Rappels du cours

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Rappels du cours

On sait que les coefficients de Fourier d'une fonction, $2\pi$ -périodique et intégrable sur tout intervalle fermé borné, sont définis pour $n \in \mathbb{Z}$ et pour $\alpha \in \mathbb{R}$ par :

$\displaystyle c_n(f)=\frac{1}{2\pi}\int_\alpha^{\alpha+2\pi}f(t)e^{-int}dt$

et que la série de Fourier associée à

est :

$\displaystyle SF(f)(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(f)e^{inx}$

On peut aussi définir les coefficients de Fourier réels pour $n \in \mathbb{N}$ et pour $\alpha \in \mathbb{R}$ par :

$\displaystyle a_n(f)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{\pi}\int_\alpha^{\alpha+2\pi}f(t)\cos(nt)dt$
$\displaystyle b_n(f)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{\pi}\int_\alpha^{\alpha+2\pi}f(t)\sin(nt)dt$

On a alors :

$\displaystyle SF(f)(x)=\frac{a_0(f)}{2}+ \sum_{n=1}^{+\infty}(a_n(f)\cos(nx)+b_n(f)\sin(nx))$

Théorème de Dirichlet
Si au point

,

admet une limite à droite et une limite à gauche (que l'on note

et

), ainsi qu' une dérivée à droite et une dérivée à gauche, alors la série

converge vers $\frac{1}{2}(f(x_0-0)+f(x_0+0))$ .
En particulier si

est dérivable pour tout

,

converge vers

.

Exercice 6 (à rendre à la fin de la 2ème séance du TP4)
Trouver le développement

$\displaystyle SF(f)(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k(f) \cos(kx)+b_k(f) \sin(kx)$

en séries de Fourier de la fonction

périodique de période $2\pi$ définie par :

$\displaystyle f(x)=x$ pour $\displaystyle x \in ]- \pi;\ \pi[, \quad f(\pi)=0.$

On note :

$\displaystyle SF(f)_n(x)= \sum_{k=0}^n a_k(f) \cos(kx)+b_k(f) \sin(kx)$

Donner la valeur et tracer sur un même graphique et pour $x\in[-4;4]$ les graphes des fonctions suivantes :

$\displaystyle f(x), SF(f)_1(x), SF(f)_2(x), SF(f)_3(x), SF(f)_4(x), SF(f)_5(x), SF(f)_6(x)$

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2003-02-19