutes les valeurs propres de la matrice :

$$D= \left(\begin{array}{rrr} 9 & -1 & 2 \\ -1 & 5 & -2 \\ 2 & -2 & -7 \end{array}\right)$$