Recherche de vecteurs propres

On suppose que le polynôme minimal $P_A$ est sans facteur carré (square-free) ce qui se vérifie en cherchant le pgcd de $P_A$ avec sa dérivée. À l'aide du polynôme minimal, il est facile de déterminer les vecteurs propres de $A$ correspondant aux racines de $P_A$ que l'on sait déterminer car si $P_A(X)=(X-\lambda_1)\times Q(X)$ on a :

$$\mbox{Im }Q(A) = \mbox{Ker }(A-\lambda_1 I)$$

En effet puisque $(A-\lambda_1I)\times Q(A)=P_A(A)=0$ on a  :

$$\mbox{Im }Q(A) \subset \mbox{Ker }(A-\lambda_1 I)$$

$(X-\lambda_1)$ et $Q(X)$ sont premiers entre eux car $P_A$ est sans facteur carré donc d'après Bézout, il existe deux polynômes $U$ et $V$ tels que :

$$U(X)\times (X-\lambda_1)+Q(X)\times V(X)=1$$

on a donc :

$$U(A)\times (A-\lambda_1I)+Q(A)\times V(A)=I$$

donc :

$$\mbox{Im }Q(A) \supset \mbox{Ker }(A-\lambda_1 I)$$

Lorsque le polynôme minimal n'est pas square-free, l'identité de Bézout donne les projecteurs sur les espaces caractéristiques ($Q(A)$ envoie $K^n$ sur Ker $(A-\lambda_1 I)^{p_1}$ lorsque $\lambda_1$ est d'ordre $p_1$).

Exercice 2 (à rendre au plus tard le jour de l'examen)
Montrer que $B$ est diagonalisable et trouver une base de vecteurs propres de la matrice $B$ de l'exercice 1 en utilisant la méthode ci-dessus.